En matemáticas , una inmersión es un mapa diferenciable entre variedades diferenciables cuyo diferencial es sobreyectivo en todas partes . Este es un concepto básico en topología diferencial . La noción de inmersión es dual con la noción de inmersión .
Definición
Deje que M y N sean variedades diferenciables yser un mapa diferenciable entre ellos. El mapa f es una inmersión en un punto si su diferencial
es un mapa lineal sobreyectivo . [1] En este caso p se llama un punto regular del mapa f , de lo contrario, p es un punto crítico . Un puntoes un valor regular de f si todos los puntos p en la preimagen son puntos regulares. Un mapa diferenciable f que es una inmersión en cada puntose llama inmersión . De manera equivalente, f es una inmersión si su diferencialtiene rango constante igual a la dimensión de N .
Una advertencia: algunos autores utilizan el término punto crítico para describir un punto donde el rango de la matriz jacobiana de f en p no es máximo. [2] De hecho, esta es la noción más útil en la teoría de la singularidad . Si la dimensión de M es mayor o igual que la dimensión de N , estas dos nociones de punto crítico coinciden. Pero si la dimensión de M es menor que la dimensión de N , todos los puntos son críticos de acuerdo con la definición anterior (el diferencial no puede ser sobreyectivo) pero el rango del jacobiano aún puede ser máximo (si es igual a dim M ). La definición dada arriba es la más comúnmente utilizada; por ejemplo, en la formulación del teorema de Sard .
Teorema de inmersión
Dada una inmersión entre colectores suaves las fibras de, denotado Puede equiparse con la estructura de un colector liso. Este teorema, junto con el teorema de inclusión de Whitney, implica que cada variedad suave puede describirse como la fibra de un mapa suave..
Por ejemplo, considere dada por La matriz jacobiana es
Esto tiene un rango máximo en todos los puntos excepto para . Además, las fibras
están vacíos para, e igual a un punto cuando . Por lo tanto, solo tenemos una inmersión suave. y los subconjuntos son colectores lisos bidimensionales para .
Ejemplos de
- Cualquier proyección
- Difeomorfismos locales
- Inmersiones riemannianas
- La proyección en un haz de vectores suave o una fibración suave más general . La sobrejetividad del diferencial es una condición necesaria para la existencia de una banalización local .
Mapas entre esferas
Una gran clase de ejemplos de inmersiones son las inmersiones entre esferas de mayor dimensión, como
cuyas fibras tienen dimensión . Esto se debe a que las fibras (imágenes inversas de elementos) son colectores lisos de dimensión . Entonces, si tomamos un camino
y toma el retroceso
obtenemos un ejemplo de un tipo especial de bordismo , llamado bordismo enmarcado . De hecho, los grupos de cobordismo enmarcadosestán íntimamente relacionados con los grupos homotópicos estables .
Familias de variedades algebraicas
Otra gran clase de inmersiones está dada por familias de variedades algebraicas. cuyas fibras son variedades algebraicas suaves. Si consideramos las variedades subyacentes de estas variedades, obtenemos variedades suaves. Por ejemplo, la familia Weierstaussde curvas elípticas es una inmersión ampliamente estudiada porque incluye muchas complejidades técnicas que se utilizan para demostrar teorías más complejas, como la homología de intersecciones y las poleas perversas . Esta familia está dada por
dónde es la línea afín y es el plano afín. Dado que estamos considerando variedades complejas, estos son, de manera equivalente, los espaciosde la línea compleja y el plano complejo. Tenga en cuenta que deberíamos eliminar los puntos porque hay singularidades (ya que hay una raíz doble).
Forma normal local
Si f : M → N es una sumersión en p y f ( p ) = q ∈ N , entonces existe un entorno abierto U de p en M , un entorno abierto V de q en N , y coordenadas locales ( x 1 , ... , x m ) en p y ( x 1 , ..., x n ) en q tal que f ( T ) = V , y el mapa f en estas coordenadas locales es la proyección estándar
De ello se deduce que la preimagen completa f −1 ( q ) en M de un valor regular q en N bajo un mapa diferenciable f : M → N está vacía o es una variedad diferenciable de dimensión dim M - dim N , posiblemente desconectada . Este es el contenido del teorema del valor regular (también conocido como teorema de inmersión ). En particular, la conclusión es válida para todo q en N si el mapa f es una inmersión.
Inmersiones topológicas múltiples
Las inmersiones también están bien definidas para variedades topológicas generales . [3] Una inmersión múltiple topológica es una sobreyección continua f : M → N tal que para todo p en M , para algunas cartas continuas ψ en p y φ en f (p) , el mapa ψ −1 ∘ f ∘ φ es igual al mapa de proyección de R m a R n , donde m = dim ( M ) ≥ n = dim ( N ) .
Ver también
Notas
- ^ Crampin y Pirani 1994 , p. 243. do Carmo 1994 , p. 185. Frankel 1997 , pág. 181. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004 , pág. 12. Kosinski 2007 , pág. 27. Lang 1999 , pág. 27. Sternberg 2012 , pág. 378.
- ^ Arnold, Gusein-Zade y Varchenko 1985 .
- ^ Lang 1999 , p. 27.
Referencias
- Arnold, Vladimir I .; Gusein-Zade, Sabir M .; Varchenko, Alexander N. (1985). Singularidades de mapas diferenciables: volumen 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
- Bruce, James W .; Giblin, Peter J. (1984). Curvas y singularidades . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42999-4. Señor 0774048 .
- Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Geometría diferencial aplicable . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-23190-9.
- do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Geometría de Riemann . ISBN 978-0-8176-3490-2.
- Frankel, Theodore (1997). La geometría de la física . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-38753-1. Señor 1481707 .
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría de Riemann (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Colectores diferenciales . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge (1999). Fundamentos de la geometría diferencial . Textos de Posgrado en Matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Sternberg, Shlomo Zvi (2012). Curvatura en Matemáticas y Física . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47855-5.