En física , el espacio-tiempo es cualquier modelo matemático que fusiona las tres dimensiones del espacio y la dimensión única del tiempo en una única variedad de cuatro dimensiones . El tejido del espacio-tiempo es un modelo conceptual que combina las tres dimensiones del espacio con la cuarta dimensión del tiempo. Los diagramas de espacio-tiempo se pueden usar para visualizar efectos relativistas , como por qué diferentes observadores perciben de manera diferente dónde y cuándo ocurren los eventos.
Hasta el siglo XX, se asumía que la geometría tridimensional del universo (su expresión espacial en términos de coordenadas, distancias y direcciones) era independiente del tiempo unidimensional. El famoso físico Albert Einstein ayudó a desarrollar la idea del espacio-tiempo como parte de su teoría de la relatividad . Antes de su trabajo pionero, los científicos tenían dos teorías separadas para explicar los fenómenos físicos: las leyes de la física de Isaac Newton describían el movimiento de objetos masivos, mientras que los modelos electromagnéticos de James Clerk Maxwell explicaban las propiedades de la luz. Sin embargo, en 1905, Albert Einstein basó un trabajo sobre la relatividad especial en dos postulados:
- Las leyes de la física son invariantes (es decir, idénticas) en todos los sistemas inerciales (es decir, marcos de referencia no acelerados)
- La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente de luz.
La consecuencia lógica de tomar juntos estos postulados es la unión inseparable de las cuatro dimensiones, hasta ahora asumidas como independientes, del espacio y el tiempo. Surgen muchas consecuencias contradictorias: además de ser independiente del movimiento de la fuente de luz, la velocidad de la luz es constante independientemente del marco de referencia en el que se mida; las distancias e incluso el orden temporal de pares de eventos cambian cuando se miden en diferentes marcos de referencia inerciales (esta es la relatividad de la simultaneidad ); y la aditividad lineal de las velocidades ya no es válida.
Einstein enmarcó su teoría en términos de cinemática (el estudio de los cuerpos en movimiento). Su teoría fue un avance sobre la teoría de los fenómenos electromagnéticos de Lorentz de 1904 y la teoría electrodinámica de Poincaré . Aunque estas teorías incluían ecuaciones idénticas a las que introdujo Einstein (es decir, la transformación de Lorentz ), eran esencialmente modelos ad hoc propuestos para explicar los resultados de varios experimentos, incluido el famoso experimento del interferómetro de Michelson-Morley , que eran extremadamente difíciles de encajar en paradigmas existentes.
En 1908, Hermann Minkowski —una vez uno de los profesores de matemáticas de un joven Einstein en Zúrich— presentó una interpretación geométrica de la relatividad especial que fusionaba el tiempo y las tres dimensiones espaciales del espacio en un único continuo de cuatro dimensiones ahora conocido como espacio de Minkowski . Una característica clave de esta interpretación es la definición formal del intervalo espaciotemporal. Aunque las mediciones de distancia y tiempo entre eventos difieren para las mediciones realizadas en diferentes marcos de referencia, el intervalo de espacio-tiempo es independiente del marco de referencia inercial en el que se registran. [1]
La interpretación geométrica de la relatividad de Minkowski resultó vital para el desarrollo de Einstein de su teoría general de la relatividad de 1915 , en la que mostró cómo la masa y la energía curvan el espacio-tiempo plano en una variedad pseudo-riemanniana .
Introducción
Definiciones
La mecánica clásica no relativista trata el tiempo como una cantidad universal de medida que es uniforme en todo el espacio y está separada del espacio. La mecánica clásica asume que el tiempo tiene una velocidad de paso constante, independiente del estado de movimiento del observador o de cualquier cosa externa. [2] Además, asume que el espacio es euclidiano ; asume que el espacio sigue la geometría del sentido común. [3]
En el contexto de la relatividad especial , el tiempo no puede separarse de las tres dimensiones del espacio, porque la velocidad observada a la que pasa el tiempo de un objeto depende de la velocidad del objeto en relación con el observador. La relatividad general también proporciona una explicación de cómo los campos gravitacionales pueden ralentizar el paso del tiempo de un objeto visto por un observador fuera del campo.
En el espacio ordinario, una posición se especifica mediante tres números, conocidos como dimensiones . En el sistema de coordenadas cartesianas , estos se denominan x, y y z. Una posición en el espacio-tiempo se llama evento y requiere que se especifiquen cuatro números: la ubicación tridimensional en el espacio, más la posición en el tiempo (Fig. 1). Un evento está representado por un conjunto de coordenadas x , y , z y t . Por tanto, el espacio-tiempo es de cuatro dimensiones . Los eventos matemáticos tienen una duración cero y representan un solo punto en el espacio-tiempo.
El camino de una partícula a través del espacio-tiempo puede considerarse una sucesión de eventos. La serie de eventos se puede unir para formar una línea que representa el progreso de una partícula a través del espacio-tiempo. Esa línea se llama línea del mundo de la partícula . [4] : 105
Matemáticamente, el espacio-tiempo es una variedad , es decir, aparece localmente "plano" cerca de cada punto de la misma manera que, a escalas suficientemente pequeñas, un globo parece plano. [5] Un factor de escala extremadamente grande,(convencionalmente llamada velocidad de la luz ) relaciona las distancias medidas en el espacio con las distancias medidas en el tiempo. La magnitud de este factor de escala (casi 300.000 kilómetros o 190.000 millas en el espacio equivalen a un segundo en el tiempo), junto con el hecho de que el espacio-tiempo es múltiple, implica que a velocidades ordinarias, no relativistas y ordinarias, a escala humana. distancias, hay poco que los humanos pudieran observar que sea notablemente diferente de lo que podrían observar si el mundo fuera euclidiano. Fue solo con el advenimiento de las mediciones científicas sensibles a mediados del siglo XIX, como el experimento de Fizeau y el experimento de Michelson-Morley , que comenzaron a notarse desconcertantes discrepancias entre la observación y las predicciones basadas en la suposición implícita del espacio euclidiano. [6]
En la relatividad especial, un observador, en la mayoría de los casos, significará un marco de referencia a partir del cual se mide un conjunto de objetos o eventos. Este uso difiere significativamente del significado común del término en inglés. Los marcos de referencia son construcciones inherentemente no locales y, de acuerdo con este uso del término, no tiene sentido hablar de un observador como si tuviera una ubicación. En la Fig. 1-1, imagine que el marco considerado está equipado con una densa red de relojes, sincronizados dentro de este marco de referencia, que se extiende indefinidamente a lo largo de las tres dimensiones del espacio. Cualquier ubicación específica dentro de la celosía no es importante. La celosía de los relojes se utiliza para determinar el tiempo y la posición de los eventos que tienen lugar dentro de todo el marco. El término observador se refiere al conjunto completo de relojes asociados con un marco de referencia inercial. [7] : 17-22 En este caso idealizado, cada punto en el espacio tiene un reloj asociado con él y, por lo tanto, los relojes registran cada evento instantáneamente, sin demora de tiempo entre un evento y su registro. Sin embargo, un observador real verá un retraso entre la emisión de una señal y su detección debido a la velocidad de la luz. Para sincronizar los relojes, en la reducción de datos que sigue a un experimento, la hora en que se recibe una señal se corregirá para reflejar su hora real si hubiera sido registrada por una red idealizada de relojes.
En muchos libros sobre relatividad especial, especialmente en los más antiguos, la palabra "observador" se usa en el sentido más común de la palabra. Por lo general, se desprende del contexto qué significado se ha adoptado.
Los físicos distinguen entre lo que uno mide u observa (después de que uno ha factorizado los retrasos en la propagación de la señal) y lo que uno ve visualmente sin tales correcciones. No comprender la diferencia entre lo que uno mide / observa y lo que ve es la fuente de muchos errores entre los estudiantes principiantes de la relatividad. [8]
Historia
A mediados del siglo XIX, se consideró que varios experimentos, como la observación del punto Arago y las mediciones diferenciales de la velocidad de la luz en el aire frente al agua, habían demostrado la naturaleza ondulatoria de la luz en contraposición a una teoría corpuscular . [9] Se asumió entonces que la propagación de ondas requería la existencia de un medio ondulante ; en el caso de las ondas de luz, se consideró que se trataba de un hipotético éter luminífero . [nota 1] Sin embargo, los diversos intentos de establecer las propiedades de este medio hipotético arrojaron resultados contradictorios. Por ejemplo, el experimento de Fizeau de 1851 demostró que la velocidad de la luz en el agua que fluye era menor que la suma de la velocidad de la luz en el aire más la velocidad del agua en una cantidad que dependía del índice de refracción del agua. Entre otras cuestiones, la dependencia del arrastre parcial del éter que implica este experimento en el índice de refracción (que depende de la longitud de onda) llevó a la desagradable conclusión de que el éter fluye simultáneamente a diferentes velocidades para diferentes colores de luz. [10] El famoso experimento de Michelson-Morley de 1887 (Fig. 1-2) no mostró ninguna influencia diferencial de los movimientos de la Tierra a través del hipotético éter sobre la velocidad de la luz, y la explicación más probable, el arrastre completo del éter, estaba en conflicto con el observación de aberraciones estelares . [6]
George Francis FitzGerald en 1889, y Hendrik Lorentz en 1892, propusieron de forma independiente que los cuerpos materiales que viajaban a través del éter fijo se veían afectados físicamente por su paso, contrayéndose en la dirección del movimiento en una cantidad que era exactamente la necesaria para explicar los resultados negativos de el experimento de Michelson-Morley. (No se producen cambios de longitud en direcciones transversales a la dirección del movimiento).
Para 1904, Lorentz había expandido su teoría de tal manera que había llegado a ecuaciones formalmente idénticas a las que Einstein derivaría más tarde (es decir, la transformada de Lorentz ), pero con una interpretación fundamentalmente diferente. Como teoría de la dinámica (el estudio de fuerzas y momentos de torsión y su efecto sobre el movimiento), su teoría asumía deformaciones físicas reales de los constituyentes físicos de la materia. [11] : 163-174 Las ecuaciones de Lorentz predijeron una cantidad que llamó hora local , con la que podría explicar la aberración de la luz , el experimento de Fizeau y otros fenómenos. Sin embargo, Lorentz consideraba que la hora local era solo una herramienta matemática auxiliar, un truco por así decirlo, para simplificar la transformación de un sistema a otro.
Otros físicos y matemáticos de principios de siglo estuvieron a punto de llegar a lo que actualmente se conoce como espacio-tiempo. El propio Einstein señaló que con tanta gente desentrañando piezas separadas del rompecabezas, "la teoría especial de la relatividad, si consideramos su desarrollo en retrospectiva, estaba lista para ser descubierta en 1905". [12]
Un ejemplo importante es Henri Poincaré , [13] [14] : 73–80,93–95 quien en 1898 argumentó que la simultaneidad de dos eventos es una cuestión de convención. [15] [nota 2] En 1900, reconoció que la "hora local" de Lorentz es en realidad lo que se indica mediante relojes en movimiento al aplicar una definición explícitamente operativa de sincronización de reloj asumiendo una velocidad constante de la luz. [nota 3] En 1900 y 1904, sugirió la indetectabilidad inherente del éter al enfatizar la validez de lo que llamó el principio de relatividad , y en 1905/1906 [16] perfeccionó matemáticamente la teoría de los electrones de Lorentz para llevarla a cabo de acuerdo con el postulado de la relatividad. Mientras discutía varias hipótesis sobre la gravitación invariante de Lorentz, introdujo el concepto innovador de un espacio-tiempo de 4 dimensiones definiendo varios cuatro vectores , a saber, cuatro posiciones , cuatro velocidades y cuatro fuerzas . [17] [18] Sin embargo, no siguió el formalismo de 4 dimensiones en artículos posteriores, afirmando que esta línea de investigación parecía "implicar un gran dolor por un beneficio limitado", y finalmente concluyó "que el lenguaje tridimensional parece el más adecuado a la descripción de nuestro mundo ". [18] Además, incluso en 1909, Poincaré siguió creyendo en la interpretación dinámica de la transformada de Lorentz. [11] : 163-174 Por estas y otras razones, la mayoría de los historiadores de la ciencia argumentan que Poincaré no inventó lo que ahora se llama relatividad especial. [14] [11]
En 1905, Einstein introdujo la relatividad especial (aunque sin utilizar las técnicas del formalismo del espacio-tiempo) en su comprensión moderna como teoría del espacio y el tiempo. [14] [11] Si bien sus resultados son matemáticamente equivalentes a los de Lorentz y Poincaré, Einstein demostró que las transformaciones de Lorentz no son el resultado de interacciones entre la materia y el éter, sino que más bien se refieren a la naturaleza del espacio y el tiempo en sí. Obtuvo todos sus resultados al reconocer que toda la teoría puede basarse en dos postulados: el principio de relatividad y el principio de constancia de la velocidad de la luz.
Einstein realizó su análisis en términos de cinemática (el estudio de cuerpos en movimiento sin referencia a fuerzas) en lugar de dinámica. Su trabajo al presentar el tema estuvo lleno de imágenes vívidas que involucran el intercambio de señales de luz entre relojes en movimiento, mediciones cuidadosas de la longitud de las varillas en movimiento y otros ejemplos similares. [19] [nota 4]
Además, Einstein en 1905 reemplazó los intentos anteriores de una relación masa-energía electromagnética al introducir la equivalencia general de masa y energía , que fue fundamental para su posterior formulación del principio de equivalencia en 1907, que declara la equivalencia de masa inercial y gravitacional. Al utilizar la equivalencia masa-energía, Einstein demostró, además, que la masa gravitacional de un cuerpo es proporcional a su contenido de energía, que fue uno de los primeros resultados en el desarrollo de la relatividad general . Si bien parece que al principio no pensó geométricamente sobre el espacio-tiempo, [21] : 219 en el desarrollo posterior de la relatividad general, Einstein incorporó completamente el formalismo del espacio-tiempo.
Cuando Einstein publicó en 1905, otro de sus competidores, su antiguo profesor de matemáticas Hermann Minkowski , también había llegado a la mayoría de los elementos básicos de la relatividad especial. Max Born relató una reunión que había hecho con Minkowski, buscando ser alumno / colaborador de Minkowski: [22]
Fui a Colonia, conocí a Minkowski y escuché su célebre conferencia 'Espacio y tiempo' pronunciada el 2 de septiembre de 1908. […] Me dijo más tarde que le sorprendió mucho cuando Einstein publicó su artículo en el que la equivalencia del se pronunciaron las diferentes horas locales de los observadores moviéndose entre sí; porque había llegado a las mismas conclusiones independientemente, pero no las publicó porque deseaba primero elaborar la estructura matemática en todo su esplendor. Nunca hizo una afirmación de prioridad y siempre le dio a Einstein toda su participación en el gran descubrimiento.
Minkowski se había preocupado por el estado de la electrodinámica después de los experimentos disruptivos de Michelson al menos desde el verano de 1905, cuando Minkowski y David Hilbert dirigieron un seminario avanzado al que asistieron notables físicos de la época para estudiar los artículos de Lorentz, Poincaré et al. Sin embargo, no está del todo claro cuándo Minkowski comenzó a formular la formulación geométrica de la relatividad especial que iba a llevar su nombre, o hasta qué punto fue influenciado por la interpretación cuatridimensional de Poincaré de la transformación de Lorentz. Tampoco está claro si alguna vez apreció plenamente la contribución crítica de Einstein a la comprensión de las transformaciones de Lorentz, pensando en el trabajo de Einstein como una extensión del trabajo de Lorentz. [23]
El 5 de noviembre de 1907 (poco más de un año antes de su muerte), Minkowski presentó su interpretación geométrica del espacio-tiempo en una conferencia en la sociedad matemática de Göttingen con el título El principio de relatividad ( Das Relativitätsprinzip ). [nota 5] El 21 de septiembre de 1908, Minkowski presentó su famosa charla, Espacio y tiempo ( Raum und Zeit ), [24] a la Sociedad Alemana de Científicos y Médicos. Las palabras iniciales de Espacio y tiempo incluyen la famosa declaración de Minkowski de que "de ahora en adelante, el espacio para sí mismo y el tiempo para sí mismo se reducirán por completo a una mera sombra, y sólo algún tipo de unión de los dos preservará la independencia". Espacio y tiempo incluyó la primera presentación pública de diagramas de espacio-tiempo (Fig. 1-4), e incluyó una demostración notable de que el concepto de intervalo invariante ( discutido a continuación ), junto con la observación empírica de que la velocidad de la luz es finita, permite derivación de la totalidad de la relatividad especial. [nota 6]
El concepto de espacio-tiempo y el grupo de Lorentz están estrechamente relacionados con ciertos tipos de geometrías esféricas , hiperbólicas o conformes y sus grupos de transformación ya desarrollados en el siglo XIX, en los que se utilizan intervalos invariantes análogos al intervalo espacio-temporal . [nota 7]
Einstein, por su parte, inicialmente desdeñó la interpretación geométrica de la relatividad especial de Minkowski, considerándola como überflüssige Gelehrsamkeit (aprendizaje superfluo). Sin embargo, para completar su búsqueda de la relatividad general que comenzó en 1907, la interpretación geométrica de la relatividad resultó ser vital, y en 1916, Einstein reconoció plenamente su deuda con Minkowski, cuya interpretación facilitó enormemente la transición a la relatividad general. [11] : 151-152 Dado que existen otros tipos de espaciotiempo, como el espaciotiempo curvo de la relatividad general, el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce hoy como espaciotiempo de Minkowski.
