En matemáticas , el teorema del alma es un teorema de la geometría de Riemann que reduce en gran medida el estudio de variedades completas de curvatura seccional no negativa al del caso compacto . Cheeger y Gromoll probaron el teorema en 1972 generalizando un resultado de 1969 de Gromoll y Wolfgang Meyer. La conjetura del alma relacionada fue formulada por Gromoll y Cheeger en 1972 y probada por Grigori Perelman en 1994 con una prueba asombrosamente concisa.
El teorema del alma establece:
- Si ( M , g ) es una completa conectado variedad de Riemann con curvatura seccional K ≥ 0 , entonces existe un compacto totalmente convexa , totalmente geodésica subvariedad S cuya fibrado normal es difeomorfa a M .
(Tenga en cuenta que la curvatura de la sección debe ser no negativa en todas partes, pero no tiene que ser constante). Tal subvariedad S se llama alma de ( M , g ) .
El alma no está determinada únicamente por ( M , g ) en general, pero dos almas de ( M , g ) son isométricas . Esto fue probado por Sharafutdinov usando la retractación de Sharafutdinov en 1978.
Ejemplos de
Cada colector compacto es su propia alma. De hecho, el teorema a menudo se establece solo para variedades no compactas.
Como ejemplo muy simple, tome M como el espacio euclidiano R n . La curvatura en sección es 0 en todas partes, y cualquier punto de M puede servir como un alma de M .
Ahora tome el paraboloide M = {( x , y , z ): z = x 2 + y 2 }, siendo la métrica g la distancia euclidiana ordinaria procedente de la incrustación del paraboloide en el espacio euclidiano R 3 . Aquí la curvatura seccional es positiva en todas partes, aunque no constante. El origen (0, 0, 0) es un alma de M . No todos los puntos x de M son un alma de M , ya que puede haber bucles geodésicos basados en x , en cuyo caso no sería totalmente convexo.
También se puede considerar un cilindro infinito M = {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1 }, nuevamente con la métrica euclidiana inducida. La curvatura seccional es 0 en todas partes. Cualquier círculo "horizontal" {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1 } con fijo z es un alma de M . Las secciones transversales no horizontales del cilindro no son almas ya que no son ni totalmente convexas ni totalmente geodésicas.
Conjetura del alma
La conjetura del alma de Cheeger y Gromoll dice:
- Suponga que ( M , g ) está completo, conectado y no compacto con una curvatura seccional K ≥ 0 , y existe un punto en M donde la curvatura seccional (en todas las direcciones seccionales) es estrictamente positiva. Entonces el alma de M es un punto; de manera equivalente, M es difeomórfico de R n .
Grigori Perelman demostró esta afirmación al establecer que en el caso general K ≥ 0 , la retracción de Sharafutdinov P: M → S es una inmersión . Más tarde, Cao y Shaw proporcionaron una prueba diferente que evita el teorema de la tira plana de Perelman .
Referencias
- Cao, Jianguo; Shaw, Mei-Chi. "Una nueva prueba de la conjetura del alma de Cheeger-Gromoll y el teorema de Takeuchi" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de febrero de 2004.
- Cheeger, Jeff; Gromoll, Detlef (1972), "Sobre la estructura de variedades completas de curvatura no negativa", Annals of Mathematics , Second Series, 96 (3): 413–443, doi : 10.2307 / 1970819 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970819 , MR 0309010
- Gromoll, Detlef; Meyer, Wolfgang (1969), "Sobre variedades abiertas completas de curvatura positiva" , Annals of Mathematics , Second Series, 90 (1): 75–90, doi : 10.2307 / 1970682 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970682 , MR 0247590
- Perelman, Grigori (1994), "Prueba de la conjetura del alma de Cheeger y Gromoll" , Journal of Differential Geometry , 40 (1): 209-212, doi : 10.4310 / jdg / 1214455292 , ISSN 0022-040X , MR 1285534 , Zbl 0818.53056
- Sharafutdinov, VA (1979), "Conjuntos convexos en una variedad de curvatura no negativa", Mathematical Notes , 26 (1): 556–560, doi : 10.1007 / BF01140282