La solución de triángulos ( latín : solutio triangulorum ) es el principal problema trigonométrico de encontrar las características de un triángulo (ángulos y longitudes de lados), cuando se conocen algunos de estos. El triángulo se puede ubicar en un plano o en una esfera . Las aplicaciones que requieren soluciones triangulares incluyen geodesia , astronomía , construcción y navegación .
Resolver triángulos planos
Un triángulo de forma general tiene seis características principales (ver imagen): tres lineales (longitudes de los lados a , b , c ) y tres angulares ( α , β , γ ). El problema clásico de trigonometría plana consiste en especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. Un triángulo se puede determinar de forma única en este sentido cuando se le da cualquiera de los siguientes: [1] [2]
- Tres lados ( SSS )
- Dos lados y el ángulo incluido ( SAS )
- Dos lados y un ángulo no incluido entre ellos ( SSA ), si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado.
- Un lado y los dos ángulos adyacentes a él ( ASA )
- Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente a él ( AAS ).
Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos una de las longitudes de los lados. Si solo se dan los ángulos, no se pueden determinar las longitudes de los lados, porque cualquier triángulo similar es una solución.
Relaciones trigonómicas
El método estándar para resolver el problema es utilizar relaciones fundamentales.
Hay otras relaciones universales (a veces prácticamente útiles): la ley de las cotangentes y la fórmula de Mollweide .
Notas
- Para encontrar un ángulo desconocido, la ley de los cosenos es más segura que la ley de los senos . La razón es que el valor del seno para el ángulo del triángulo no determina de manera única este ángulo. Por ejemplo, si sen β = 0.5 , el ángulo β puede ser igual a 30 ° o 150 °. El uso de la ley de los cosenos evita este problema: dentro del intervalo de 0 ° a 180 °, el valor del coseno determina inequívocamente su ángulo. Por otro lado, si el ángulo es pequeño (o cercano a 180 °), entonces es más robusto determinarlo numéricamente a partir de su seno que de su coseno porque la función arco-coseno tiene una derivada divergente en 1 (o -1) .
- Suponemos que se conoce la posición relativa de características específicas. De lo contrario, el reflejo del espejo del triángulo también será una solución. Por ejemplo, las longitudes de tres lados definen de forma única un triángulo o su reflejo.
Tres lados dados (SSS)
Deje que se especifiquen tres longitudes de lados a , b , c . Para encontrar los ángulos α , β , se puede utilizar la ley de los cosenos : [3]
Entonces ángulo γ = 180 ° - α - β .
Algunas fuentes recomiendan encontrar el ángulo β a partir de la ley de los senos, pero (como indica la Nota 1 anterior) existe el riesgo de confundir un valor de ángulo agudo con uno obtuso.
Otro método para calcular los ángulos de lados conocidos es aplicar la ley de los cotangentes .
Dos lados y el ángulo incluido dado (SAS)
Aquí se conocen las longitudes de los lados a , by el ángulo γ entre estos lados. El tercer lado se puede determinar a partir de la ley de los cosenos: [4]
Ahora usamos la ley de los cosenos para encontrar el segundo ángulo:
Finalmente, β = 180 ° - α - γ .
Dos lados y ángulo no incluido dado (SSA)
Este caso no tiene solución en todos los casos; se garantiza que una solución sea única solo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Suponga que se conocen dos lados b , c y el ángulo β . La ecuación para el ángulo γ se puede deducir de la ley de los senos : [5]
Denotamos además D =C/Bsin β (el lado derecho de la ecuación). Hay cuatro casos posibles:
- Si D > 1 , no existe tal triángulo porque el lado b no llega a la línea BC . Por la misma razón una solución no existe si el ángulo ß ≥ 90 ° y b ≤ c .
- Si D = 1 , existe una única solución: γ = 90 ° , es decir, el triángulo tiene un ángulo recto .
- Si D <1 son posibles dos alternativas.
- Si b ≥ c , entonces β ≥ γ (el lado más grande corresponde a un ángulo más grande). Dado que ningún triángulo puede tener dos ángulos obtusos, γ es un ángulo agudo y la solución γ = arcsin D es única.