El espacio-tiempo en la relatividad especial
Intervalo de espacio-tiempo
En tres dimensiones, la distancia entre dos puntos se puede definir usando el teorema de Pitágoras :
Aunque dos espectadores pueden medir la posición x , y , z de los dos puntos usando diferentes sistemas de coordenadas, la distancia entre los puntos será la misma para ambos (asumiendo que están midiendo usando las mismas unidades). La distancia es "invariable".
En relatividad especial, sin embargo, la distancia entre dos puntos ya no es la misma si la miden dos observadores diferentes cuando uno de los observadores se está moviendo, debido a la contracción de Lorentz . La situación se complica aún más si los dos puntos están separados tanto en el tiempo como en el espacio. Por ejemplo, si un observador ve que dos eventos ocurren en el mismo lugar, pero en diferentes momentos, una persona que se mueve con respecto al primer observador verá que los dos eventos ocurren en diferentes lugares, porque (desde su punto de vista) son estacionarios. , y la posición del evento se está alejando o acercándose. Por lo tanto, se debe utilizar una medida diferente para medir la "distancia" efectiva entre dos eventos.
En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el análogo a la distancia es el intervalo . Aunque el tiempo se presenta como una cuarta dimensión, se trata de manera diferente a las dimensiones espaciales. Por tanto, el espacio de Minkowski difiere en aspectos importantes del espacio euclidiano de cuatro dimensiones . La razón fundamental para fusionar el espacio y el tiempo en el espacio-tiempo es que el espacio y el tiempo no son invariantes por separado, lo que quiere decir que, en las condiciones adecuadas, diferentes observadores no estarán de acuerdo sobre la duración del tiempo entre dos eventos (debido a la dilatación del tiempo ) o la distancia entre los dos eventos (debido a la contracción de la longitud ). Pero la relatividad especial proporciona un nuevo invariante, llamado intervalo espaciotemporal , que combina distancias en el espacio y en el tiempo. Todos los observadores que midan el tiempo y la distancia entre dos eventos terminarán calculando el mismo intervalo de espacio-tiempo. Suponga que un observador mide dos eventos separados en el tiempo por y una distancia espacial Entonces el intervalo de espacio-tiempo entre los dos eventos que están separados por una distancia en el espacio y por en el -coordinar es:
o para tres dimensiones de espacio,
- [28]
El constante la velocidad de la luz, convierte unidades de tiempo (como segundos) en unidades espaciales (como metros). Segundos por metros / segundo = metros.
Aunque por brevedad, con frecuencia se ven expresiones de intervalo expresadas sin deltas, incluso en la mayor parte de la siguiente discusión, debe entenderse que, en general, medio , etc. Siempre nos interesan las diferencias de valores de coordenadas espaciales o temporales que pertenecen a dos eventos, y dado que no hay un origen preferido, los valores de coordenadas individuales no tienen un significado esencial.
La ecuación anterior es similar al teorema de Pitágoras, excepto con un signo menos entre los y el condiciones. El intervalo de espacio-tiempo es la cantidad no sí mismo. La razón es que, a diferencia de las distancias en la geometría euclidiana, los intervalos en el espacio-tiempo de Minkowski pueden ser negativos. En lugar de tratar con raíces cuadradas de números negativos, los físicos suelen considerarcomo un símbolo distinto en sí mismo, en lugar del cuadrado de algo. [21] : 217
Debido al signo menos, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos distintos puede ser cero. Sies positivo, el intervalo de espacio-tiempo es similar al tiempo , lo que significa que dos eventos están separados por más tiempo que espacio. Sies negativo, el intervalo de espacio-tiempo es similar a un espacio , lo que significa que dos eventos están separados por más espacio que tiempo. Los intervalos de espacio-tiempo son cero cuandoEn otras palabras, el intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos en la línea del mundo de algo que se mueve a la velocidad de la luz es cero. Tal intervalo se denomina ligero o nulo . Un fotón que llega a nuestro ojo desde una estrella distante no habrá envejecido, a pesar de haber pasado (desde nuestra perspectiva) años en su paso.
Un diagrama de espacio-tiempo generalmente se dibuja con un solo espacio y una sola coordenada de tiempo. La figura 2-1 presenta un diagrama de espacio-tiempo que ilustra las líneas del mundo (es decir, trayectorias en el espacio-tiempo) de dos fotones, A y B, que se originan en el mismo evento y van en direcciones opuestas. Además, C ilustra la línea del mundo de un objeto a una velocidad menor que la de la luz. La coordenada de tiempo vertical se escala porpara que tenga las mismas unidades (metros) que la coordenada del espacio horizontal. Dado que los fotones viajan a la velocidad de la luz, sus líneas de mundo tienen una pendiente de ± 1. En otras palabras, cada metro que un fotón viaja hacia la izquierda o hacia la derecha requiere aproximadamente 3.3 nanosegundos de tiempo.
Hay dos convenciones de signos en uso en la literatura de la relatividad:
y
Estas convenciones de signos están asociadas con las firmas métricas (+ - - -) y (- + + +). Una pequeña variación consiste en colocar la coordenada de tiempo en último lugar que en primer lugar. Ambas convenciones se utilizan ampliamente en el campo de estudio.
Marcos de referencia
Para obtener información sobre cómo las coordenadas del espacio-tiempo medidas por los observadores en diferentes marcos de referencia se comparan entre sí, es útil trabajar con una configuración simplificada con marcos en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite simplificar las matemáticas sin pérdida de generalidad en las conclusiones a las que se llega. En la Fig. 2-2, dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos de 3 espacios convencionales) se muestran en movimiento relativo. La trama S pertenece a un primer observador O, y la trama S ′ (pronunciada "S prima") pertenece a un segundo observador O ′.
- Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelos a los respectivos ejes cebados del marco S '.
- La trama S ′ se mueve en la dirección x de la trama S con una velocidad constante v medida en la trama S.
- Los orígenes de las tramas S y S ′ son coincidentes cuando el tiempo t = 0 para la trama S y t ′ = 0 para la trama S ′. [4] : 107
La Fig. 2-3a vuelve a dibujar la Fig. 2-2 en una orientación diferente. La figura 2-3b ilustra un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O. Dado que S y S ′ están en configuración estándar, sus orígenes coinciden en los momentos t = 0 en el marco S y t ′ = 0 en el marco S ′. El eje ct ′ pasa a través de los eventos en el marco S ′ que tienen x ′ = 0. Pero los puntos con x ′ = 0 se mueven en la dirección x del marco S con velocidad v , de modo que no coinciden con ct eje en cualquier momento que no sea cero. Por lo tanto, el eje ct ′ está inclinado con respecto al eje ct en un ángulo θ dado por
El eje x 'también está inclinado con respecto al eje x . Para determinar el ángulo de esta inclinación, recordamos que la pendiente de la línea universal de un pulso de luz es siempre ± 1. La figura 2-3c presenta un diagrama de espacio-tiempo desde el punto de vista del observador O ′. El evento P representa la emisión de un pulso de luz en x ′ = 0, ct ′ = - a . El pulso se refleja en un espejo situado a una distancia a de la fuente de luz (evento Q) y regresa a la fuente de luz en x ′ = 0, ct ′ = a (evento R).
Los mismos eventos P, Q, R se grafican en la figura 2-3b en el marco del observador O.Las trayectorias de luz tienen pendientes = 1 y −1, de modo que △ PQR forma un triángulo rectángulo con PQ y QR a 45 grados a las x y ct ejes. Dado que OP = OQ = OR, el ángulo entre x ′ y x también debe ser θ . [4] : 113–118
Mientras que el marco en reposo tiene ejes de espacio y tiempo que se encuentran en ángulos rectos, el marco en movimiento se dibuja con ejes que se encuentran en un ángulo agudo. Los marcos son realmente equivalentes. La asimetría se debe a distorsiones inevitables en la forma en que las coordenadas del espacio-tiempo se pueden mapear en un plano cartesiano , y no debe considerarse más extraña que la forma en que, en una proyección de Mercator de la Tierra, los tamaños relativos de las masas de tierra cerca de los polos (Groenlandia y Antártida) son muy exageradas en relación con las masas de tierra cercanas al ecuador.
Cono de luz
En la figura 2-4, el evento O está en el origen de un diagrama de espacio-tiempo y las dos líneas diagonales representan todos los eventos que tienen un intervalo de espacio-tiempo cero con respecto al evento de origen. Estas dos líneas forman lo que se llama el cono de luz del evento O, ya que al agregar una segunda dimensión espacial (figura 2-5) se hace la apariencia de dos conos circulares rectos que se encuentran con sus ápices en O. Un cono se extiende hacia el futuro (t> 0), el otro al pasado (t <0).
Un cono de luz (doble) divide el espacio-tiempo en regiones separadas con respecto a su vértice. El interior del cono de luz futuro consta de todos los eventos que están separados del vértice por más tiempo (distancia temporal) del necesario para cruzar su distancia espacial a la velocidad de la luz; estos eventos comprenden el futuro temporal del evento O. Asimismo, el pasado temporal comprende los eventos interiores del cono de luz pasado. Entonces, en intervalos de tiempo, Δ ct es mayor que Δ x , lo que hace que los intervalos de tiempo sean positivos. La región exterior al cono de luz consiste en eventos que están separados del evento O por más espacio del que se puede cruzar a la velocidad de la luz en el tiempo dado . Estos eventos comprenden la llamada región similar a un espacio del evento O, denotado "En otra parte" en la figura 2-4. Se dice que los eventos en el cono de luz en sí son similares a la luz (o separados nulos ) de O. Debido a la invariancia del intervalo de espacio-tiempo, todos los observadores asignarán el mismo cono de luz a cualquier evento dado, y por lo tanto estarán de acuerdo en esta división del espacio-tiempo . [21] : 220
El cono de luz tiene un papel fundamental dentro del concepto de causalidad . Es posible que una señal de velocidad no más rápida que la de la luz viaje desde la posición y el tiempo de O a la posición y el tiempo de D (Fig. 2-4). Por lo tanto, es posible que el evento O tenga una influencia causal en el evento D. El cono de luz futuro contiene todos los eventos que podrían estar causalmente influenciados por O. De la misma manera, es posible que una señal de velocidad no más rápida que la luz viajar desde la posición y el tiempo de A, hasta la posición y el tiempo de O. El cono de luz pasado contiene todos los eventos que podrían tener una influencia causal en O. Por el contrario, suponiendo que las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, cualquier El evento, como por ejemplo, B o C, en la región similar a un espacio (en otros lugares), no puede afectar al evento O, ni pueden verse afectados por el evento O que emplea tal señalización. Bajo este supuesto, se excluye cualquier relación causal entre el evento O y cualquier evento en la región espacial de un cono de luz. [29]
Relatividad de la simultaneidad
Todos los observadores estarán de acuerdo en que para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz futuro del evento dado ocurre después del evento dado. Del mismo modo, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz pasado del evento dado ocurre antes del evento dado. La relación antes-después observada para eventos separados en forma de tiempo permanece sin cambios sin importar cuál sea el marco de referencia del observador, es decir, sin importar cómo se esté moviendo el observador. La situación es bastante diferente para los eventos separados en forma de espacio. La figura 2-4 se extrajo del marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde este marco de referencia, se observa que el evento C ocurre después del evento O, y se observa que el evento B ocurre antes del evento O. De una referencia diferente marco, el orden de estos eventos no relacionados causalmente se puede revertir. En particular, se observa que si dos eventos son simultáneos en un marco de referencia particular, están necesariamente separados por un intervalo similar a un espacio y, por lo tanto, no están relacionados causalmente. La observación de que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador, se denomina relatividad de la simultaneidad . [30]
La figura 2-6 ilustra el uso de diagramas de espacio-tiempo en el análisis de la relatividad de la simultaneidad. Los eventos en el espacio-tiempo son invariantes, pero los marcos de coordenadas se transforman como se discutió anteriormente en la figura 2-3. Los tres eventos (A, B, C) son simultáneos desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0. Desde el marco de referencia de un observador que se mueve en v = 0.3 c , los eventos parecen ocurrir en el orden C, B , A. Desde el cuadro de referencia de un observador que se mueve a v = -0,5 c , los eventos parece ocurrir en el orden a, B, C . La línea blanca representa un plano de simultaneidad que se mueve del pasado del observador al futuro del observador, destacando los eventos que residen en él. El área gris es el cono de luz del observador, que permanece invariable.
Un intervalo de espacio-tiempo similar a un espacio da la misma distancia que mediría un observador si los eventos que se miden fueran simultáneos al observador. Por tanto, un intervalo de espacio-tiempo similar a un espacio proporciona una medida de la distancia adecuada , es decir, laDel mismo modo, un intervalo de espacio-tiempo similar al tiempo da la misma medida de tiempo que presentaría el tic-tac acumulativo de un reloj que se mueve a lo largo de una línea de mundo dada. Por tanto, un intervalo de espacio-tiempo similar al tiempo proporciona una medida del tiempo adecuado =[21] : 220–221
Hipérbola invariante
En el espacio euclidiano (que solo tiene dimensiones espaciales), el conjunto de puntos equidistantes (usando la métrica euclidiana) desde algún punto forma un círculo (en dos dimensiones) o una esfera (en tres dimensiones). En el espacio-tiempo de Minkowski (1 + 1) -dimensional (que tiene una dimensión temporal y una espacial), los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante lejos del origen (usando la métrica de Minkowski) forman curvas dadas por las dos ecuaciones
con alguna constante real positiva. Estas ecuaciones describen dos familias de hipérbolas en un diagrama de espacio-tiempo x - ct , que se denominan hipérbolas invariantes .
En la figura 2-7a, cada hipérbola magenta conecta todos los eventos que tienen una separación espacial fija desde el origen, mientras que las hipérbolas verdes conectan eventos de igual separación temporal.
Las hipérbolas magenta, que cruzan el eje x , son curvas temporales, lo que quiere decir que estas hipérbolas representan trayectorias reales que pueden ser atravesadas por partículas (en constante aceleración) en el espacio-tiempo: entre dos eventos cualesquiera en una hipérbola es posible una relación de causalidad, porque la inversa de la pendiente, que representa la rapidez necesaria, para todas las secantes es menor que. Por otro lado, las hipérbolas verdes, que cruzan el eje ct , son curvas espaciales porque todos los intervalos a lo largo de estas hipérbolas son intervalos espaciales: no es posible causalidad entre dos puntos cualesquiera en una de estas hipérbolas, porque todas las secantes representan velocidades mayores que.
La figura 2-7b refleja la situación en el espacio-tiempo (1 + 2) -dimensional de Minkowski (una dimensión temporal y dos espaciales) con los hiperboloides correspondientes. Las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos espaciales desde el origen generan hiperboloides de una hoja, mientras que las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos temporales desde el origen generan hiperboloides de dos hojas.
El límite (1 + 2) -dimensional entre los hiperboloides espaciales y temporales, establecido por los eventos que forman un intervalo espaciotemporal cero con el origen, se compone degenerando los hiperboloides en el cono de luz. En las dimensiones (1 + 1), las hipérbolas degeneran en las dos líneas grises de 45 ° representadas en la figura 2-7a.
Dilatación del tiempo y contracción de la longitud
La figura 2-8 ilustra la hipérbola invariante para todos los eventos a los que se puede llegar desde el origen en un tiempo adecuado de 5 metros (aproximadamente 1,67 × 10 −8 s ). Diferentes líneas de mundo representan relojes que se mueven a diferentes velocidades. Un reloj que está estacionario con respecto al observador tiene una línea de mundo que es vertical, y el tiempo transcurrido medido por el observador es el mismo que el tiempo adecuado. Para un reloj que viaja a 0,3 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es de 5,24 metros (1,75 × 10 −8 s ), mientras que para un reloj que viaja a 0,7 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es de 7,00 metros (2,34 × 10 −8 s ). Esto ilustra el fenómeno conocido como dilatación del tiempo . Los relojes que viajan más rápido toman más tiempo (en el marco del observador) para marcar la misma cantidad de tiempo apropiado, y viajan más a lo largo del eje x dentro de ese tiempo apropiado de lo que lo hubieran hecho sin la dilatación del tiempo. [21] : 220-221 La medición de la dilatación del tiempo por dos observadores en diferentes marcos de referencia inerciales es mutua. Si el observador O mide que los relojes del observador O ′ corren más lento en su marco, el observador O ′ a su vez medirá los relojes del observador O como que corren más lento.
La contracción de la longitud , como la dilatación del tiempo, es una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. La medición de la longitud requiere la medición del intervalo espaciotemporal entre dos eventos que son simultáneos en el marco de referencia de uno. Pero los eventos que son simultáneos en un marco de referencia, en general, no son simultáneos en otros marcos de referencia.
