En el análisis real , una rama de las matemáticas , una función que varía lentamente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es en cierto sentido similar al comportamiento de una función que converge en el infinito. De manera similar, una función que varía regularmente es una función de una variable real cuyo comportamiento en el infinito es similar al comportamiento de una función de ley de potencia (como un polinomio ) cerca del infinito. Estas clases de funciones fueron introducidas por Jovan Karamata , [1] [2] y han encontrado varias aplicaciones importantes, por ejemplo enteoría de la probabilidad .
Definiciones basicas
Definición 1 . Una función medible L : (0, + ∞) → (0, + ∞) se llama de variación lenta (en el infinito) si para todo a > 0 ,
Definición 2 . Una función L : (0, + ∞) → (0, + ∞) para la cual el límite
es finito pero distinto de cero para cada a > 0 , se denomina función que varía regularmente .
Estas definiciones se deben a Jovan Karamata . [1] [2]
Nota. En el caso de variación regular, la suma de dos funciones que varían lentamente es nuevamente una función que varía lentamente.
Propiedades básicas
Las funciones que varían regularmente tienen algunas propiedades importantes: [1] a continuación se presenta una lista parcial de ellas. En la monografía de Bingham, Goldie y Teugels (1987) se presentan análisis más extensos de las propiedades que caracterizan la variación regular .
Uniformidad del comportamiento limitante
Teorema 1 . El límite en las definiciones 1 y 2 es uniforme si a está restringido a un intervalo compacto .
Teorema de caracterización de Karamata
Teorema 2 . Cada función que varía regularmente f : (0, + ∞) → (0, + ∞) tiene la forma
dónde
- β es un número real, es decir, β ∈ R
- L es una función que varía lentamente.
Nota . Esto implica que la función g ( a ) en la definición 2 tiene que ser necesariamente de la siguiente forma
donde el número real ρ se denomina índice de variación regular .
Teorema de representación de Karamata
Teorema 3 . Una función L varía lentamente si y solo si existe B > 0 tal que para todo x ≥ B la función se puede escribir en la forma
dónde
- η ( x ) es una función medible acotada de una variable real que converge a un número finito cuando x va al infinito
- ε ( x ) es una función medible acotada de una variable real que converge a cero cuando x va al infinito.
Ejemplos de
- Si L tiene un límite
- entonces L es una función que varía lentamente.
- Para cualquier β ∈ R , la función L ( x ) = log β x varía lentamente.
- La función L ( x ) = x no varía lentamente, ni L ( x ) = x β para cualquier β ≠ 0 real . Sin embargo, estas funciones varían regularmente.
Ver también
- Teoría analítica de números
- Teorema tauberiano de Hardy-Littlewood y su tratamiento por Karamata
Notas
- ^ a b c Ver ( Galambos y Seneta 1973 )
- ↑ a b Ver ( Bingham, Goldie y Teugels 1987 ).
Referencias
- Bingham, NH (2001) [1994], "Función de variación lenta" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Bingham, NH; Goldie, CM; Teugels, JL (1987), Variación regular , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 27 , Cambridge : Cambridge University Press , ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871 , Zbl 0.617,26001
- Galambos, J .; Seneta, E. (1973), "Regularly Varying Sequences", Proceedings of the American Mathematical Society , 41 (1): 110-116, doi : 10.2307 / 2038824 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2038824.