En lógica matemática , una fórmula de lógica de primer orden está en forma normal de Skolem si está en forma normal prenex con solo cuantificadores universales de primer orden .
Cada fórmula de primer orden se puede convertir a la forma normal de Skolem sin cambiar su capacidad de satisfacción a través de un proceso llamado Skolemización (a veces escrito Skolemnización ). La fórmula resultante no es necesariamente equivalente a la original, pero es igual de satisfactoria con ella: es satisfactoria si y sólo si la original es satisfactoria. [1]
La reducción a la forma normal de Skolem es un método para eliminar cuantificadores existenciales de enunciados lógicos formales , que a menudo se realiza como el primer paso en un demostrador de teoremas automatizado .
Ejemplos de
La forma más simple de Skolemización es para variables cuantificadas existencialmente que no están dentro del alcance de un cuantificador universal. Estos pueden reemplazarse simplemente creando nuevas constantes. Por ejemplo, se puede cambiar a , dónde es una nueva constante (no aparece en ningún otro lugar de la fórmula).
De manera más general, la Skolemización se realiza reemplazando cada variable cuantificada existencialmente con un término cuyo símbolo de función es nuevo. Las variables de este término son las siguientes. Si la fórmula está en forma normal prenex , entonces son las variables que se cuantifican universalmente y cuyos cuantificadores preceden al de . En general, son las variables que se cuantifican universalmente (asumimos que nos deshacemos de los cuantificadores existenciales en orden, por lo que todos los cuantificadores existenciales antes han sido eliminados) y de tal manera que ocurre en el alcance de sus cuantificadores. La funciónintroducido en este proceso se llama función de Skolem (o constante de Skolem si es de cero aridad ) y el término se llama término de Skolem .
Como ejemplo, la fórmula no está en la forma normal de Skolem porque contiene el cuantificador existencial . Skolemization reemplaza con , dónde es un nuevo símbolo de función y elimina la cuantificación sobre . La fórmula resultante es. El término Skolem contiene , pero no , porque el cuantificador que se va a eliminar está en el alcance de , pero no en el de ; dado que esta fórmula está en forma normal prenex, esto equivale a decir que, en la lista de cuantificadores, precede tiempo no es. La fórmula obtenida por esta transformación es satisfactoria si y solo si la fórmula original lo es.
Cómo funciona la skolemización
La skolemización funciona aplicando una equivalencia de segundo orden junto con la definición de satisfacibilidad de primer orden. La equivalencia proporciona una forma de "mover" un cuantificador existencial antes que uno universal.
dónde
- es una función que mapea a .
Intuitivamente, la oración "para cada existe un tal que "se convierte a la forma equivalente" existe una función mapeando cada en un tal que, por cada se mantiene ".
Esta equivalencia es útil porque la definición de satisfacibilidad de primer orden cuantifica implícitamente existencialmente sobre la evaluación de símbolos de función. En particular, una fórmula de primer orden es satisfactorio si existe un modelo y una evaluación de las variables libres de la fórmula que evalúan la fórmula como verdadera . El modelo contiene la evaluación de todos los símbolos de función; por lo tanto, las funciones de Skolem se cuantifican existencialmente de manera implícita. En el ejemplo anterior, es satisfactorio si y solo si existe un modelo , que contiene una evaluación de , tal que es cierto para alguna evaluación de sus variables libres (ninguna en este caso). Esto puede expresarse en segundo orden como. Por la equivalencia anterior, esto es lo mismo que la satisfacibilidad de.
En el metanivel, satisfacibilidad de primer orden de una fórmula puede escribirse con un poco de abuso de notación como , dónde es un modelo, es una evaluación de las variables libres, y significa que es cierto en debajo . Dado que los modelos de primer orden contienen la evaluación de todos los símbolos de función, cualquier función de Skolem que contiene está implícitamente cuantificado existencialmente por . Como resultado, después de reemplazar los cuantificadores existenciales sobre las variables por los cuantificadores existenciales sobre las funciones al principio de la fórmula, la fórmula aún puede ser tratada como de primer orden al eliminar estos cuantificadores existenciales. Este último paso de tratamiento como puede completarse porque las funciones están implícitamente cuantificadas existencialmente por en la definición de satisfacibilidad de primer orden.