La figura 2-9 ilustra los movimientos de una varilla de 1 m que se desplaza a 0,5 c a lo largo del eje x . Los bordes de la banda azul representan las líneas del mundo de los dos extremos de la barra. La hipérbola invariante ilustra eventos separados del origen por un intervalo de espacio de 1 m. Los puntos finales O y B medidos cuando t ′ = 0 son eventos simultáneos en la trama S ′. Pero para un observador en el marco S, los eventos O y B no son simultáneos. Para medir la longitud, el observador en el cuadro S mide los puntos finales de la barra proyectada sobre el eje x a lo largo de sus líneas de mundo. La proyección de la hoja del mundo de la barra sobre el eje x produce la longitud OC acortada. [4] : 125
(no ilustrado) Dibujar una línea vertical que atraviese A de modo que cruce el eje x ′ demuestra que, incluso cuando OB se acorta desde el punto de vista del observador O, OA también se acorta desde el punto de vista del observador O ′. De la misma manera que cada observador mide que los relojes del otro corren lento, cada observador mide las reglas del otro como contraídas.
Con respecto a la contracción de la longitud mutua, 2-9 ilustra que los marcos cebados y no cebados se rotan mutuamente por un ángulo hiperbólico (análogo a los ángulos ordinarios en la geometría euclidiana). [nota 8] Debido a esta rotación, la proyección de una varilla de metro imprimada sobre el eje x no imprimado se acorta, mientras que la proyección de una varilla métrica no imprimada sobre el eje x ' imprimado también se acorta.
Dilatación mutua del tiempo y la paradoja de los gemelos
Dilatación mutua del tiempo
La dilatación mutua del tiempo y la contracción de la longitud tienden a sorprender a los principiantes como conceptos intrínsecamente contradictorios. Si un observador en el cuadro S mide un reloj, en reposo en el cuadro S ', como si fuera más lento que su', mientras que S 'se mueve a una velocidad v en S, entonces el principio de relatividad requiere que un observador en el cuadro S' también mida un reloj en el cuadro S, moviéndose a velocidad - v en S ', como si fuera más lento que el de ella. Cómo dos relojes pueden funcionar más lento que el otro, es una cuestión importante que "va al corazón de la comprensión de la relatividad especial". [21] : 198
Esta aparente contradicción se debe a que no se tienen en cuenta correctamente los diferentes ajustes de las medidas necesarias relacionadas. Estos escenarios permiten una explicación coherente de la única aparente contradicción. No se trata del tic-tac abstracto de dos relojes idénticos, sino de cómo medir en un cuadro la distancia temporal de dos tic-tac de un reloj en movimiento. Resulta que al observar mutuamente la duración entre los tics de los relojes, cada uno moviéndose en el marco respectivo, deben estar involucrados diferentes conjuntos de relojes. Para medir en el cuadro S la duración del tic de un reloj en movimiento W ′ (en reposo en S ′), se utilizan dos relojes sincronizados adicionales W 1 y W 2 en reposo en dos puntos arbitrariamente fijos en S con la distancia espacial d .
- Se pueden definir dos eventos mediante la condición "dos relojes están simultáneamente en un lugar", es decir, cuando W ′ pasa cada W 1 y W 2 . Para ambos eventos se registran las dos lecturas de los relojes colocados. La diferencia de las dos lecturas de W 1 y W 2 es la distancia temporal de los dos eventos en S, y su distancia espacial es d . La diferencia de las dos lecturas de W ′ es la distancia temporal de los dos eventos en S ′. En S ′ estos eventos solo están separados en el tiempo, ocurren en el mismo lugar en S ′. Debido a la invariancia del intervalo espaciotemporal abarcado por estos dos eventos, y la separación espacial distinta de cero d en S, la distancia temporal en S ′ debe ser menor que la de S: la distancia temporal más pequeña entre los dos eventos, resultante de la lecturas del reloj en movimiento W ′, pertenece al reloj de funcionamiento más lento W ′.
A la inversa, para juzgar en la trama S ′ la distancia temporal de dos eventos en un reloj en movimiento W (en reposo en S), se necesitan dos relojes en reposo en S ′.
- En esta comparación, el reloj W se mueve con una velocidad - v . Al registrar nuevamente las cuatro lecturas de los eventos, definidos por "dos relojes simultáneamente en un lugar", se obtienen las distancias temporales análogas de los dos eventos, ahora separados temporal y espacialmente en S ′, y solo temporalmente separados pero colocados en S. Para mantener invariante el intervalo de espacio-tiempo, la distancia temporal en S debe ser menor que en S ′, debido a la separación espacial de los eventos en S ′: ahora se observa que el reloj W corre más lento.
Las grabaciones necesarias para los dos juicios, con "un reloj en movimiento" y "dos relojes en reposo" en S o S ′ respectivamente, implican dos conjuntos diferentes, cada uno con tres relojes. Dado que hay diferentes conjuntos de relojes involucrados en las mediciones, no existe una necesidad inherente de que las mediciones sean recíprocamente "consistentes" de modo que, si un observador mide que el reloj en movimiento es lento, el otro observador mide que el reloj de uno es rápido. [21] : 198-199
La figura 2-10 ilustra la discusión previa de la dilatación mutua del tiempo con diagramas de Minkowski. La imagen superior refleja las medidas como se ve desde el cuadro S "en reposo" con ejes rectangulares sin imprimación, y el cuadro S ′ "moviéndose con v > 0", coordinado por ejes oblicuos con imprimación, inclinados hacia la derecha; la imagen inferior muestra la trama S ′ "en reposo" con coordenadas rectangulares preparadas, y la trama S "moviéndose con - v <0", con ejes oblicuos sin imprimación, inclinados hacia la izquierda.
Cada línea trazada paralela a un eje espacial ( x , x ′) representa una línea de simultaneidad. Todos los eventos en dicha línea tienen el mismo valor de tiempo ( ct , ct ′). Asimismo, cada línea trazada paralela a un eje temporal ( ct , ct ′ ) representa una línea de iguales valores de coordenadas espaciales ( x , x ′).
- Se puede designar en ambas imágenes el origen O (= O ′ ) como el evento, donde el "reloj en movimiento" respectivo se coloca con el "primer reloj en reposo" en ambas comparaciones. Obviamente, para este evento las lecturas en ambos relojes en ambas comparaciones son cero. Como consecuencia, las líneas de mundo de los relojes en movimiento están inclinadas hacia el eje ct ′ derecho (imágenes superiores, reloj W ′) y las inclinadas hacia el eje ct izquierdo (imágenes inferiores, reloj W). Las líneas de mundo de W 1 y W ′ 1 son los ejes de tiempo verticales correspondientes ( ct en las imágenes superiores y ct ′ en las imágenes inferiores).
- En la imagen superior, el lugar para W 2 se considera A x > 0, y por lo tanto la línea de mundo (no se muestra en las imágenes) de este reloj se cruza con la línea de mundo del reloj en movimiento (el eje ct ′) en el evento etiquetado A , donde "dos relojes están simultáneamente en un lugar". En la imagen inferior el lugar para W ' 2 se toma para ser C x ' <0, y así en esta medición el reloj en movimiento W pasa W ' 2 en el caso C .
- En la imagen superior, la ct -coordinada A t del evento A (la lectura de W 2 ) está etiquetada como B , dando así el tiempo transcurrido entre los dos eventos, medido con W 1 y W 2 , como OB . Para una comparación, la longitud del intervalo de tiempo OA , medido con W ′, debe transformarse a la escala del eje ct . Esto se hace mediante la hipérbola invariante (véase también la Fig. 2-8) a través de A , la conexión de todos los eventos con el mismo intervalo de espacio-tiempo desde el origen como A . Esto produce el evento C en el eje ct , y obviamente: OC < OB , el reloj "en movimiento" W ′ corre más lento.
Para mostrar la dilatación mutua del tiempo inmediatamente en la imagen superior, el evento D puede construirse como el evento en x ′ = 0 (la ubicación del reloj W ′ en S ′), que es simultáneo a C ( OC tiene el mismo intervalo de espacio-tiempo que OA ) en S ′. Esto muestra que el intervalo de tiempo OD es más largo que OA , lo que muestra que el reloj "en movimiento" corre más lento. [4] : 124
En la imagen inferior, el cuadro S se mueve con velocidad - v en el cuadro S ′ en reposo. La línea de mundo del reloj W es el eje ct (inclinado hacia la izquierda), la línea de mundo de W ′ 1 es el eje vertical de ct ′, y la línea de mundo de W ′ 2 es la vertical a través del evento C , con ct ′ -coordinada D . La hipérbola invariante a través del evento C escala el intervalo de tiempo OC a OA , que es más corto que OD ; además, B se construye (similar a D en las imágenes superiores) como simultáneo a A en S, en x = 0. El resultado OB > OC corresponde nuevamente al anterior.
La palabra "medir" es importante. En la física clásica un observador no puede afectar a un objeto observado, pero el estado del objeto de movimiento puede afectar del observador observaciones del objeto.
Paradoja de los gemelos
Muchas introducciones a la relatividad especial ilustran las diferencias entre la relatividad galileana y la relatividad especial planteando una serie de "paradojas". Estas paradojas son, de hecho, problemas mal planteados, que resultan de nuestra falta de familiaridad con velocidades comparables a la velocidad de la luz. El remedio es resolver muchos problemas de la relatividad especial y familiarizarse con sus llamadas predicciones contraintuitivas. El enfoque geométrico para estudiar el espacio-tiempo se considera uno de los mejores métodos para desarrollar una intuición moderna. [31]
La paradoja de los gemelos es un experimento mental que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad, regresa a casa y descubre que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo observa que el otro gemelo se mueve y, a primera vista, parecería que cada uno debería encontrar que el otro ha envejecido menos. La paradoja de los gemelos evita la justificación de la dilatación mutua del tiempo presentada anteriormente al evitar el requisito de un tercer reloj. [21] : 207 Sin embargo, la paradoja de los gemelos no es una paradoja verdadera porque se entiende fácilmente dentro del contexto de la relatividad especial.
La impresión de que existe una paradoja proviene de una mala comprensión de lo que dice la relatividad especial. La relatividad especial no declara que todos los marcos de referencia sean equivalentes, solo marcos inerciales. El marco del gemelo viajero no es inercial durante los períodos en los que está acelerando. Además, la diferencia entre los gemelos es detectable por observación: el gemelo que viaja necesita disparar sus cohetes para poder regresar a casa, mientras que el gemelo que se queda en casa no. [32] [nota 9]
Estas distinciones deberían resultar en una diferencia en las edades de los gemelos. El diagrama de espacio-tiempo de la figura 2-11 presenta el caso simple de un gemelo que sale directamente a lo largo del eje x y vuelve inmediatamente hacia atrás. Desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa, la paradoja de los gemelos no tiene nada de extraño. El tiempo adecuado medido a lo largo de la línea mundial del gemelo que viaja de O a C, más el tiempo adecuado medido de C a B, es menor que el tiempo adecuado del gemelo que se queda en casa medido de O a A a B. Las trayectorias más complejas requieren la integración el tiempo adecuado entre los eventos respectivos a lo largo de la curva (es decir, la integral de trayectoria ) para calcular la cantidad total de tiempo adecuado experimentado por el gemelo que viaja. [32]
Las complicaciones surgen si la paradoja de los gemelos se analiza desde el punto de vista del gemelo viajero.
La nomenclatura de Weiss, que designa al gemelo que se queda en casa como Terence y al gemelo que viaja como Stella, se utiliza de ahora en adelante. [32]
Stella no está en un marco inercial. Dado este hecho, a veces se afirma incorrectamente que la resolución completa de la paradoja de los gemelos requiere la relatividad general: [32]
Un análisis de SR puro sería el siguiente: analizada en el marco de reposo de Stella, está inmóvil durante todo el viaje. Cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, experimenta una pseudo fuerza que se asemeja a una fuerza gravitacional. [32] Figs. 2-6 y 2-11 ilustran el concepto de líneas (planos) de simultaneidad: Las líneas paralelas al eje x del observador ( plano xy ) representan conjuntos de eventos que son simultáneos en el marco del observador. En la figura 2-11, las líneas azules conectan eventos en la línea del mundo de Terence que, desde el punto de vista de Stella , son simultáneos con eventos en su línea del mundo. (Terence, a su vez, observaría un conjunto de líneas horizontales de simultaneidad.) A lo largo de las etapas de ida y vuelta del viaje de Stella, ella mide los relojes de Terence como si fueran más lentos que los suyos. Pero durante el cambio (es decir, entre las líneas azules en negrita en la figura), se produce un cambio en el ángulo de sus líneas de simultaneidad, que corresponde a un salto rápido de los eventos en la línea del mundo de Terence que Stella considera simultáneos con su propio. Por lo tanto, al final de su viaje, Stella descubre que Terence ha envejecido más que ella. [32]
Aunque la relatividad general no es necesaria para analizar la paradoja de los gemelos, la aplicación del principio de equivalencia de la relatividad general proporciona una visión adicional del tema. Stella no está estacionaria en un marco inercial. Analizada en el marco de descanso de Stella, está inmóvil durante todo el viaje. Cuando está navegando, su marco de descanso es inercial, y el reloj de Terence parecerá correr lento. Pero cuando dispara sus cohetes para dar la vuelta, su marco de descanso es un marco acelerado y experimenta una fuerza que la empuja como si estuviera en un campo gravitacional. Terence parecerá estar muy arriba en ese campo y debido a la dilatación del tiempo gravitacional , su reloj parecerá correr rápido, tanto que el resultado neto será que Terence ha envejecido más que Stella cuando vuelvan a estar juntos. [32] Los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no son exclusivos de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitacional si respeta el principio de equivalencia, incluida la teoría de Newton. [21] : 16
Gravitación
Esta sección introductoria se ha centrado en el espacio-tiempo de la relatividad especial, ya que es la más fácil de describir. El espacio-tiempo de Minkowski es plano, no tiene en cuenta la gravedad, es uniforme en todas partes y no sirve más que como un fondo estático para los eventos que tienen lugar en él. La presencia de gravedad complica enormemente la descripción del espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo ya no es un fondo estático, sino que interactúa activamente con los sistemas físicos que contiene. El espacio-tiempo se curva en presencia de materia, puede propagar ondas, desviar la luz y exhibe una serie de otros fenómenos. [21] : 221 Algunos de estos fenómenos se describen en las secciones posteriores de este artículo.
Matemáticas básicas del espacio-tiempo
Transformaciones galileanas
Un objetivo básico es poder comparar las mediciones realizadas por los observadores en movimiento relativo. Si hay un observador O en el cuadro S que ha medido las coordenadas de tiempo y espacio de un evento, asignando a este evento tres coordenadas cartesianas y el tiempo medido en su red de relojes sincronizados ( x , y , z , t ) (ver Fig. .1-1 ). Un segundo observador O ′ en un marco diferente S ′ mide el mismo evento en su sistema de coordenadas y su red de relojes sincronizados ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Con los marcos inerciales, ninguno de los observadores está acelerado, y un conjunto simple de ecuaciones nos permite relacionar las coordenadas ( x , y , z , t ) con ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Dado que los dos sistemas de coordenadas están en configuración estándar, lo que significa que están alineados con coordenadas paralelas ( x , y , z ) y que t = 0 cuando t ′ = 0 , la transformación de coordenadas es la siguiente: [33] [34]
La figura 3-1 ilustra que en la teoría de Newton, el tiempo es universal, no la velocidad de la luz. [35] : 36–37 Considere el siguiente experimento mental: La flecha roja ilustra un tren que se mueve a 0.4 c con respecto a la plataforma. Dentro del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad de 0,4 c en el marco del tren. La flecha azul ilustra que una persona parada en las vías del tren mide que la bala viaja a 0.8 c. Esto está de acuerdo con nuestras ingenuas expectativas.
De manera más general, suponiendo que el marco S ′ se mueve a una velocidad v con respecto al marco S, entonces dentro del marco S ′, el observador O ′ mide un objeto que se mueve con la velocidad u ′ . La velocidad u con respecto al cuadro S, ya que x = ut , x ′ = x - vt y t = t ′ , se puede escribir como x ′ = ut - vt = ( u - v ) t = ( u - v ) t ′ . Esto conduce a u ′ = x ′ / t ′ y finalmente
- o
que es la ley galileana de sentido común para la suma de velocidades .
Composición relativista de velocidades
La composición de las velocidades es bastante diferente en el espacio-tiempo relativista. Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, introducimos una abreviatura común para la razón de la velocidad de un objeto en relación con la luz,
La figura 3-2a ilustra un tren rojo que avanza a una velocidad dada por v / c = β = s / a . Desde el marco cebado del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad dada por u ′ / c = β ′ = n / m , donde la distancia se mide a lo largo de una línea paralela al eje rojo x ′ en lugar de paralela al eje x negro . ¿Cuál es la velocidad compuesta u de la bala en relación con la plataforma, representada por la flecha azul? Refiriéndose a la Fig. 3-2b:
- Desde la plataforma, la velocidad compuesta de la bala viene dada por u = c ( s + r ) / ( a + b ) .
- Los dos triángulos amarillos son similares porque son triángulos rectángulos que comparten un ángulo α común . En el gran triángulo amarillo, la razón s / a = v / c = β .
- Las proporciones de los lados correspondientes de los dos triángulos amarillos son constantes, de modo que r / a = b / s = n / m = β ′ . Así b = u ' s / c y r = u ' un / c .
