Un sistema de coordenadas sesgadas es un sistema de coordenadas curvilíneas donde las superficies de coordenadas no son ortogonales , [1] en contraste con las coordenadas ortogonales .
Las coordenadas sesgadas tienden a ser más complicadas de trabajar en comparación con las coordenadas ortogonales, ya que el tensor métrico tendrá componentes fuera de la diagonal distintos de cero, lo que evita muchas simplificaciones en las fórmulas para el álgebra tensorial y el cálculo tensorial . Los componentes fuera de la diagonal distintos de cero del tensor métrico son un resultado directo de la no ortogonalidad de los vectores base de las coordenadas, ya que, por definición: [2]
dónde es el tensor métrico y los vectores base (covariantes) .
Estos sistemas de coordenadas pueden resultar útiles si la geometría de un problema encaja bien en un sistema sesgado. Por ejemplo, resolver la ecuación de Laplace en un paralelogramo será más fácil cuando se haga en coordenadas apropiadamente sesgadas.
Un sistema de coordenadas donde el eje
x se ha doblado hacia el eje
z .
El caso 3D más simple de un sistema de coordenadas sesgado es uno cartesiano en el que uno de los ejes (por ejemplo, el eje x ) se ha doblado en algún ángulo., permaneciendo ortogonal a uno de los dos ejes restantes. Para este ejemplo, el eje x de una coordenada cartesiana se ha doblado hacia el eje z por, permaneciendo ortogonal al eje y .
Álgebra y cantidades útiles
Dejar , , y respectivamente, ser vectores unitarios a lo largo del , , y ejes. Estos representan la base covariante ; calcular sus productos punto da los siguientes componentes del tensor métrico :
que son cantidades que serán útiles más adelante.
La base contravariante viene dada por [2]
La base contravariante no es muy conveniente de usar, sin embargo, aparece en las definiciones, por lo que debe tenerse en cuenta. Favoreceremos la escritura de cantidades con respecto a la base covariante.
Dado que los vectores base son todos constantes, la suma y resta de vectores será simplemente conocida como suma y resta de componentes. Ahora deja
donde las sumas indican la suma de todos los valores del índice (en este caso, i = 1, 2, 3). Los componentes contravariante y covariante de estos vectores pueden estar relacionados por
para que, explícitamente,
El producto escalar en términos de componentes contravariantes es entonces
y en términos de componentes covariantes
Cálculo
Por definición, [3] el gradiente de una función escalar f es
dónde son las coordenadas x , y , z indexadas. Reconociendo esto como un vector escrito en términos de la base contravariante, se puede reescribir:
La divergencia de un vector es
y de un tensor
El laplaciano de f es
y, dado que la base covariante es normal y constante, el vector Laplaciano es el mismo que el Laplaciano por componentes de un vector escrito en términos de la base covariante.
Si bien tanto el producto escalar como el gradiente son algo desordenados porque tienen términos adicionales (en comparación con un sistema cartesiano), el operador de advección que combina un producto escalar con un gradiente resulta muy simple:
que puede aplicarse tanto a funciones escalares como a funciones vectoriales, por componentes cuando se expresa en la base covariante.
Finalmente, la curva de un vector es