La corrección de la skolemización se puede mostrar en la fórmula de ejemplo como sigue. Esta fórmula está satisfecha por un modelo si y solo si, para cada valor posible de en el dominio del modelo, existe un valor para en el dominio del modelo que hace cierto. Según el axioma de elección , existe una función tal que . Como resultado, la fórmula es satisfactoria, porque tiene el modelo obtenido al sumar la evaluación de a . Esto muestra que es satisfactorio solo si es satisfactorio también. Por el contrario, si es satisfactorio, entonces existe un modelo que lo satisfaga; este modelo incluye una evaluación de la función tal que, por cada valor de , la formula sostiene. Como resultado, se satisface con el mismo modelo porque se puede elegir, para cada valor de , el valor , dónde se evalúa de acuerdo con .
Usos de la skolemización
Uno de los usos de Skolemization es la demostración automatizada de teoremas . Por ejemplo, en el método de cuadros analíticos , siempre que ocurre una fórmula cuyo cuantificador principal es existencial, se puede generar la fórmula obtenida al eliminar ese cuantificador mediante Skolemización. Por ejemplo, si ocurre en un cuadro, donde son las variables libres de , luego se puede agregar a la misma rama del cuadro. Esta adición no altera la satisfacibilidad del cuadro: cada modelo de la fórmula anterior puede ampliarse, agregando una evaluación adecuada de, a un modelo de la nueva fórmula.
Esta forma de skolemización es una mejora con respecto a la skolemización "clásica" en el sentido de que sólo las variables que están libres en la fórmula se colocan en el término de Skolem. Esto es una mejora porque la semántica del cuadro puede colocar implícitamente la fórmula en el alcance de algunas variables cuantificadas universalmente que no están en la fórmula misma; estas variables no están en el término de Skolem, mientras que estarían allí de acuerdo con la definición original de Skolemización. Otra mejora que se puede utilizar es aplicar el mismo símbolo de función de Skolem para fórmulas que son idénticas hasta el cambio de nombre de variable. [2]
Otro uso es en el método de resolución para la lógica de primer orden , donde las fórmulas se representan como conjuntos de cláusulas que se entienden cuantificadas universalmente. (Para ver un ejemplo, consulte la paradoja del bebedor ).
Teorías de Skolem
En general, si es una teoría y para cada fórmula con variables libres hay un símbolo de función que es probablemente una función de Skolem para , luego se llama teoría de Skolem . [3]
Toda teoría de Skolem es un modelo completo , es decir, cada subestructura de un modelo es una subestructura elemental . Dado un modelo M de una teoría Skolem T , la subestructura más pequeño que contiene un cierto conjunto A se llama el casco Skolem de A . El casco de Skolem A es un atómica modelo prime sobre una .
Historia
La forma normal de Skolem lleva el nombre del fallecido matemático noruego Thoralf Skolem .
Ver también
- Herbrandization , el dual de Skolemization
- Lógica del functor de predicados
Notas
- ^ "Formas normales y skolemización" (PDF) . max planck institut informatik . Consultado el 15 de diciembre de 2012 .
- ^ R. Hähnle. Tableaux y métodos relacionados. Manual de razonamiento automatizado .
- ^ "Conjuntos, modelos y pruebas" (3.3) por I. Moerdijk y J. van Oosten
Referencias
- Hodges, Wilfrid (1997), A Shorter Model Theory , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
enlaces externos
- "Función Skolem" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Skolemización en PlanetMath.org
- Skolemization por Hector Zenil, The Wolfram Demonstrations Project .
- Weisstein, Eric W. "SkolemizedForm" . MathWorld .