- Sustituir las expresiones para b y r en la expresión de u en el paso 1 para producir la fórmula de Einstein para la adición de velocidades: [35] : 42-48
La fórmula relativista para la suma de velocidades presentada anteriormente exhibe varias características importantes:
- Si u ' y v son ambos muy pequeña comparada con la velocidad de la luz, entonces el producto vu ' / c 2 se convierte en extremadamente pequeña, y el resultado global se convierte en indistinguible de la fórmula galileo (fórmula de Newton) para la adición de velocidades: u = u ′ + v . La fórmula de Galilea es un caso especial de la fórmula relativista aplicable a velocidades bajas.
- Si u ′ se establece igual ac , entonces la fórmula da u = c independientemente del valor inicial de v . La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de sus movimientos en relación con la fuente emisora. [35] : 49
Revisión de la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud
Es sencillo obtener expresiones cuantitativas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. La Fig. 3-3 es una imagen compuesta que contiene fotogramas individuales tomados de dos animaciones anteriores, simplificada y reetiquetada para los propósitos de esta sección.
Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, hay una variedad de notaciones taquigráficas diferentes para ct :
- y son comunes.
- También se ve con mucha frecuencia el uso de la convención
En la figura 3-3a, los segmentos OA y OK representan intervalos espaciotemporales iguales. La dilatación del tiempo está representada por la relación OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación w = √ x 2 + k 2 donde k = OK , y la línea roja que representa la línea del mundo de una partícula en movimiento tiene la ecuación w = x / β = xc / v . Un poco de manipulación algebraica produce
La expresión que involucra el símbolo de la raíz cuadrada aparece con mucha frecuencia en la relatividad, y una sobre la expresión se llama factor de Lorentz, denotado por la letra griega gamma : [36]
Si v es mayor o igual que c , la expresión parapierde sentido físicamente, lo que implica que c es la máxima velocidad posible en la naturaleza. Para cualquier v mayor que cero, el factor de Lorentz será mayor que uno, aunque la forma de la curva es tal que para velocidades bajas, el factor de Lorentz es extremadamente cercano a uno.
En la figura 3-3b, los segmentos OA y OK representan intervalos espaciotemporales iguales. La contracción de la longitud está representada por la relación OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación x = √ w 2 + k 2 , donde k = OK , y los bordes de la banda azul que representan las líneas del mundo de los extremos de una barra en movimiento tienen pendiente 1 / β = c / v . El evento A tiene coordenadas ( x , w ) = ( γk , γβk ). Dado que la recta tangente que pasa por A y B tiene la ecuación w = ( x - OB ) / β , tenemos γβk = ( γk - OB ) / β y
Transformaciones de Lorentz
Las transformaciones galileanas y su consecuente ley de sentido común de adición de velocidades funcionan bien en nuestro mundo ordinario de aviones, autos y pelotas de baja velocidad. Sin embargo, a mediados del siglo XIX, la instrumentación científica sensible comenzó a encontrar anomalías que no encajaban bien con la adición ordinaria de velocidades.
Las transformaciones de Lorentz se utilizan para transformar las coordenadas de un evento de un marco a otro en relatividad especial.
El factor de Lorentz aparece en las transformaciones de Lorentz:
Las transformaciones inversas de Lorentz son:
Cuando v « c y x es lo suficientemente pequeño, el v 2 / c 2 y vx / c 2 términos tienden a cero, y las transformaciones de Lorentz aproximadas a las transformaciones de Galileo.
etc., la mayoría de las veces realmente significa etc. Aunque por razones de brevedad las ecuaciones de transformación de Lorentz se escriben sin deltas, x significa Δ x , etc. En general, siempre nos preocupan las diferencias de espacio y tiempo entre eventos.
Llamar a un conjunto de transformaciones las transformaciones normales de Lorentz y al otro las transformaciones inversas es engañoso, ya que no existe una diferencia intrínseca entre los fotogramas. Diferentes autores llaman a uno u otro conjunto de transformaciones el conjunto "inverso". Las transformaciones hacia adelante y hacia atrás están trivialmente relacionadas entre sí, ya que el marco S solo puede moverse hacia adelante o hacia atrás con respecto a S ′ . Entonces, invertir las ecuaciones simplemente implica cambiar las variables primarias y no primarias y reemplazar v con - v . [37] : 71–79
Ejemplo: Terence y Stella están en una carrera espacial de la Tierra a Marte. Terence es un oficial en la línea de salida, mientras que Stella es una participante. En el momento t = t ′ = 0 , la nave espacial de Stella acelera instantáneamente a una velocidad de 0.5 c . La distancia de la Tierra a Marte es de 300 segundos luz (aproximadamente90,0 × 10 6 km ). Terence observa a Stella cruzar el reloj de la línea de meta en t = 600,00 s . Pero Stella observa que el tiempo en el cronómetro de su barco es cuando pasa la línea de meta, y calcula que la distancia entre las líneas de salida y llegada, medida en su cuadro, es de 259,81 segundos luz (aproximadamente 77,9 × 10 6 km ). 1).
Derivando las transformaciones de Lorentz
Ha habido muchas docenas de derivaciones de las transformaciones de Lorentz desde el trabajo original de Einstein en 1905, cada una con su enfoque particular. Aunque la derivación de Einstein se basó en la invariancia de la velocidad de la luz, existen otros principios físicos que pueden servir como puntos de partida. En definitiva, estos puntos de partida alternativos pueden considerarse expresiones distintas del principio subyacente de localidad , que establece que la influencia que ejerce una partícula sobre otra no puede transmitirse instantáneamente. [38]
La derivación dada aquí e ilustrada en la figura 3-5 se basa en una presentada por Bais [35] : 64-66 y hace uso de resultados previos de las secciones Composición relativista de velocidades, dilatación del tiempo y contracción de longitud. El evento P tiene coordenadas ( w , x ) en el "sistema de descanso" negro y coordenadas ( w ′ , x ′ ) en el marco rojo que se mueve con el parámetro de velocidad β = v / c . Para determinar w ′ y x ′ en términos de w y x (o al revés) es más fácil al principio derivar la transformación inversa de Lorentz.
- No puede haber expansión / contracción de longitud en las direcciones transversales. y ' debe ser igual a y y z ′ debe ser igual a z ; de lo contrario, si una bola de 1 m que se mueve rápidamente podría pasar por un agujero circular de 1 m dependería del observador. El primer postulado de la relatividad establece que todos los marcos inerciales son equivalentes, y la expansión / contracción transversal violaría esta ley. [37] : 27-28
- Del dibujo, w = a + b y x = r + s
- A partir de resultados anteriores que utilizan triángulos similares, sabemos que s / a = b / r = v / c = β .
- Debido a la dilatación del tiempo, a = γw ′
- Sustituyendo la ecuación (4) en s / a = β se obtiene s = γw ′ β .
- La contracción de la longitud y los triángulos similares nos dan r = γx ′ y b = βr = βγx ′
- Sustituyendo las expresiones para s , a , r y b en las ecuaciones del paso 2, se obtiene inmediatamente
Las ecuaciones anteriores son expresiones alternativas para las ecuaciones t y x de la transformación inversa de Lorentz, como se puede ver al sustituir ct por w , ct ′ por w ′ y v / c por β . A partir de la transformación inversa, las ecuaciones de la transformación hacia adelante se pueden derivar resolviendo para t ′ y x ′ .
Linealidad de las transformaciones de Lorentz
Las transformaciones de Lorentz tienen una propiedad matemática llamada linealidad, ya que x ′ y t ′ se obtienen como combinaciones lineales de x y t , sin potencias superiores involucradas. La linealidad de la transformación refleja una propiedad fundamental del espacio-tiempo que se asumió tácitamente en la derivación, a saber, que las propiedades de los marcos de referencia inerciales son independientes de la ubicación y el tiempo. En ausencia de gravedad, el espacio-tiempo se ve igual en todas partes. [35] : 67 Todos los observadores inerciales estarán de acuerdo en lo que constituye un movimiento acelerado y no acelerado. [37] : 72–73 Cualquier observador puede usar sus propias medidas de espacio y tiempo, pero no tienen nada de absoluto. Las convenciones de otro observador funcionarán igual de bien. [21] : 190
Un resultado de la linealidad es que si dos transformaciones de Lorentz se aplican secuencialmente, el resultado también es una transformación de Lorentz.
Ejemplo: Terence observa a Stella alejándose de él a 0.500 c , y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0.500 para relacionar las medidas de Stella con las suyas. Stella, en su cuadro, observa a Úrsula alejándose de ella a 0.250 c , y puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0.250 para relacionar las medidas de Úrsula con las suyas. Debido a la linealidad de las transformaciones y la composición relativista de velocidades, Terence puede usar las transformaciones de Lorentz con β = 0.666 para relacionar las medidas de Ursula con las suyas.
efecto Doppler
El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda de una onda para un receptor y una fuente en movimiento relativo. Para simplificar, consideramos aquí dos escenarios básicos: (1) Los movimientos de la fuente y / o receptor son exactamente a lo largo de la línea que los conecta (efecto Doppler longitudinal), y (2) los movimientos son perpendiculares a dicha línea ( efecto Doppler transversal ). Estamos ignorando escenarios en los que se mueven a lo largo de ángulos intermedios.
Efecto Doppler longitudinal
El análisis Doppler clásico se ocupa de ondas que se propagan en un medio, como ondas sonoras o ondas de agua, y que se transmiten entre fuentes y receptores que se acercan o se alejan entre sí. El análisis de tales ondas depende de si la fuente, el receptor o ambos se mueven en relación con el medio. Dado el escenario en el que el receptor es estacionario con respecto al medio, y la fuente está moviendo directamente lejos del receptor a una velocidad de v s para un parámetro de velocidad de la β s , la longitud de onda se incrementa, y la frecuencia observada f es dado por
Por otro lado, dado el escenario en el que la fuente está estacionaria y el receptor se aleja directamente de la fuente a una velocidad de v r para un parámetro de velocidad de β r , la longitud de onda no cambia, sino la velocidad de transmisión de las ondas. con respecto al receptor disminuye, y la frecuencia f observada viene dada por
La luz, a diferencia del sonido o las ondas del agua, no se propaga a través de un medio y no hay distinción entre una fuente que se aleja del receptor o un receptor que se aleja de la fuente. La figura 3-6 ilustra un diagrama de espacio-tiempo relativista que muestra una fuente que se separa del receptor con un parámetro de velocidad β , de modo que la separación entre la fuente y el receptor en el tiempo w es βw . Debido a la dilatación del tiempo,. Dado que la pendiente del rayo de luz verde es -1,. Por tanto, el efecto Doppler relativista viene dado por [35] : 58-59
Efecto Doppler transversal
Suponga que una fuente y un receptor, ambos acercándose en un movimiento inercial uniforme a lo largo de líneas que no se cruzan, están en su aproximación más cercana entre sí. Parece que el análisis clásico predice que el receptor no detecta ningún cambio Doppler. Debido a las sutilezas del análisis, esa expectativa no es necesariamente cierta. Sin embargo, cuando se define adecuadamente, el desplazamiento Doppler transversal es un efecto relativista que no tiene un análogo clásico. Las sutilezas son las siguientes: [39] : 541–543
- Figura 3-7a. ¿Cuál es la medida de frecuencia cuando el receptor está geométricamente en su aproximación más cercana a la fuente? Este escenario se analiza más fácilmente desde el cuadro S 'de la fuente. [nota 10]
- Figura 3-7b. ¿Cuál es la medida de frecuencia cuando el receptor considera que la fuente está más cerca de ella? Este escenario se analiza más fácilmente desde la trama S del receptor.
Otros dos escenarios se examinan comúnmente en las discusiones sobre el desplazamiento Doppler transversal:
- Figura 3-7c. Si el receptor se mueve en un círculo alrededor de la fuente, ¿qué frecuencia mide el receptor?
- Figura 3-7d. Si la fuente se mueve en un círculo alrededor del receptor, ¿qué frecuencia mide el receptor?
En el escenario (a), el punto de aproximación más cercana es independiente del marco y representa el momento en el que no hay cambio en la distancia frente al tiempo (es decir, dr / dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) y, por lo tanto, no hay Doppler longitudinal. cambiar. La fuente observa que el receptor está iluminado por una luz de frecuencia f ′ , pero también observa que el receptor tiene un reloj dilatado en el tiempo. En el cuadro S, el receptor está, por tanto, iluminado por una luz de frecuencia desplazada al azul
En el escenario (b), la ilustración muestra al receptor iluminado por la luz de cuando la fuente estaba más cerca del receptor, a pesar de que la fuente se ha movido. Debido a que los relojes de la fuente están dilatados en el tiempo según lo medido en el cuadro S, y dado que dr / dt era igual a cero en este punto, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza al rojo con la frecuencia.
Los escenarios (c) y (d) pueden analizarse mediante simples argumentos de dilatación del tiempo. En (c), el receptor observa que la luz de la fuente está desplazada al azul por un factor de, y en (d), la luz está desplazada al rojo. La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Sin embargo, si un observador inercial mira un reloj en aceleración, solo la velocidad instantánea del reloj es importante al calcular la dilatación del tiempo. (Lo contrario, sin embargo, no es cierto.) [39] : 541–543 La mayoría de los informes de desplazamiento Doppler transversal se refieren al efecto como un desplazamiento al rojo y analizan el efecto en términos de los escenarios (b) o (d). [nota 11]
Energía e impulso
Extendiendo el impulso a cuatro dimensiones
En la mecánica clásica, el estado de movimiento de una partícula se caracteriza por su masa y su velocidad. Linear impulso , el producto de la masa y la velocidad de una partícula, es un vector cantidad, que posee la misma dirección que la velocidad: p = m v . Es un conservada cantidad, lo que significa que si un sistema cerrado no es afectado por fuerzas externas, su cantidad de movimiento total no puede cambiar.
En la mecánica relativista, el vector de momento se extiende a cuatro dimensiones. Agregado al vector de impulso hay un componente de tiempo que permite que el vector de impulso del espacio-tiempo se transforme como el vector de posición del espacio-tiempo. Al explorar las propiedades del momento espaciotemporal, comenzamos, en la figura 3-8a, examinando cómo se ve una partícula en reposo. En el marco de reposo, el componente espacial del impulso es cero, es decir, p = 0 , pero el componente de tiempo es igual a mc .
Podemos obtener los componentes transformados de este vector en el marco en movimiento usando las transformaciones de Lorentz, o podemos leerlo directamente de la figura porque sabemos que y , ya que los ejes rojos se reescalan por gamma. La figura 3-8b ilustra la situación tal como aparece en el marco en movimiento. Es evidente que los componentes de espacio y tiempo de los cuatro momentos van al infinito cuando la velocidad del marco en movimiento se acerca a c . [35] : 84–87
Vamos a utilizar esta información en breve para obtener una expresión para la cuadrimomento .
Momento de luz
Las partículas de luz, o fotones, viajan a la velocidad de c , la constante que se conoce convencionalmente como velocidad de la luz . Esta afirmación no es una tautología, ya que muchas formulaciones modernas de la relatividad no comienzan con la velocidad constante de la luz como postulado. Por lo tanto, los fotones se propagan a lo largo de una línea de mundo similar a la luz y, en unidades apropiadas, tienen componentes de espacio y tiempo iguales para cada observador.
Una consecuencia de la teoría del electromagnetismo de Maxwell es que la luz transporta energía e impulso, y que su relación es una constante:. Reorganizando,, y dado que para los fotones, las componentes de espacio y tiempo son iguales, E / c debe equipararse con la componente de tiempo del vector de cantidad de movimiento espacio-tiempo.
Los fotones viajan a la velocidad de la luz, pero tienen un momento y una energía finitos. Para que esto sea así, el término de masa en γmc debe ser cero, lo que significa que los fotones son partículas sin masa . El infinito por cero es una cantidad mal definida, pero E / c está bien definida.
Según este análisis, si la energía de un fotón es igual a E en el marco de reposo, es igual aen un marco en movimiento. Este resultado puede obtenerse mediante la inspección de la figura 3-9 o mediante la aplicación de las transformaciones de Lorentz, y es coherente con el análisis del efecto Doppler dado anteriormente. [35] : 88
Relación masa-energía
La consideración de las interrelaciones entre los diversos componentes del vector de impulso relativista llevó a Einstein a varias conclusiones famosas.
- En el límite de baja velocidad cuando β = v / c se acerca a cero, γ se acerca a 1, por lo que el componente espacial del momento relativistase aproxima a mv , el término clásico para la cantidad de movimiento. Siguiendo esta perspectiva, γm puede interpretarse como una generalización relativista de m . Einstein propuso que la masa relativista de un objeto aumenta con la velocidad de acuerdo con la fórmula.
- Asimismo, comparando el componente de tiempo del momento relativista con el del fotón, , de modo que Einstein llegó a la relación . Simplificada al caso de velocidad cero, esta es la famosa ecuación de Einstein que relaciona energía y masa.
Otra forma de ver la relación entre masa y energía es considerar una expansión en serie de γmc 2 a baja velocidad:
El segundo término es solo una expresión de la energía cinética de la partícula. De hecho, la masa parece ser otra forma de energía. [35] : 90–92 [37] : 129–130,180
El concepto de masa relativista que Einstein introdujo en 1905, m rel , aunque ampliamente validado todos los días en aceleradores de partículas en todo el mundo (o incluso en cualquier instrumentación cuyo uso dependa de partículas de alta velocidad, como microscopios electrónicos, [40] anticuado televisores en color, etc.), sin embargo, no ha demostrado ser un concepto fructífero en física en el sentido de que no es un concepto que haya servido de base para otros desarrollos teóricos. La masa relativista, por ejemplo, no juega ningún papel en la relatividad general.