- Si b < c , el ángulo γ puede ser agudo: γ = arcosen D u obtuso: γ ′ = 180 ° - γ . La figura de la derecha muestra el punto C , el lado by el ángulo γ como la primera solución, y el punto C ′ , el lado b ′ y el ángulo γ ′ como la segunda solución.
Una vez que se obtiene γ , el tercer ángulo α = 180 ° - β - γ .
El tercer lado se puede encontrar a partir de la ley de los senos:
o de la ley de los cosenos:
Un lado y dos ángulos adyacentes dados (ASA)
Las características conocidas son el lado cy los ángulos α , β . El tercer ángulo γ = 180 ° - α - β .
Se pueden calcular dos lados desconocidos a partir de la ley de los senos: [6]
o
Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dado (AAS)
El procedimiento para resolver un triángulo AAS es el mismo que para un triángulo ASA: Primero, encuentra el tercer ángulo usando la propiedad de suma de ángulos de un triángulo, luego encuentra los otros dos lados usando la ley de los senos .
Otras longitudes dadas
En muchos casos, los triángulos se pueden resolver con tres piezas de información, algunas de las cuales son las longitudes de las medianas , las altitudes o las bisectrices de los ángulos del triángulo . Posamentier y Lehmann [7] enumeran los resultados para la cuestión de la solubilidad utilizando raíces no superiores a las cuadradas (es decir, constructibilidad ) para cada uno de los 95 casos distintos; 63 de estos son construibles.
Resolver triángulos esféricos
El triángulo esférico general está completamente determinado por tres de sus seis características (3 lados y 3 ángulos). Las longitudes de los lados a , b , c de un triángulo esférico son sus ángulos centrales , medidos en unidades angulares en lugar de en unidades lineales. (En una esfera unitaria, el ángulo (en radianes ) y la longitud alrededor de la esfera son numéricamente iguales. En otras esferas, el ángulo (en radianes) es igual a la longitud alrededor de la esfera dividida por el radio).
La geometría esférica difiere de la geometría euclidiana plana , por lo que la solución de triángulos esféricos se basa en reglas diferentes. Por ejemplo, la suma de los tres ángulos α + β + γ depende del tamaño del triángulo. Además, los triángulos similares no pueden ser desiguales, por lo que el problema de construir un triángulo con tres ángulos específicos tiene una solución única. Las relaciones básicas utilizadas para resolver un problema son similares a las del caso plano: ver Ley esférica de los cosenos y Ley esférica de los senos .
Entre otras relaciones que pueden ser útiles se encuentran la fórmula de medio lado y las analogías de Napier : [8]
Tres lados dados (SSS esférico)
Conocido: los lados a , b , c (en unidades angulares). Los ángulos del triángulo se calculan utilizando la ley esférica de los cosenos :
Dos lados y el ángulo incluido dado (SAS esférico)
Conocido: los lados a , by el ángulo γ entre ellos. El lado c se puede encontrar a partir de la ley esférica de los cosenos:
Los ángulos α , β se pueden calcular como se indicó anteriormente o utilizando las analogías de Napier:
Este problema surge en el problema de la navegación de encontrar el gran círculo entre dos puntos de la Tierra especificados por su latitud y longitud; en esta aplicación, es importante utilizar fórmulas que no sean susceptibles de errores de redondeo. Para ello, se pueden utilizar las siguientes fórmulas (que pueden derivarse mediante álgebra vectorial):
donde los signos de los numeradores y denominadores en estas expresiones deben usarse para determinar el cuadrante del arcangente.
Dos lados y ángulo no incluido dado (SSA esférico)
Este problema no tiene solución en todos los casos; se garantiza que una solución sea única solo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Conocido: los lados b , cy el ángulo β no entre ellos. Existe una solución si se cumple la siguiente condición:
El ángulo γ se puede encontrar a partir de la ley esférica de los senos :
En cuanto al caso plano, si b < c, entonces hay dos soluciones: γ y 180 ° - γ .
Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier:
Se dan un lado y dos ángulos adyacentes (ASA esférico)
Conocidos: el lado cy los ángulos α , β . Primero determinamos el ángulo γ usando la ley esférica de los cosenos :
Podemos encontrar los dos lados desconocidos de la ley esférica de los cosenos (usando el ángulo calculado γ ):
o usando las analogías de Napier:
Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dado (AAS esférico)
Conocido: el lado una y los ángulos α , β . El lado b se puede encontrar a partir de la ley esférica de los senos :
Si el ángulo del lado a es agudo y α > β , existe otra solución:
Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier:
Tres ángulos dados (AAA esférico)
Conocidos: los ángulos α , β , γ . De la ley esférica de los cosenos inferimos:
Resolver triángulos esféricos en ángulo recto
Los algoritmos anteriores se vuelven mucho más simples si uno de los ángulos de un triángulo (por ejemplo, el ángulo C ) es el ángulo recto. Tal triángulo esférico está completamente definido por sus dos elementos, y los otros tres pueden calcularse usando el Pentágono de Napier o las siguientes relaciones.
- (de la ley esférica de los senos )
- (de la ley esférica de los cosenos )
- (también de la ley esférica de los cosenos)
Algunas aplicaciones
Triangulación
Si se quiere medir la distancia d desde la costa a un barco remoto mediante triangulación, se marcan en la costa dos puntos con una distancia conocida l entre ellos (la línea de base). Sean α , β los ángulos entre la línea de base y la dirección al barco.
De las fórmulas anteriores (caso ASA, asumiendo geometría plana) se puede calcular la distancia como la altura del triángulo :
Para el caso esférico, primero se puede calcular la longitud del lado desde el punto en α hasta el barco (es decir, el lado opuesto a β ) mediante la fórmula ASA
e insertar esto en la fórmula AAS para la subtriangulo derecho que contiene el ángulo α y los lados b y d :
(La fórmula plana es en realidad el primer término de la expansión de Taylor de d de la solución esférica en potencias de l .)
Este método se utiliza en cabotaje . Los ángulos α , β se definen mediante la observación de puntos de referencia familiares desde el barco.
Como otro ejemplo, si se quiere medir la altura h de una montaña o un edificio alto, se especifican los ángulos α , β desde dos puntos del suelo hasta la cima. Sea ℓ la distancia entre estos puntos. De las mismas fórmulas de caso ASA obtenemos:
La distancia entre dos puntos del globo.
Para calcular la distancia entre dos puntos del globo,
- Punto A: latitud λ A , longitud L A y
- Punto B: latitud λ B , longitud L B
consideramos el triángulo esférico ABC , donde C es el Polo Norte. Algunas caracteristicas son:
Si se dan dos lados y el ángulo incluido , obtenemos de las fórmulas
Aquí R es el radio de la Tierra .
Ver también
- Congruencia
- El problema de Hansen
- Teorema de la bisagra
- Esfera Lénárt
- Problema de Snellius-Pothenot
Referencias
- ^ "Resolver triángulos" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 4 de abril de 2012 .
- ^ "Resolver triángulos" . web.horacemann.org. Archivado desde el original el 7 de enero de 2014 . Consultado el 4 de abril de 2012 .
- ^ "Resolver triángulos SSS" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
- ^ "Resolución de triángulos SAS" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
- ^ "Resolver triángulos SSA" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 9 de marzo de 2013 .
- ^ "Resolución de triángulos ASA" . Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
- ^ Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann, Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012: págs. 201-203.
- ^ Analogías de Napier en MathWorld
- Euclid (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (ed.). Los trece libros de los elementos. Volumen I . Traducido con introducción y comentario. Dover. ISBN 0-486-60088-2.
enlaces externos
- Delicias trigonométricas , por Eli Maor , Princeton University Press, 1998. Versión de libro electrónico, en formato PDF, texto completo presentado.
- Trigonometría de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, texto completo presentado. Libro de Google.
- Trigonometría esférica en Math World.
- Introducción a Spherical Trig. Incluye una discusión sobre el círculo de Napier y las reglas de Napier.
- Trigonometría esférica: para el uso de universidades y escuelas por I. Todhunter, MA, FRS Monografía histórica de matemáticas publicada por la Biblioteca de la Universidad de Cornell .
- Triangulador : solucionador de triángulos. Resuelva cualquier problema de triángulo plano con el mínimo de datos de entrada. Dibujo del triángulo resuelto.
- TriSph - Software gratuito para resolver los triángulos esféricos, configurable para diferentes aplicaciones prácticas y configurado para gnomonic.
- Calculadora de triángulos esféricos : resuelve triángulos esféricos.