La distribución de Cantor es la distribución de probabilidad cuya función de distribución acumulada es la función de Cantor .
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | ninguno | ||
---|---|---|---|
Apoyo | Cantor conjunto | ||
PMF | ninguno | ||
CDF | Función de cantor | ||
Significar | 1/2 | ||
Mediana | en cualquier lugar de [1/3, 2/3] | ||
Modo | n / A | ||
Diferencia | 1/8 | ||
Oblicuidad | 0 | ||
Ex. curtosis | −8/5 | ||
MGF | |||
CF |
Esta distribución no tiene una función de densidad de probabilidad ni una función de masa de probabilidad , ya que aunque su función de distribución acumulada es una función continua , la distribución no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue , ni tiene masas puntuales. Por tanto, no es una distribución de probabilidad discreta ni absolutamente continua, ni es una mezcla de ambas. Más bien es un ejemplo de distribución singular .
Su función de distribución acumulativa es continua en todas partes, pero horizontal en casi todas partes, por lo que a veces se la conoce como la escalera del diablo , aunque ese término tiene un significado más general.
Caracterización
El soporte de la distribución de Cantor es el conjunto de Cantor , en sí mismo la intersección de los conjuntos (infinitamente contables):
La distribución de Cantor es la distribución de probabilidad única para la cual para cualquier C t ( t ∈ {0, 1, 2, 3, ...}), la probabilidad de un intervalo particular en C t que contiene la variable aleatoria distribuida por Cantor es idéntica 2 - t en cada uno de los intervalos de 2 t .
Momentos
Es fácil ver por simetría que para una variable aleatoria X que tiene esta distribución, su valor esperado E ( X ) = 1/2, y que todos los momentos centrales impares de X son 0.
La ley de la varianza total se puede utilizar para encontrar la varianza var ( X ), como sigue. Para el conjunto anterior C 1 , sea Y = 0 si X ∈ [0,1 / 3], y 1 si X ∈ [2 / 3,1]. Luego:
De esto obtenemos:
Se puede encontrar una expresión de forma cerrada para cualquier momento central par obteniendo primero los acumulados pares [1]
donde B 2 n es el 2 n- ésimo número de Bernoulli , y luego expresa los momentos como funciones de los acumulados .
Referencias
- ↑ Morrison, Kent (23 de julio de 1998). "Paseos aleatorios con pasos decrecientes" (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal Politécnica de California. Archivado desde el original (PDF) en 2015-12-02 . Consultado el 16 de febrero de 2007 .
Otras lecturas
- Hewitt, E .; Stromberg, K. (1965). Análisis real y abstracto . Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer-Verlag. Este, al igual que con otros textos estándar, tiene la función de Cantor y sus derivados unilaterales.
- Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). "Asintótica de Fourier de medidas de tipo Cantor en el infinito". Proc. AMS . 130 (9). págs. 2711–2717. Este es más moderno que los otros textos de esta lista de referencias.
- Knill, O. (2006). Teoría de la probabilidad y procesos estocásticos . India: Prensa de ultramar.
- Mattilla, P. (1995). Geometría de conjuntos en espacios euclidianos . San Francisco: Cambridge University Press. Esto tiene material más avanzado sobre fractales.