Por esta razón, además de por cuestiones pedagógicas, la mayoría de los físicos prefieren actualmente una terminología diferente cuando se refieren a la relación entre masa y energía. [41] "Masa relativista" es un término obsoleto. El término "masa" por sí mismo se refiere a la masa en reposo o masa invariante , y es igual a la longitud invariante del vector de momento relativista. Expresado como fórmula,
Esta fórmula se aplica a todas las partículas, tanto sin masa como masivas. Para fotones sin masa, produce la misma relación que se estableció anteriormente,. [35] : 90–92
Cuatro impulso
Debido a la estrecha relación entre masa y energía, el 4-momento (también llamado 4-momento) también se llama el 4-vector energía-momento. Usando una P mayúscula para representar el momento de cuatro y una p minúscula para denotar el momento espacial, el momento de cuatro puede escribirse como
- o alternativamente,
- usando la convención que [37] : 129–130,180
Leyes de conservación
En física, las leyes de conservación establecen que ciertas propiedades mensurables particulares de un sistema físico aislado no cambian a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. En 1915, Emmy Noether descubrió que detrás de cada ley de conservación hay una simetría fundamental de la naturaleza. [42] El hecho de que los procesos físicos no les importa donde en el espacio que tienen lugar ( espacio de simetría de traslación ) se obtiene la conservación del momento , el hecho de que dichos procesos no se preocupan cuando tienen lugar ( tiempo de simetría de traslación ) produce la conservación de la energía , y así. En esta sección, examinamos los puntos de vista newtonianos de la conservación de la masa, el momento y la energía desde una perspectiva relativista.
Impulso total
Para comprender cómo es necesario modificar la visión newtoniana de la conservación del momento en un contexto relativista, examinamos el problema de dos cuerpos en colisión limitados a una sola dimensión.
En la mecánica newtoniana, se pueden distinguir dos casos extremos de este problema que dan como resultado matemáticas de mínima complejidad:
- (1) Los dos cuerpos rebotan entre sí en una colisión completamente elástica.
- (2) Los dos cuerpos se mantienen unidos y continúan moviéndose como una sola partícula. Este segundo caso es el caso de una colisión completamente inelástica.
Para ambos casos (1) y (2), se conservan el momento, la masa y la energía total. Sin embargo, la energía cinética no se conserva en casos de colisión inelástica. Una cierta fracción de la energía cinética inicial se convierte en calor.
En el caso (2), dos masas con impulso y colisionan para producir una sola partícula de masa conservada viajando en el centro de velocidad de masa del sistema original,. El impulso total se conserva.
La figura 3-10 ilustra la colisión inelástica de dos partículas desde una perspectiva relativista. Los componentes del tiempo y añadir hasta total de E / c del vector resultante, lo que significa que la energía se conserva. Asimismo, los componentes del espacio y sumar para formar p del vector resultante. El cuatro impulso es, como se esperaba, una cantidad conservada. Sin embargo, la masa invariante de la partícula fusionada, dada por el punto donde la hipérbola invariante del momento total se cruza con el eje de energía, no es igual a la suma de las masas invariantes de las partículas individuales que colisionaron. De hecho, es más grande que la suma de las masas individuales:. [35] : 94–97
Al observar los eventos de este escenario en secuencia inversa, vemos que la no conservación de la masa es una ocurrencia común: cuando una partícula elemental inestable se desintegra espontáneamente en dos partículas más ligeras, la energía total se conserva, pero la masa no. Parte de la masa se convierte en energía cinética. [37] : 134-138
Elección de marcos de referencia
La libertad de elegir cualquier marco en el que realizar un análisis nos permite elegir uno que pueda ser particularmente conveniente. Para el análisis de problemas de momento y energía, el marco más conveniente suele ser el "marco del centro del momento " (también llamado marco de momento cero o marco COM). Este es el marco en el que el componente espacial del impulso total del sistema es cero. La figura 3-11 ilustra la ruptura de una partícula de alta velocidad en dos partículas hijas. En el marco del laboratorio, las partículas hijas se emiten preferentemente en una dirección orientada a lo largo de la trayectoria de la partícula original. En el marco COM, sin embargo, las dos partículas hijas se emiten en direcciones opuestas, aunque sus masas y la magnitud de sus velocidades generalmente no son las mismas.
Conservación de la energía y el impulso
En un análisis newtoniano de partículas que interactúan, la transformación entre fotogramas es simple porque todo lo que se necesita es aplicar la transformación de Galileo a todas las velocidades. Desde, el momento . Si se observa que el momento total de un sistema de partículas en interacción se conserva en un marco, también se observará que se conserva en cualquier otro marco. [37] : 241–245
La conservación del impulso en el marco COM equivale al requisito de que p = 0 tanto antes como después de la colisión. En el análisis newtoniano, la conservación de la masa dicta que. En los escenarios unidimensionales simplificados que hemos estado considerando, solo es necesaria una restricción adicional antes de que se puedan determinar los momentos de salida de las partículas: una condición de energía. En el caso unidimensional de una colisión completamente elástica sin pérdida de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan en el marco COM serán exactamente iguales y opuestas a sus velocidades de entrada. En el caso de una colisión completamente inelástica con pérdida total de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan serán cero. [37] : 241–245
Momentos newtonianos, calculados como , no se comportan correctamente bajo la transformación Lorentziana. La transformación lineal de velocidades es reemplazado por el altamente no lineal de modo que un cálculo que demuestre la conservación de la cantidad de movimiento en un fotograma no será válido en otros fotogramas. Einstein se enfrentó a tener que renunciar a la conservación del impulso o cambiar la definición de impulso. Esta segunda opción fue la que eligió. [35] : 104
La ley relativista de conservación de energía y momento reemplaza las tres leyes clásicas de conservación de energía, momento y masa. La masa ya no se conserva de forma independiente, porque se ha subsumido en la energía relativista total. Esto hace que la conservación relativista de la energía sea un concepto más simple que en la mecánica no relativista, porque la energía total se conserva sin ninguna calificación. La energía cinética convertida en calor o energía potencial interna se manifiesta como un aumento de masa. [37] : 127
Ejemplo: debido a la equivalencia de masa y energía, las masas de partículas elementales se expresan habitualmente en unidades de energía, donde 1 MeV = 10 6 electronvoltios. Un pión cargado es una partícula de 139,57 MeV de masa (aproximadamente 273 veces la masa del electrón). Es inestable y se descompone en un muón de 105,66 MeV de masa (aproximadamente 207 veces la masa del electrón) y un antineutrino, que tiene una masa casi insignificante. La diferencia entre la masa del pión y la masa del muón es 33,91 MeV.
π-
→ μ- + νμ
La figura 3-12a ilustra el diagrama energía-momento para esta reacción de desintegración en el marco de reposo del pión. Debido a su masa insignificante, un neutrino viaja a una velocidad muy cercana a la de la luz. La expresión relativista de su energía, como la del fotón, esque es también el valor del componente espacial de su impulso. Para conservar el impulso, el muón tiene el mismo valor que el componente espacial del impulso del neutrino, pero en la dirección opuesta.
Los análisis algebraicos de la energía de esta reacción de desintegración están disponibles en línea, [43] por lo que la figura 3-12b presenta en su lugar una solución de calculadora gráfica. La energía del neutrino es 29,79 MeV y la energía del muón es 33,91 MeV - 29,79 MeV = 4,12 MeV . La mayor parte de la energía es llevada por el neutrino de masa cercana a cero.
Mas allá de lo básico
Los temas de esta sección tienen una dificultad técnica significativamente mayor que los de las secciones anteriores y no son esenciales para comprender la Introducción al espacio-tiempo curvo.
Rapidez
Las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas de eventos en un marco de referencia con las de otro marco. La composición relativista de velocidades se usa para sumar dos velocidades. Las fórmulas para realizar los últimos cálculos no son lineales, lo que las hace más complejas que las correspondientes fórmulas galileanas.
Esta no linealidad es un artefacto de nuestra elección de parámetros. [7] : 47-59 Anteriormente hemos señalado que en un diagrama de espacio - tiempo x – ct , los puntos en algún intervalo de espacio-tiempo constante desde el origen forman una hipérbola invariante. También hemos notado que los sistemas de coordenadas de dos marcos de referencia espaciotemporales en configuración estándar están rotados hiperbólicamente entre sí.
Las funciones naturales para expresar estas relaciones son los análogos hiperbólicos de las funciones trigonométricas . La figura 4-1a muestra un círculo unitario con sin ( a ) y cos ( a ), la única diferencia entre este diagrama y el círculo unitario familiar de trigonometría elemental es que a se interpreta, no como el ángulo entre el rayo y la x eje- , pero como el doble del área del sector barrida por el rayo del eje- x . (Numéricamente, las medidas de ángulo y área 2 × para el círculo unitario son idénticas.) La figura 4-1b muestra una hipérbola unitaria con sinh ( a ) y cosh ( a ), donde a se interpreta igualmente como el doble del área teñida. [44] La figura 4-2 presenta gráficos de las funciones sinh, cosh y tanh.
Para el círculo unitario, la pendiente del rayo está dada por
En el plano cartesiano, la rotación del punto ( x , y ) en el punto ( x ' , y ' ) por el ángulo θ viene dada por
En un diagrama de espacio-tiempo, el parámetro de velocidad es el análogo de pendiente. La rapidez , φ , está definida por [37] : 96–99
dónde
La rapidez definida anteriormente es muy útil en la relatividad especial porque muchas expresiones adquieren una forma considerablemente más simple cuando se expresan en términos de ella. Por ejemplo, la rapidez es simplemente aditiva en la fórmula colineal de adición de velocidad; [7] : 47–59
o en otras palabras,
Las transformaciones de Lorentz toman una forma simple cuando se expresan en términos de rapidez. El factor γ se puede escribir como
Las transformaciones que describen el movimiento relativo con velocidad uniforme y sin rotación de los ejes de coordenadas espaciales se denominan impulsos .
Sustituyendo γ y γβ en las transformaciones como se presentó anteriormente y reescribiendo en forma de matriz, el impulso de Lorentz en la dirección x se puede escribir como
y el impulso de Lorentz inverso en la dirección x se puede escribir como
En otras palabras, los impulsos de Lorentz representan rotaciones hiperbólicas en el espacio-tiempo de Minkowski. [37] : 96–99
Las ventajas de utilizar funciones hiperbólicas son tales que algunos libros de texto como los clásicos de Taylor y Wheeler introducen su uso en una etapa muy temprana. [7] [45] [nota 12]
4 vectores
Los cuatro vectores se han mencionado anteriormente en el contexto del 4-vector energía-momento , pero sin un gran énfasis. De hecho, ninguna de las derivaciones elementales de la relatividad especial los requiere. Pero una vez comprendidos, los 4 vectores y, en general , los tensores , simplifican enormemente la comprensión matemática y conceptual de la relatividad especial. Trabajar exclusivamente con tales objetos conduce a fórmulas que son manifiestamente relativistas invariantes, lo que es una ventaja considerable en contextos no triviales. Por ejemplo, demostrar la invariancia relativista de las ecuaciones de Maxwell en su forma habitual no es trivial, mientras que es simplemente un cálculo de rutina (en realidad no más que una observación) utilizando la formulación del tensor de intensidad de campo . Por otro lado, la relatividad general, desde el principio, se basa en gran medida en los 4 vectores , y más generalmente en los tensores, que representan entidades físicamente relevantes. Relacionarlos mediante ecuaciones que no se basan en coordenadas específicas requiere tensores, capaces de conectar tales 4 vectores incluso dentro de un espacio-tiempo curvo , y no solo dentro de uno plano como en la relatividad especial. El estudio de los tensores está fuera del alcance de este artículo, que proporciona solo una discusión básica del espacio-tiempo.
Definición de 4 vectores
Una tupla de 4, es un "4-vector" si su componente A i se transforma entre fotogramas de acuerdo con la transformación de Lorentz.
Si usa coordenadas, A es un 4-vector si se transforma (en la dirección x ) de acuerdo con
que proviene de la simple sustitución de ct con A 0 y x con A 1 en la presentación anterior de la transformación de Lorentz.
Como de costumbre, cuando escribimos x , t , etc., generalmente nos referimos a Δx , Δt , etc.
Los últimos tres componentes de un 4-vector deben ser un vector estándar en un espacio tridimensional. Por lo tanto, un 4-vector debe transformarse comotanto en transformaciones de Lorentz como en rotaciones. [31] : 36–59
Propiedades de 4 vectores
- Cierre bajo combinación lineal: si A y B son 4 vectores , entoncestambién es un 4-vector .
- Invarianza del producto interno: si A y B son 4 vectores , entonces su producto interno (producto escalar) es invariante, es decir, su producto interno es independiente del marco en el que se calcula. Observe cómo el cálculo del producto interno difiere del cálculo del producto interno de un 3-vector . En el siguiente, y son 3 vectores :
- Además de ser invariante bajo la transformación de Lorentz, el producto interno anterior también es invariante bajo rotación en 3 espacios .
- Se dice que dos vectores son ortogonales si A diferencia del caso de los 3 vectores, los 4 vectores ortogonales no están necesariamente en ángulo recto entre sí. La regla es que dos 4 vectores son ortogonales si están desplazados por ángulos iguales y opuestos de la línea de 45 °, que es la línea universal de un rayo de luz. Esto implica que un 4-vector similar a la luz es ortogonal consigo mismo .
- Invarianza de la magnitud de un vector: la magnitud de un vector es el producto interno de un 4-vector consigo mismo, y es una propiedad independiente del marco. Al igual que con los intervalos, la magnitud puede ser positiva, negativa o cero, por lo que los vectores se denominan temporales, espaciales o nulos (ligeros). Tenga en cuenta que un vector nulo no es lo mismo que un vector cero. Un vector nulo es aquel para el quemientras que un vector cero es uno cuyos componentes son todos cero. Los casos especiales que ilustran la invariancia de la norma incluyen el intervalo invariante y la longitud invariante del vector de momento relativista [37] : 178–181 [31] : 36–59
Ejemplos de 4 vectores
- Desplazamiento de 4 vectores: también conocida como separación espacio-tiempo , esto es ( Δt, Δx, Δy, Δz ), o para separaciones infinitesimales, ( dt, dx, dy, dz ) .
- 4-vector de velocidad: Esto resulta cuando el 4-vector de desplazamiento se divide por, dónde es el tiempo adecuado entre los dos eventos que producen dt, dx, dy y dz .
- La velocidad 4 es tangente a la línea universal de una partícula y tiene una longitud igual a una unidad de tiempo en el marco de la partícula.
- Una partícula acelerada no tiene un marco inercial en el que siempre esté en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un marco de inercia que se convierta momentáneamente en la partícula. Este marco, el marco de referencia momentáneamente comoving (MCRF), permite la aplicación de la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas.
- Dado que los fotones se mueven en líneas nulas, para un fotón, y no se puede definir una velocidad de 4 . No hay ningún marco en el que un fotón esté en reposo y no se puede establecer MCRF a lo largo de la trayectoria de un fotón.
- Energía-momento 4-vector:
- Como se indicó anteriormente, existen diversos tratamientos para el 4-vector energía-momento, de modo que también se puede ver expresado como o El primer componente es la energía total (incluida la masa) de la partícula (o sistema de partículas) en un marco dado, mientras que los componentes restantes son su momento espacial. El 4-vector energía-momento es una cantidad conservada.
- 4-vector de aceleración: Esto resulta de tomar la derivada del 4-vector de velocidad con respecto a
- 4-vector de fuerza: Ésta es la derivada del 4-vector del momento con respecto a
Como era de esperar, los componentes finales de los 4 vectores anteriores son todos los 3 vectores estándar correspondientes a 3 momentos espaciales , 3 fuerzas, etc. [37] : 178–181 [31] : 36–59
4 vectores y ley física
El primer postulado de la relatividad especial declara la equivalencia de todos los marcos inerciales. Una ley física que se mantenga en un marco debe aplicarse en todos los marcos, ya que de lo contrario sería posible diferenciar entre marcos. Los momentos newtonianos no se comportan correctamente bajo la transformación de Lorentz, y Einstein prefirió cambiar la definición de momento a una que involucre 4 vectores en lugar de renunciar a la conservación del momento.
Las leyes físicas deben basarse en constructos independientes del marco. Esto significa que las leyes físicas pueden tomar la forma de ecuaciones que conectan escalares, que siempre son independientes del marco. Sin embargo, las ecuaciones que involucran 4 vectores requieren el uso de tensores con rango apropiado, que se pueden considerar construidos a partir de 4 vectores . [37] : 186
Aceleración
Es un error común pensar que la relatividad especial es aplicable solo a los marcos inerciales y que es incapaz de manejar objetos en aceleración o marcos de referencia acelerados. En realidad, los objetos en aceleración generalmente se pueden analizar sin necesidad de lidiar con los fotogramas en aceleración. Sólo cuando la gravitación es significativa se requiere la relatividad general. [46]
Sin embargo, el manejo adecuado de los cuadros en aceleración requiere cierto cuidado. La diferencia entre la relatividad especial y la general es que (1) En la relatividad especial, todas las velocidades son relativas, pero la aceleración es absoluta. (2) En la relatividad general, todo movimiento es relativo, ya sea inercial, acelerado o giratorio. Para adaptarse a esta diferencia, la relatividad general utiliza el espacio-tiempo curvo. [46]
En esta sección, analizamos varios escenarios que involucran marcos de referencia acelerados.
Paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell
La paradoja de la nave espacial Dewan-Beran-Bell (la paradoja de la nave espacial de Bell ) es un buen ejemplo de un problema en el que el razonamiento intuitivo sin la ayuda de la percepción geométrica del enfoque del espacio-tiempo puede generar problemas.
En la figura 4-4, dos naves espaciales idénticas flotan en el espacio y están en reposo una con respecto a la otra. Están conectados por una cuerda que solo puede estirarse una cantidad limitada antes de romperse. En un instante dado de nuestro marco, el marco del observador, ambas naves espaciales aceleran en la misma dirección a lo largo de la línea entre ellas con la misma aceleración constante constante. [nota 13] ¿Se romperá la cuerda?
Cuando la paradoja era nueva y relativamente desconocida, incluso los físicos profesionales tenían dificultades para encontrar la solución. Dos líneas de razonamiento conducen a conclusiones opuestas. Ambos argumentos, que se presentan a continuación, son defectuosos a pesar de que uno de ellos arroja la respuesta correcta. [37] : 106,120–122
- Para los observadores en el marco de reposo, las naves espaciales comienzan a una distancia L de distancia y permanecen a la misma distancia durante la aceleración. Durante la aceleración, L es una distancia de longitud contraída de la distancia L ' = γL en el marco de las naves espaciales en aceleración. Después de un tiempo suficientemente largo, γ aumentará a un factor lo suficientemente grande como para que la cuerda se rompa.
- Sean A y B las naves espaciales delantera y trasera. En el marco de las naves espaciales, cada nave espacial ve a la otra nave espacial haciendo lo mismo que ella. A dice que B tiene la misma aceleración que él, y B ve que A coincide con todos sus movimientos. De modo que las naves espaciales se mantienen separadas a la misma distancia y la cuerda no se rompe. [37] : 106,120–122
El problema con el primer argumento es que no hay un "marco de naves espaciales". No puede haberlo, porque las dos naves espaciales miden una distancia creciente entre las dos. Debido a que no hay un marco común de las naves espaciales, la longitud de la cuerda está mal definida. Sin embargo, la conclusión es correcta y el argumento es mayormente correcto. El segundo argumento, sin embargo, ignora por completo la relatividad de la simultaneidad. [37] : 106,120–122
Un diagrama de espacio-tiempo (figura 4-5) hace que la solución correcta a esta paradoja sea evidente casi de inmediato. Dos observadores en el espacio-tiempo de Minkowski aceleran con magnitud constante aceleración durante el tiempo adecuado (aceleración y tiempo transcurrido medidos por los propios observadores, no por un observador inercial). Son comodos e inerciales antes y después de esta fase. En la geometría de Minkowski, la longitud del segmento de línea en forma de espacio resulta ser mayor que la longitud del segmento de línea en forma de espacio .
El aumento de longitud se puede calcular con la ayuda de la transformación de Lorentz. Si, como se ilustra en la figura 4-5, se termina la aceleración, los barcos permanecerán en un desplazamiento constante en algún marco. Si y son las posiciones de los barcos en las posiciones en el marco son: [47]
La "paradoja", por así decirlo, proviene de la forma en que Bell construyó su ejemplo. En la discusión habitual de la contracción de Lorentz, la longitud en reposo es fija y la longitud en movimiento se acorta según se mide en el marco.. Como se muestra en la figura 4-5, el ejemplo de Bell afirma las longitudes móviles y medido en marco para ser fijo, lo que obliga a la longitud del marco de descanso en el marco de para aumentar.
Observador acelerado con horizonte
Ciertas configuraciones de problemas de relatividad especiales pueden conducir a una comprensión de los fenómenos normalmente asociados con la relatividad general, como los horizontes de eventos . En el texto que acompaña a la figura 2-7 , las hipérbolas magenta representaban trayectorias reales seguidas por un viajero en constante aceleración en el espacio-tiempo. Durante los períodos de aceleración positiva, la velocidad del viajero apenas se acerca a la velocidad de la luz, mientras que, medida en nuestro marco, la aceleración del viajero disminuye constantemente.
La figura 4-6 detalla varias características de los movimientos del viajero con más especificidad. En cualquier momento dado, su eje espacial está formado por una línea que pasa por el origen y su posición actual en la hipérbola, mientras que su eje del tiempo es la tangente a la hipérbola en su posición. El parámetro de velocidad se acerca a un límite de uno como aumenta. Igualmente, se acerca al infinito.
La forma de la hipérbola invariante corresponde a una trayectoria de aceleración adecuada constante. Esto se puede demostrar de la siguiente manera:
- Recordamos que
- Desde concluimos que
- De la ley de la fuerza relativista,
- Sustituyendo del paso 2 y la expresión para del paso 3 rinde que es una expresión constante. [35] : 110-113
La figura 4-6 ilustra un escenario calculado específico. Terence (A) y Stella (B) inicialmente están juntas a 100 horas luz del origen. Stella despega en el tiempo 0, su nave espacial acelera a 0.01 c por hora. Cada veinte horas, la radio de Terence actualiza a Stella sobre la situación en casa (líneas verdes continuas). Stella recibe estas transmisiones regulares, pero la distancia creciente (compensada en parte por la dilatación del tiempo) hace que reciba las comunicaciones de Terence cada vez más tarde, según lo medido en su reloj, y nunca recibe ninguna comunicación de Terence después de 100 horas en su reloj (verde discontinuo líneas). [35] : 110-113
Después de 100 horas según el reloj de Terence, Stella entra en una región oscura. Ha viajado fuera del futuro temporal de Terence. Por otro lado, Terence puede continuar recibiendo los mensajes de Stella para él indefinidamente. Solo tiene que esperar lo suficiente. El espacio-tiempo se ha dividido en distintas regiones separadas por un horizonte de sucesos aparente . Mientras Stella continúe acelerando, nunca podrá saber qué ocurre detrás de este horizonte. [35] : 110-113
Introducción al espacio-tiempo curvo
Proposiciones básicas
Las teorías de Newton asumieron que el movimiento tiene lugar en el contexto de un marco de referencia euclidiano rígido que se extiende por todo el espacio y todo el tiempo. La gravedad está mediada por una fuerza misteriosa, que actúa instantáneamente a través de la distancia, cuyas acciones son independientes del espacio intermedio. [nota 14] En contraste, Einstein negó que haya algún marco de referencia euclidiano de fondo que se extienda por todo el espacio. Tampoco existe tal cosa como una fuerza de gravitación, solo la estructura del espacio-tiempo mismo. [7] : 175-190
En términos de espacio-tiempo, la trayectoria de un satélite que orbita la Tierra no está dictada por las influencias distantes de la Tierra, la Luna y el Sol. En cambio, el satélite se mueve por el espacio solo en respuesta a las condiciones locales. Dado que el espacio-tiempo es en todas partes localmente plano cuando se considera a una escala suficientemente pequeña, el satélite siempre sigue una línea recta en su marco inercial local. Decimos que el satélite siempre sigue el camino de una geodésica . No se puede descubrir ninguna evidencia de gravitación siguiendo los movimientos de una sola partícula. [7] : 175-190
En cualquier análisis del espacio-tiempo, la evidencia de la gravitación requiere que se observen las aceleraciones relativas de dos cuerpos o dos partículas separadas. En la figura 5-1, dos partículas separadas, en caída libre en el campo gravitacional de la Tierra, exhiben aceleraciones de marea debido a inhomogeneidades locales en el campo gravitacional, de modo que cada partícula sigue un camino diferente a través del espacio-tiempo. Las aceleraciones de marea que exhiben estas partículas entre sí no requieren fuerzas para su explicación. Más bien, Einstein los describió en términos de la geometría del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo. Estas aceleraciones de las mareas son estrictamente locales. Es el efecto total acumulativo de muchas manifestaciones locales de curvatura que dan como resultado la aparición de una fuerza gravitacional que actúa a gran distancia de la Tierra. [7] : 175-190
Dos proposiciones centrales subyacen a la relatividad general.
- El primer concepto crucial es la independencia de las coordenadas: las leyes de la física no pueden depender del sistema de coordenadas que se utilice. Esta es una extensión importante del principio de relatividad de la versión utilizada en la relatividad especial, que establece que las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores que se mueven en marcos de referencia no acelerados (inerciales). En relatividad general, para usar las propias palabras de Einstein (traducidas), "las leyes de la física deben ser de tal naturaleza que se apliquen a los sistemas de referencia en cualquier tipo de movimiento". [48] : 113 Esto conduce a un problema inmediato: en los fotogramas acelerados, uno siente fuerzas que aparentemente le permitirían evaluar su estado de aceleración en un sentido absoluto. Einstein resolvió este problema mediante el principio de equivalencia. [49] : 137-149
- El principio de equivalencia establece que en cualquier región del espacio suficientemente pequeña, los efectos de la gravitación son los mismos que los de la aceleración.
- En la figura 5-2, la persona A está en una nave espacial, lejos de cualquier objeto masivo, que experimenta una aceleración uniforme de g . La persona B está en una caja que descansa sobre la Tierra. Siempre que la nave espacial sea lo suficientemente pequeña como para que los efectos de las mareas no sean medibles (dada la sensibilidad de la instrumentación de medición de la gravedad actual, A y B presumiblemente deberían ser liliputienses ), no hay experimentos que A y B puedan realizar que les permitan saber en qué entorno se encuentran. [49] : 141-149
- Una expresión alternativa del principio de equivalencia es observar que en la ley universal de gravitación de Newton, F = GMm g / r 2 = m g g y en la segunda ley de Newton, F = m i a , no hay una razón a priori por la cual la gravedad masa m g debe ser igual a la masa inercial m i . El principio de equivalencia establece que estas dos masas son idénticas. [49] : 141-149
Pasar de la descripción elemental anterior del espacio-tiempo curvo a una descripción completa de la gravitación requiere cálculo de tensores y geometría diferencial, temas que requieren un estudio considerable. Sin estas herramientas matemáticas, es posible escribir sobre la relatividad general, pero no es posible demostrar derivaciones no triviales.
Curvatura del tiempo
En la discusión de la relatividad especial, las fuerzas no jugaron más que un papel de fondo. La relatividad especial asume la capacidad de definir marcos inerciales que llenan todo el espacio-tiempo, cuyos relojes funcionan al mismo ritmo que el reloj en el origen. ¿Es esto realmente posible? En un campo gravitacional no uniforme, el experimento dicta que la respuesta es no. Los campos gravitacionales hacen imposible la construcción de un marco inercial global . En regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, los marcos inerciales locales todavía son posibles. La relatividad general implica la unión sistemática de estos marcos locales en una imagen más general del espacio-tiempo. [31] : 118–126
Poco después de la publicación de la teoría general en 1916, varios científicos señalaron que la relatividad general predice la existencia de corrimiento al rojo gravitacional. El propio Einstein sugirió el siguiente experimento mental : (i) Suponga que se ha construido una torre de altura h (figura 5-3). (ii) Deje caer una partícula de masa en reposo m desde la parte superior de la torre. Cae libremente con aceleración g , alcanzando el suelo con velocidad v = (2 gh ) 1/2 , de modo que su energía total E , medida por un observador en el suelo, es(iii) Un convertidor de masa-energía transforma la energía total de la partícula en un solo fotón de alta energía, que dirige hacia arriba. (iv) En la parte superior de la torre, un convertidor de masa de energía transforma la energía del fotón E ' nuevamente en una partícula de masa en reposo m ' . [31] : 118–126
Debe ser que m = m ' , ya que de lo contrario se podría construir un dispositivo de movimiento perpetuo . Por lo tanto, predecimos que E ' = m , de modo que
Un fotón que trepa por el campo gravitacional de la Tierra pierde energía y se desplaza al rojo. Los primeros intentos de medir este desplazamiento al rojo a través de observaciones astronómicas no fueron concluyentes, pero Pound y Rebka (1959) y más tarde Pound y Snider (1964) realizaron observaciones de laboratorio definitivas . [50]
La luz tiene una frecuencia asociada, y esta frecuencia puede usarse para impulsar el funcionamiento de un reloj. El corrimiento al rojo gravitacional lleva a una conclusión importante sobre el tiempo mismo: la gravedad hace que el tiempo corra más lento. Supongamos que construimos dos relojes idénticos cuyas velocidades están controladas por alguna transición atómica estable. Coloque un reloj en la parte superior de la torre, mientras que el otro permanece en el suelo. Un experimentador en la parte superior de la torre observa que las señales del reloj de tierra son más bajas en frecuencia que las del reloj junto a ella en la torre. La luz que sube por la torre es solo una ola, y es imposible que las crestas de las olas desaparezcan en el camino hacia arriba. Exactamente tantas oscilaciones de luz llegan a la parte superior de la torre como se emitieron en la parte inferior. El experimentador concluye que el reloj de tierra está funcionando lento y puede confirmar esto bajando el reloj de la torre para compararlo lado a lado con el reloj de tierra. [21] : 16–18 Para una torre de 1 km, la discrepancia ascendería a aproximadamente 9,4 nanosegundos por día, fácilmente medible con instrumentación moderna.
Los relojes de un campo gravitacional no funcionan todos al mismo ritmo. Experimentos como el de Pound-Rebka han establecido firmemente la curvatura del componente de tiempo del espacio-tiempo. El experimento de Pound-Rebka no dice nada sobre la curvatura del componente espacial del espacio -tiempo. Pero los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitacional no dependen en absoluto de los detalles de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitacional si respeta el principio de equivalencia. [21] : 16 Esto incluye la gravitación newtoniana. Una demostración estándar en relatividad general es mostrar cómo, en el " límite newtoniano " (es decir, las partículas se mueven lentamente, el campo gravitacional es débil y el campo es estático), la curvatura del tiempo por sí sola es suficiente para derivar la ley de gravedad de Newton. . [51] : 101–106
La gravitación newtoniana es una teoría del tiempo curvo. La relatividad general es una teoría del tiempo y el espacio curvos. Dado G como la constante gravitacional, M como la masa de una estrella newtoniana y cuerpos en órbita de masa insignificante a una distancia r de la estrella, el intervalo de espacio-tiempo para la gravitación newtoniana es uno para el que solo el coeficiente de tiempo es variable: [21] : 229–232
Curvatura del espacio
La coeficiente delante de describe la curvatura del tiempo en la gravitación newtoniana, y esta curvatura explica por completo todos los efectos gravitacionales newtonianos. Como era de esperar, este factor de corrección es directamente proporcional a y , y debido a la en el denominador, el factor de corrección aumenta a medida que uno se acerca al cuerpo gravitante, lo que significa que el tiempo se curva.
Pero la relatividad general es una teoría del espacio curvo y del tiempo curvo, por lo que si hay términos que modifiquen los componentes espaciales del intervalo espacio-temporal presentados anteriormente, ¿no deberían verse sus efectos en, digamos, órbitas planetarias y de satélites debido a los factores de corrección de curvatura aplicados? a los términos espaciales?
La respuesta es que se ven, pero los efectos son muy pequeñas. La razón es que las velocidades planetarias son extremadamente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, por lo que para los planetas y satélites del sistema solar, eltérmino empequeñece los términos espaciales. [21] : 234–238
A pesar de la minuciosidad de los términos espaciales, los primeros indicios de que algo andaba mal con la gravitación newtoniana se descubrieron hace más de un siglo y medio. En 1859, Urbain Le Verrier , en un análisis de las observaciones cronometradas disponibles de los tránsitos de Mercurio sobre el disco del Sol desde 1697 hasta 1848, informó que la física conocida no podría explicar la órbita de Mercurio, a menos que posiblemente existiera un planeta o cinturón de asteroides dentro del órbita de Mercurio. El perihelio de la órbita de Mercurio exhibió una tasa de precesión excesiva sobre la que podría explicarse por los tirones de los otros planetas. [52] La capacidad de detectar y medir con precisión el valor mínimo de esta precesión anómala (solo 43 segundos de arco por siglo tropical ) es testimonio de la sofisticación de la astrometría del siglo XIX .
Como el famoso astrónomo que había descubierto anteriormente la existencia de Neptuno "en la punta de su pluma" al analizar las oscilaciones en la órbita de Urano, el anuncio de Le Verrier desencadenó un período de dos décadas de "vulcanomanía", como profesional y aficionado. los astrónomos buscaban por igual el hipotético nuevo planeta. Esta búsqueda incluyó varios avistamientos falsos de Vulcano. Finalmente se estableció que no existía tal planeta o cinturón de asteroides. [53]
En 1916, Einstein iba a demostrar que esta precesión anómala de Mercurio se explica por los términos espaciales en la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura en el término temporal, que es simplemente una expresión de la gravitación newtoniana, no tiene nada que ver con la explicación de esta precesión anómala. El éxito de su cálculo fue una poderosa indicación para los pares de Einstein de que la teoría general de la relatividad podría ser correcta.
