En matemáticas , específicamente la teoría de la medida , una medida compleja generaliza el concepto de medida al permitirle tener valores complejos . En otras palabras, se permiten conjuntos cuyo tamaño (longitud, área, volumen) sea un número complejo.
Definición
Formalmente, una medida compleja en un espacio medible es una función de valor complejo
eso es sigma-aditivo . En otras palabras, para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos pertenecientes a, uno tiene
Como para cualquier permutación ( biyección ), resulta que converge incondicionalmente (por tanto, absolutamente ).
Integración con respecto a una medida compleja
Se puede definir la integral de una función medible de valor complejo con respecto a una medida compleja de la misma manera que la integral de Lebesgue de una función medible de valor real con respecto a una medida no negativa , aproximando una función medible con funciones simples. . Al igual que en el caso de la integración ordinaria, esta integral más general podría no existir, o su valor podría ser infinito (el infinito complejo ).
Otro enfoque es no desarrollar una teoría de la integración desde cero, sino utilizar el concepto ya disponible de integral de una función de valor real con respecto a una medida no negativa. Con ese fin, es una comprobación rápida de que las partes reales e imaginarias μ 1 y μ 2 de una medida compleja μ son medidas con signo de valores finitos . Se puede aplicar la descomposición de Hahn-Jordan a estas medidas para dividirlas como
y
donde μ 1 + , μ 1 - , μ 2 + , μ 2 - son medidas no negativas de valores finitos (que son únicas en algún sentido). Entonces, para una función medible f que tiene valor real por el momento, se puede definir
siempre que la expresión del lado derecho esté definida, es decir, las cuatro integrales existen y al sumarlas no se encuentra el ∞ − ∞ indeterminado .
Dada ahora una función medible de valor complejo , uno puede integrar sus componentes reales e imaginarios por separado como se ilustra arriba y definir, como se esperaba,
Variación de una medida compleja y descomposición polar
Para una medida compleja μ, se define su variación , o valor absoluto , | μ | por la fórmula
donde A está en Σ y los Supremum carreras en todas las secuencias de conjuntos disjuntos ( A n ) n cuya unión es A . Tomando solo particiones finitas del conjunto A en subconjuntos medibles , se obtiene una definición equivalente.
Resulta que | μ | es una medida finita no negativa. De la misma manera que un número complejo se puede representar en forma polar , se tiene una descomposición polar para una medida compleja: existe una función medible θ con valores reales tales que
significado
para cualquier función medible absolutamente integrable f , es decir, f que satisfaga
Se puede usar el teorema de Radon-Nikodym para demostrar que la variación es una medida y la existencia de la descomposición polar .
El espacio de medidas complejas
La suma de dos medidas complejas es una medida compleja, como lo es el producto de una medida compleja por un número complejo. Es decir, el conjunto de todas las medidas complejas en un espacio de medida ( X , Σ) forma un espacio vectorial sobre los números complejos. Además, la variación total definido como
es una norma , respecto de la cual el espacio de medidas complejas es un espacio de Banach .