La más espectacular de las predicciones de Einstein fue su cálculo de que los términos de curvatura en los componentes espaciales del intervalo de espacio-tiempo podrían medirse en la curvatura de la luz alrededor de un cuerpo masivo. La luz tiene una pendiente de ± 1 en un diagrama de espacio-tiempo. Su movimiento en el espacio es igual a su movimiento en el tiempo. Para la expresión de campo débil del intervalo invariante, Einstein calculó una curvatura de signo exactamente igual pero opuesto en sus componentes espaciales. [21] : 234–238
En la gravitación de Newton, el coeficiente delante de predice la curvatura de la luz alrededor de una estrella. En relatividad general, la coeficiente delante de predice una duplicación de la flexión total. [21] : 234–238
La historia de la expedición del eclipse de Eddington en 1919 y el ascenso de Einstein a la fama está bien contada en otros lugares. [54]
Fuentes de curvatura del espacio-tiempo
En la teoría de la gravitación de Newton , la única fuente de fuerza gravitacional es la masa .
Por el contrario, la relatividad general identifica varias fuentes de curvatura del espacio-tiempo además de la masa. En las ecuaciones de campo de Einstein , las fuentes de gravedad se presentan en el lado derecho enel tensor estrés-energía .
La figura 5-5 clasifica las diversas fuentes de gravedad en el tensor esfuerzo-energía:
- (rojo): La densidad total de masa-energía, incluidas las contribuciones a la energía potencial de las fuerzas entre las partículas, así como la energía cinética de los movimientos térmicos aleatorios.
- y (naranja): estos son términos de densidad de momento. Incluso si no hay movimiento en masa, la energía puede transmitirse por conducción de calor y la energía conducida llevará impulso.
- son las tasas de flujo del componente i del momento por unidad de área en la dirección j . Incluso si no hay movimiento de masa, los movimientos térmicos aleatorios de las partículas darán lugar a un flujo de momento, por lo que los términos i = j (verde) representan la presión isotrópica y los términos i ≠ j (azul) representan los esfuerzos cortantes. [55]
Una conclusión importante que se puede derivar de las ecuaciones es que, coloquialmente hablando, la gravedad misma crea la gravedad . [nota 15] La energía tiene masa. Incluso en la gravedad newtoniana, el campo gravitacional está asociado con una energía,llamada energía potencial gravitacional . En relatividad general, la energía del campo gravitacional retroalimenta la creación del campo gravitacional. Esto hace que las ecuaciones no sean lineales y sean difíciles de resolver en cualquier otro caso que no sea un campo débil. [21] : 240 La relatividad numérica es una rama de la relatividad general que utiliza métodos numéricos para resolver y analizar problemas, a menudo empleando supercomputadoras para estudiar agujeros negros , ondas gravitacionales , estrellas de neutrones y otros fenómenos en el régimen de campo fuerte.
Energía-impulso
En la relatividad especial, la masa-energía está estrechamente relacionada con el impulso . Así como el espacio y el tiempo son aspectos diferentes de una entidad más completa llamada espacio-tiempo, la masa-energía y el momento son simplemente aspectos diferentes de una cantidad unificada de cuatro dimensiones llamada cuatro-momento . En consecuencia, si la masa-energía es una fuente de gravedad, el impulso también debe ser una fuente. La inclusión del impulso como fuente de gravedad conduce a la predicción de que masas en movimiento o en rotación pueden generar campos análogos a los campos magnéticos generados por cargas en movimiento, un fenómeno conocido como gravitomagnetismo . [56]
Es bien sabido que la fuerza del magnetismo se puede deducir aplicando las reglas de la relatividad especial a las cargas en movimiento. (Feynman presentó una elocuente demostración de esto en el volumen II, capítulos 13-6 de sus Lectures on Physics , disponible en línea. [57] ) Se puede utilizar una lógica análoga para demostrar el origen del gravitomagnetismo. En la figura 5-7a, dos corrientes paralelas infinitamente largas de partículas masivas tienen velocidades iguales y opuestas: vy + v en relación con una partícula de prueba en reposo y centrada entre las dos. Debido a la simetría de la configuración, la fuerza neta sobre la partícula central es cero. Asumirde modo que las velocidades son simplemente aditivas. La figura 5-7b muestra exactamente la misma configuración, pero en el marco de la secuencia superior. La partícula de prueba tiene una velocidad de + v , y la corriente de fondo tiene una velocidad de +2 v . Dado que la situación física no ha cambiado, solo el marco en el que se observan las cosas, la partícula de prueba no debe ser atraída hacia ninguna corriente. Pero no está del todo claro que las fuerzas ejercidas sobre la partícula de prueba sean iguales. (1) Dado que la corriente inferior se mueve más rápido que la superior, cada partícula en la corriente inferior tiene una energía de masa mayor que una partícula en la parte superior. (2) Debido a la contracción de Lorentz, hay más partículas por unidad de longitud en la corriente inferior que en la superior. (3) Otra contribución a la masa gravitacional activa de la corriente inferior proviene de un término de presión adicional que, en este punto, no tenemos antecedentes suficientes para discutir. Todos estos efectos juntos exigirían aparentemente que la partícula de prueba fuera atraída hacia la corriente inferior.
La partícula de prueba no se arrastra hacia la corriente inferior debido a una fuerza dependiente de la velocidad que sirve para repeler una partícula que se mueve en la misma dirección que la corriente inferior. Este efecto gravitacional dependiente de la velocidad es el gravitomagnetismo. [21] : 245–253
La materia en movimiento a través de un campo gravitomagnético está, por tanto, sujeta a los llamados efectos de arrastre de cuadros análogos a la inducción electromagnética . Se ha propuesto que tales fuerzas gravitomagnéticas subyacen a la generación de los chorros relativistas (Fig. 5-8) expulsados por algunos agujeros negros supermasivos en rotación . [58] [59]
Presión y estrés
Las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el momento también deberían ser fuentes de gravedad, es decir, presión y estrés internos . En conjunto, la masa-energía , el impulso, la presión y el estrés sirven como fuentes de gravedad: colectivamente, son lo que le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.
La relatividad general predice que la presión actúa como una fuente gravitacional con exactamente la misma fuerza que la densidad masa-energía. La inclusión de la presión como fuente de gravedad conduce a diferencias dramáticas entre las predicciones de la relatividad general y las de la gravitación newtoniana. Por ejemplo, el término de presión establece un límite máximo a la masa de una estrella de neutrones . Cuanto más masiva es una estrella de neutrones, más presión se requiere para soportar su peso contra la gravedad. Sin embargo, el aumento de presión se suma a la gravedad que actúa sobre la masa de la estrella. Por encima de una determinada masa determinada por el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , el proceso se descontrola y la estrella de neutrones colapsa en un agujero negro . [21] : 243,280
Los términos de estrés se vuelven muy significativos cuando se realizan cálculos como simulaciones hidrodinámicas de supernovas de colapso del núcleo. [60]
Estas predicciones sobre los roles de la presión, el impulso y el estrés como fuentes de la curvatura del espacio-tiempo son elegantes y juegan un papel importante en teoría. Con respecto a la presión, el universo primitivo estaba dominado por la radiación, [61] y es muy poco probable que alguno de los datos cosmológicos relevantes (por ejemplo , abundancia de nucleosíntesis , etc.) pudiera reproducirse si la presión no contribuyó a la gravedad, o si lo hizo. no tienen la misma fuerza que una fuente de gravedad que la masa-energía. Asimismo, la consistencia matemática de las ecuaciones de campo de Einstein se rompería si los términos de tensión no contribuyesen como fuente de gravedad.
Prueba experimental de las fuentes de curvatura del espacio-tiempo.
Definiciones: masa activa, pasiva e inercial
Bondi distingue entre diferentes tipos posibles de masa: (1) masa activa () es la masa que actúa como fuente de un campo gravitacional; (2) masa pasiva () es la masa que reacciona a un campo gravitacional; (3) masa inercial () es la masa que reacciona a la aceleración. [62]
- es lo mismo que la masa gravitacional () en la discusión del principio de equivalencia .
En la teoría newtoniana,
- La tercera ley de acción y reacción dicta que y debe ser lo mismo.
- Por otro lado, si y son iguales es un resultado empírico.
En relatividad general,
- La igualdad de y está dictado por el principio de equivalencia.
- No existe un principio de "acción y reacción" que dicte ninguna relación necesaria entre y . [62]
La presión como fuente gravitacional
El experimento clásico para medir la fuerza de una fuente gravitacional (es decir, su masa activa) fue realizado por primera vez en 1797 por Henry Cavendish (figura 5-9a). Dos bolas pequeñas pero densas están suspendidas de un alambre fino, haciendo un equilibrio de torsión . Acercar dos grandes masas de prueba a las bolas introduce un par detectable. Dadas las dimensiones del aparato y la constante de resorte medible del alambre de torsión, se puede determinar la constante de gravedad G.
Estudiar los efectos de la presión comprimiendo las masas de prueba es inútil, porque las presiones de laboratorio alcanzables son insignificantes en comparación con la masa-energía de una bola de metal.
Sin embargo, las presiones electromagnéticas repulsivas que resultan de los protones apretados fuertemente dentro de los núcleos atómicos son típicamente del orden de 10 28 atm ≈ 10 33 Pa ≈ 10 33 kg · s −2 m −1 . Esto equivale aproximadamente al 1% de la densidad de masa nuclear de aproximadamente 10 18 kg / m 3 (después de factorizar c 2 ≈ 9 × 10 16 m 2 s −2 ). [63]
Si la presión no actúa como fuente gravitacional, entonces la relación debería ser menor para núcleos con mayor número atómico Z , en los que las presiones electrostáticas son mayores. LB Kreuzer (1968) hizo un experimento de Cavendish usando una masa de teflón suspendida en una mezcla de los líquidos tricloroetileno y dibromoetano que tenían la misma densidad de flotación que el teflón (figura 5-9b). El flúor tiene un número atómico Z = 9 , mientras que el bromo tiene Z = 35 . Kreuzer descubrió que el reposicionamiento de la masa de teflón no provocaba una deflexión diferencial de la barra de torsión, por lo que establecía que la masa activa y la masa pasiva eran equivalentes a una precisión de 5 × 10 −5 . [64]
Aunque Kreuzer originalmente consideró este experimento simplemente como una prueba de la relación entre masa activa y masa pasiva, Clifford Will (1976) reinterpretó el experimento como una prueba fundamental del acoplamiento de fuentes a campos gravitacionales. [sesenta y cinco]
En 1986, Bartlett y Van Buren notaron que la medición del láser lunar había detectado un desplazamiento de 2 km entre el centro de la figura de la luna y su centro de masa. Esto indica una asimetría en la distribución de Fe (abundante en el núcleo de la Luna) y Al (abundante en su corteza y manto). Si la presión no contribuyera igualmente a la curvatura del espacio-tiempo como lo hace la masa-energía, la luna no estaría en la órbita predicha por la mecánica clásica. Utilizaron sus medidas para ajustar los límites de cualquier discrepancia entre la masa activa y pasiva a aproximadamente 10-12 . [66]
Gravitomagnetismo
La existencia de gravitomagnetismo fue probada por Gravity Probe B (GP-B) , una misión satelital que se lanzó el 20 de abril de 2004. [67] La fase de vuelo espacial duró hasta. El objetivo de la misión era medir la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, con especial énfasis en el gravitomagnetismo .
Los resultados iniciales confirmaron el efecto geodésico relativamente grande (que se debe a la curvatura del espacio-tiempo simple, y también se conoce como precesión de De Sitter) con una precisión de aproximadamente el 1%. El efecto de arrastre de fotogramas mucho más pequeño (que se debe al gravitomagnetismo y también se conoce como precesión Lense-Thirring ) fue difícil de medir debido a los efectos de carga inesperados que causan una deriva variable en los giroscopios. Sin embargo, por, el efecto de arrastre de fotogramas se había confirmado dentro del 15% del resultado esperado, [68] mientras que el efecto geodésico se confirmó en mejor que el 0,5%. [69] [70]
Las mediciones posteriores del arrastre de fotogramas mediante observaciones de alcance láser de los satélites LARES , LAGEOS -1 y LAGEOS-2 han mejorado en la medición GP-B , con resultados (a partir de 2016) que demuestran el efecto dentro del 5% de su valor teórico, [71] aunque ha habido cierto desacuerdo sobre la precisión de este resultado. [72]
Otro esfuerzo, el experimento de los giroscopios en relatividad general (GINGER), busca utilizar tres láseres de anillo de 6 m montados en ángulos rectos entre sí 1400 m por debajo de la superficie de la Tierra para medir este efecto. [73] [74]
Temas técnicos
¿El espacio-tiempo es realmente curvo?
En las visiones convencionalistas de Poincaré , los criterios esenciales según los cuales se debe seleccionar una geometría euclidiana versus no euclidiana serían la economía y la simplicidad. Un realista diría que Einstein descubrió que el espacio-tiempo no es euclidiano. Un convencionalista diría que a Einstein simplemente le pareció más conveniente utilizar geometría no euclidiana. El convencionalista sostendría que el análisis de Einstein no dice nada acerca de cuál es realmente la geometría del espacio-tiempo . [75]
Dicho esto,
- 1. ¿Es posible representar la relatividad general en términos de espacio-tiempo plano?
- 2. ¿Existe alguna situación en la que una interpretación del espacio-tiempo plano de la relatividad general pueda ser más conveniente que la interpretación del espacio-tiempo curvo habitual?
En respuesta a la primera pregunta, varios autores, incluidos Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., han proporcionado varias formulaciones de la gravitación como un campo en una variedad plana. Esas teorías se denominan de diversas formas " gravedad bimétrica ", "enfoque teórico de campo de la relatividad general", etc. [76] [77] [78] [79] Kip Thorne ha proporcionado una revisión popular de estas teorías. [80] : 397–403
El paradigma del espacio-tiempo plano postula que la materia crea un campo gravitacional que hace que las reglas se encojan cuando se cambian de orientación circunferencial a radial, y que hace que se dilaten las velocidades de los relojes. El paradigma del espacio-tiempo plano es totalmente equivalente al paradigma del espacio-tiempo curvo en el sentido de que ambos representan los mismos fenómenos físicos. Sin embargo, sus formulaciones matemáticas son completamente diferentes. Los físicos que trabajan cambian rutinariamente entre el uso de técnicas de espacio-tiempo curvas y planas, según los requisitos del problema. El paradigma del espacio-tiempo plano resulta especialmente conveniente cuando se realizan cálculos aproximados en campos débiles. Por lo tanto, se utilizarán técnicas de espacio-tiempo plano al resolver problemas de ondas gravitacionales, mientras que se utilizarán técnicas de espacio-tiempo curvo en el análisis de agujeros negros. [80] : 397–403
Simetrías asintóticas
El grupo de simetría del espacio-tiempo para la Relatividad Especial es el grupo de Poincaré , que es un grupo de diez dimensiones de tres impulsos de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espacio-tiempo. Es lógico preguntar qué simetrías, si es que alguna, podrían aplicarse en la Relatividad General . Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espacio-tiempo como lo ven los observadores ubicados lejos de todas las fuentes del campo gravitacional. La expectativa ingenua de simetrías espaciotemporales asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espaciotiempo plano de la relatividad especial, a saber. , el grupo de Poincaré.
En 1962, Hermann Bondi , MG van der Burg, AW Metzner [81] y Rainer K. Sachs [82] abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales . Su primer paso fue decidir sobre algunas condiciones de contorno físicamente sensibles para colocar en el campo gravitacional en el infinito similar a la luz para caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer suposiciones a priori sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica: ni siquiera la suposición de que tal grupo exista. Luego, después de diseñar lo que consideraron las condiciones de contorno más sensibles, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintóticas resultantes que dejan invariante la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitacionales asintóticamente planos. Lo que encontraron fue que las transformaciones de simetría asintótica en realidad forman un grupo y la estructura de este grupo no depende del campo gravitacional particular que esté presente. Esto significa que, como era de esperar, se puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitacional al menos en el infinito espacial. La desconcertante sorpresa en 1962 fue su descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como el grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. Las transformaciones de Lorentz no solo son transformaciones de simetría asintótica, también hay transformaciones adicionales que no son transformaciones de Lorentz, sino transformaciones de simetría asintótica. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformación conocidos como supertranslaciones . Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (GR) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a largas distancias. [83] : 35
Geometría riemanniana
La geometría de Riemann es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades de Riemann , variedades suaves con una métrica de Riemann , es decir, con un producto interno en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro. Esto da, en particular, nociones locales de ángulo , longitud de curvas , área de superficie y volumen . A partir de ellos, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando contribuciones locales.
La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" [84] ("Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría"). Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R 3 . El desarrollo de la geometría riemanniana dio como resultado la síntesis de diversos resultados relacionados con la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas en ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Esto permitió la formulación de Einstein 's teoría general de la relatividad , hizo impacto profundo en la teoría de grupos y la teoría de la representación , así como el análisis y estimulado el desarrollo de algebraica y la topología diferencial .
Colectores curvos
Por razones físicas, un continuo espacio-tiempo se define matemáticamente como una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones, suave y conectada. . Esto significa la métrica suave de Lorentz tiene firma . La métrica determina elgeometría del espacio-tiempo , así como determinar lasgeodésicasde partículas y haces de luz. Acerca de cada punto (evento) de esta variedad,se utilizangráficos de coordenadaspara representar a los observadores en marcos de referencia. Generalmente, coordenadas cartesianasson usados. Además, en aras de la simplicidad, las unidades de medida generalmente se eligen de manera que la velocidad de la luzes igual a 1. [85]
Se puede identificar un marco de referencia (observador) con uno de estos gráficos de coordenadas; Cualquiera de estos observadores puede describir cualquier evento. Otro marco de referencia puede identificarse mediante un segundo gráfico de coordenadas sobre. Dos observadores (uno en cada marco de referencia) pueden describir el mismo eventopero obtenga descripciones diferentes. [85]
Por lo general, se necesitan muchos gráficos de coordenadas superpuestos para cubrir una variedad. Dados dos gráficos de coordenadas, uno que contiene (que representa a un observador) y otro que contiene (que representa a otro observador), la intersección de los gráficos representa la región del espacio-tiempo en la que ambos observadores pueden medir cantidades físicas y, por lo tanto, comparar resultados. La relación entre los dos conjuntos de medidas viene dada por una transformación de coordenadas no singular en esta intersección. La idea de gráficos de coordenadas como observadores locales que pueden realizar mediciones en su vecindad también tiene un buen sentido físico, ya que así es como uno realmente recopila datos físicos, localmente. [85]
Por ejemplo, dos observadores, uno de los cuales está en la Tierra, pero el otro que está en un cohete rápido a Júpiter, pueden observar un cometa chocando contra Júpiter (este es el evento ). En general, no estarán de acuerdo sobre la ubicación exacta y el momento de este impacto, es decir, tendrán diferentes 4 tuplas.(ya que utilizan diferentes sistemas de coordenadas). Aunque sus descripciones cinemáticas serán diferentes, las leyes dinámicas (físicas), como la conservación del momento y la primera ley de la termodinámica, aún se mantendrán. De hecho, la teoría de la relatividad requiere más que esto en el sentido de que estipula que estas (y todas las demás leyes físicas) deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Esto introduce tensores en la relatividad, mediante los cuales se representan todas las cantidades físicas.
Se dice que las geodésicas son similares al tiempo, nulas o espaciales si el vector tangente a un punto de la geodésica es de esta naturaleza. Las trayectorias de partículas y rayos de luz en el espacio-tiempo están representadas por geodésicas similares al tiempo y nulas (similares a la luz), respectivamente. [85]
Carácter privilegiado del espacio-tiempo 3 + 1
Hay dos tipos de dimensiones: espacial (bidireccional) y temporal (unidireccional). [86] Sea N el número de dimensiones espaciales y T el número de dimensiones temporales . Que N = 3 y T = 1, dejando de lado las dimensiones compactadas invocadas por la teoría de cuerdas e indetectables hasta la fecha, puede explicarse apelando a las consecuencias físicas de dejar que N difiera de 3 y T difiera de 1. El argumento es a menudo de un tipo carácter antrópico y posiblemente el primero de su tipo, aunque antes de que el concepto completo se pusiera de moda.
La noción implícita de que la dimensionalidad del universo es especial se atribuye primero a Gottfried Wilhelm Leibniz , quien en el Discurso de la metafísica sugirió que el mundo es " el que es al mismo tiempo el más simple en hipótesis y el más rico en fenómenos ". [87] Immanuel Kant argumentó que el espacio tridimensional era una consecuencia de la ley del cuadrado inverso de la gravitación universal . Si bien el argumento de Kant es históricamente importante, John D. Barrow dice que "pone el chiste al revés: es la tridimensionalidad del espacio lo que explica por qué vemos las leyes de la fuerza del cuadrado inverso en la naturaleza, y no al revés". (Barrow 2002: 204). [nota 16]
En 1920, Paul Ehrenfest demostró que si solo hay una dimensión temporal y más de tres dimensiones espaciales, la órbita de un planeta alrededor de su Sol no puede permanecer estable. Lo mismo ocurre con la órbita de una estrella alrededor del centro de su galaxia . [88] Ehrenfest también mostró que si hay un número par de dimensiones espaciales, las diferentes partes de un impulso de onda viajarán a diferentes velocidades. Si haydimensiones espaciales, donde k es un número entero positivo, los impulsos de onda se distorsionan. En 1922, Hermann Weyl mostró que Maxwell teoría de la 's electromagnetismo sólo funciona con tres dimensiones espaciales y una de tiempo. [89] Finalmente, Tangherlini demostró en 1963 que cuando hay más de tres dimensiones espaciales, los orbitales de electrones alrededor de los núcleos no pueden ser estables; los electrones caerían en el núcleo o se dispersarían. [90]
Max Tegmark amplía el argumento anterior de la siguiente manera antrópica. [91] Si T difiere de 1, el comportamiento de los sistemas físicos no podría predecirse de manera confiable a partir del conocimiento de las ecuaciones diferenciales parciales relevantes . En un universo así, no podría surgir vida inteligente capaz de manipular la tecnología. Además, si T > 1, Tegmark sostiene que los protones y los electrones serían inestables y podrían desintegrarse en partículas con una masa mayor que ellos mismos. (Esto no es un problema si las partículas tienen una temperatura suficientemente baja.) N = 1 y T = 3 tiene la propiedad peculiar de que la velocidad de la luz en el vacío es un límite inferior de la velocidad de la materia; toda la materia consta de taquiones . [91]
Por último, si N <3, la gravitación de cualquier tipo se vuelve problemática y el universo es probablemente demasiado simple para contener observadores. Por ejemplo, cuando N <3, los nervios no pueden cruzarse sin cruzarse. [91]
Por lo tanto, los argumentos antrópicos y de otro tipo descartan todos los casos excepto N = 3 y T = 1, que describe el mundo que nos rodea.
En 2019, James Scargill argumentó que la vida compleja puede ser posible con dos dimensiones espaciales. Según Scargill, una teoría de la gravedad puramente escalar puede permitir una fuerza gravitacional local, y las redes 2D pueden ser suficientes para redes neuronales complejas. [92] [93]Ver también
- Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
- Espacio-tiempo complejo
- Los experimentos mentales de Einstein
- Estructura del espacio-tiempo global
- Espacio métrico
- Filosofía del espacio y el tiempo
- Regalo
- Pasado
Notas
- ^ luminífero del latín lumen , ligero, + ferens , portador; éter del griego αἰθήρ ( aithēr ), aire puro, cielo despejado
- ↑ Al afirmar que la simultaneidad es una cuestión de convención, Poincaré quiso decir que para hablar de tiempo, uno debe tener relojes sincronizados, y la sincronización de relojes debe establecerse mediante un procedimiento operativo específico (convención). Esta postura representó una ruptura filosófica fundamental con Newton, quien concibió un tiempo absoluto y verdadero que era independiente del funcionamiento de los inexactos relojes de su época. Esta postura también representó un ataque directo contra el influyente filósofo Henri Bergson , quien argumentó que el tiempo, la simultaneidad y la duración eran cuestiones de comprensión intuitiva. [15]
- ↑ El procedimiento operativo adoptado por Poincaré fue esencialmente idéntico a lo que se conoce como sincronización de Einstein , aunque una variante del mismo ya era un procedimiento ampliamente utilizado por los telegrafistas a mediados del siglo XIX. Básicamente, para sincronizar dos relojes, uno destella una señal luminosa de uno a otro y se ajusta al tiempo que tarda el destello en llegar. [15]
- ^ Un sello distintivo de la carrera de Einstein, de hecho, fue su uso de experimentos mentalesvisualizados(Gedanken-Experimente) como una herramienta fundamental para comprender los problemas físicos. Para la relatividad especial, empleó trenes en movimiento y relámpagos para sus percepciones más penetrantes. Para el espacio-tiempo curvo, consideró a un pintor cayéndose de un techo, acelerando ascensores, escarabajos ciegos arrastrándose sobre superficies curvas y cosas por el estilo. En sus grandes Debates de Solvay con Bohr sobre la naturaleza de la realidad (1927 y 1930), ideó múltiples artilugios imaginarios destinados a mostrar, al menos en concepto, los medios por los cuales el principio de incertidumbre de Heisenberg podría ser evadido. Finalmente, en una profunda contribución a la literatura sobre mecánica cuántica, Einstein consideró dos partículas que interactúan brevemente y luego se separan para que sus estados estén correlacionados, anticipando el fenómeno conocido como entrelazamiento cuántico . [20] : 26–27; 122–127; 145–146; 345–349; 448–460
- ↑ En la versión original de esta conferencia, Minkowski continuó usando términos tan obsoletos como éter, pero la publicación póstuma en 1915 de esta conferencia en Annals of Physics ( Annalen der Physik ) fue editada por Sommerfeld para eliminar este término. Sommerfeld también editó la forma publicada de esta conferencia para revisar el juicio de Minkowski sobre Einstein de ser un mero aclarador del principio de relatividad, a ser su principal expositor. [22]
- ^ (A continuación, el grupo G ∞ es el grupo de Galileo y el grupo G c el grupo de Lorentz.) "Con respecto a esto, está claro que el grupo G c en el límite para c = ie, es decir, como grupo G ∞ , se convierte exactamente en el grupo completo que pertenece a la Mecánica Newtoniana. En este estado de cosas, y dado que G c es matemáticamente más inteligible que G ∞ , un matemático puede, mediante un juego libre de imaginación, dar con la idea de que los fenómenos naturales realmente poseen un invariancia, no para el grupo G ∞ , sino más bien para un grupo G c , donde c es definitivamente finito, y solo excesivamente grande usando las unidades de medida ordinarias ". [24]
- ^ Por ejemplo, el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo conforme en cuatro dimensiones . [25] : 41-42 El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de Laguerre transformando planos en planos, [25] : 39-42 es isomorfo al grupo de Möbius del plano, [26] : 22 y es isomorfo al grupo de isometrías en el espacio hiperbólico que a menudo se expresa en términos del modelo hiperboloide . [27] : 3.2.3
- ^ En un plano cartesiano , la rotación ordinaria deja un círculo sin cambios. En el espacio-tiempo, la rotación hiperbólica conserva la métrica hiperbólica .
- ^ Incluso sin (des) aceleración, es decir, usando un marco inercial O para un viaje hacia afuera constante de alta velocidad y otro marco inercial I para un viaje interno constante y de alta velocidad: la suma del tiempo transcurrido en esos marcos (O e I) es más corto que el tiempo transcurrido en el marco inercial estacionario S. Por lo tanto, la aceleración y la desaceleración no son la causa de un tiempo transcurrido más corto durante el viaje de ida y vuelta. En cambio, el uso de dos diferentes marcos inerciales constantes de alta velocidad para el viaje hacia adentro y hacia afuera es realmente la causa de un tiempo total transcurrido más corto. Por supuesto, si el mismo gemelo tiene que viajar hacia afuera y hacia adentro del tramo del viaje y cambiar de manera segura del tramo de afuera al interno del viaje, se requiere la aceleración y la desaceleración. Si el gemelo que viaja pudiera montar el marco inercial hacia afuera de alta velocidad y cambiar instantáneamente al marco inercial hacia adentro de alta velocidad, el ejemplo aún funcionaría. El punto es que la verdadera razón debe expresarse claramente. La asimetría se debe a la comparación de la suma de los tiempos transcurridos en dos marcos inerciales diferentes (O e I) con el tiempo transcurrido en un solo marco inercial S.
- ^ La facilidad de analizar un escenario relativista a menudo depende del marco en el que uno elige realizar el análisis. En esta imagen vinculada , presentamos vistas alternativas del escenario de cambio Doppler transversal donde la fuente y el receptor se encuentran en su aproximación más cercana entre sí. (a) Si analizamos el escenario en el marco del receptor, encontramos que el análisis es más complicado de lo que debería ser. La posición aparente de un objeto celeste se desplaza de su posición real (o posición geométrica) debido al movimiento del objeto durante el tiempo que tarda su luz en llegar a un observador. La fuente estaría dilatada en el tiempo en relación con el receptor, pero el desplazamiento al rojo que implica esta dilatación temporal se compensaría con un desplazamiento hacia el azul debido a la componente longitudinal del movimiento relativo entre el receptor y la posición aparente de la fuente. (b) Es mucho más fácil si, en cambio, analizamos el escenario desde el marco de la fuente. Un observador situado en la fuente sabe, por el enunciado del problema, que el receptor está en su punto más cercano a él. Eso significa que el receptor no tiene componente longitudinal de movimiento para complicar el análisis. Dado que los relojes del receptor están dilatados en el tiempo en relación con la fuente, la luz que recibe el receptor se desplaza hacia el azul por un factor de gamma .
- ^ No todos los experimentos caracterizan el efecto en términos de corrimiento al rojo. Por ejemplo, el experimento de Kündig se configuró para medir el desplazamiento al azul transversal utilizando una configuración de fuente Mössbauer en el centro de un rotor de centrífuga y un absorbedor en el borde.
- ^ La rapidez surge naturalmente como coordenadas en los generadores de impulso purodentro del álgebra de álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Asimismo, los ángulos de rotación surgen naturalmente como coordenadas (módulo 2 π ) en los generadores de rotación puraen el álgebra de Lie. (Juntos coordinan todo el álgebra de Lie). Una diferencia notable es que las rotaciones resultantes son periódicas en el ángulo de rotación, mientras que los aumentos resultantes no son periódicos en rapidez (sino uno a uno). La similitud entre impulsos y rotaciones es una semejanza formal.
- ^ En la teoría de la relatividad, la aceleración adecuada es la aceleración física (es decir, la aceleración medible como por un acelerómetro) experimentada por un objeto. Por lo tanto, es una aceleración relativa a un observador en caída libre o inercial que está momentáneamente en reposo en relación con el objeto que se mide.
- El propio Newton era muy consciente de las dificultades inherentes a estos supuestos, pero en la práctica, hacer estos supuestos era la única forma de progresar. En 1692, escribió a su amigo Richard Bentley: "Que la Gravedad debe ser innata, inherente y esencial a la Materia, de modo que un cuerpo pueda actuar sobre otro a distancia a través de un Vacío, sin la Mediación de ninguna otra cosa, por y a través del cual su Acción y Fuerza pueden transmitirse de uno a otro, es para mí un Absurdo tan grande que creo que ningún Hombre que tenga en Materia filosófica una Facultad de pensar competente puede caer jamás en él ".
- ^ Más precisamente, el campo gravitacional se acopla a sí mismo. En la gravedad newtoniana, el potencial debido a dos masas puntuales es simplemente la suma de los potenciales de las dos masas, pero esto no se aplica a GR. Esto puede pensarse como el resultado del principio de equivalencia: si la gravitación no se acoplara a sí misma, dos partículas unidas por su atracción gravitacional mutua no tendrían la misma masa inercial (debido a la energía de enlace negativa) que su masa gravitacional. [51] : 112-113
- ^ Esto se debe a que la ley de la gravitación (o cualquier otra ley del cuadrado inverso ) se deriva del concepto de flujo y la relación proporcional de la densidad de flujo y la intensidad del campo. Si N = 3, entonces los objetos sólidos tridimensionales tienen áreas de superficie proporcionales al cuadrado de su tamaño en cualquier dimensión espacial seleccionada. En particular, una esfera de radio r tiene un área de 4π r 2 . De manera más general, en un espacio de N dimensiones, la fuerza de la atracción gravitacional entre dos cuerpos separados por una distancia de r sería inversamente proporcional a r N −1 .
Detalles adicionales
- ^ Los diferentes reporteros que ven los escenarios presentados en esta figura interpretan los escenarios de manera diferente dependiendo de su conocimiento de la situación. (i) Un primer informador, en el centro de masa de las partículas 2 y 3 pero sin darse cuenta de la gran masa 1 , concluye que existe una fuerza de repulsión entre las partículas en el escenario A mientras que existe una fuerza de atracción entre las partículas en el escenario B . (ii) Un segundo reportero, consciente de la gran masa 1 , sonríe ante la ingenuidad del primer reportero. Este segundo reportero sabe que, en realidad, las fuerzas aparentes entre las partículas 2 y 3 realmente representan efectos de marea resultantes de su atracción diferencial por la masa 1 . (iii) Un tercer reportero, entrenado en relatividad general, sabe que, de hecho, no hay fuerzas actuando entre los tres objetos. Más bien, los tres objetos se mueven a lo largo de las geodésicas en el espacio-tiempo.
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... transcripción redactada de un curso impartido por el autor en Harvard en el semestre de primavera de 2016. Contiene una descripción pedagógica de los desarrollos recientes que conectan los temas de teoremas blandos, el efecto de memoria y las simetrías asintóticas en QED de cuatro dimensiones, teoría de gauge no beliana y gravedad con aplicaciones a agujeros negros. Se publicará en Princeton University Press, 158 páginas.
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Otras lecturas
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- Taylor, EF; Wheeler, John A. (1992). Física del espacio-tiempo, segunda edición . Archivo de Internet: WH Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
enlaces externos
- Albert Einstein sobre el espacio-tiempo 13.ª edición Encyclopædia Britannica Histórico: artículo de Albert Einstein de 1926
- Enciclopedia del espacio-tiempo y la gravitación Artículos de expertos de Scholarpedia
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Espacio y Tiempo: Marcos inerciales " por Robert DiSalle.