Álgebra del espacio-tiempo

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En física matemática , el álgebra del espacio-tiempo (STA) es un nombre para el álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ), o equivalentemente el álgebra geométrica G ( M ⁴ ) . Según David Hestenes , el álgebra del espacio-tiempo puede estar particularmente asociado con la geometría de la relatividad especial y el espacio-tiempo relativista .

Es un espacio vectorial que permite que no solo vectores , sino también bivectores (cantidades dirigidas asociadas con planos particulares, como áreas o rotaciones) o palas (cantidades asociadas con hipervolúmenes particulares) se combinen, así como roten , reflejen. , o Lorentz impulsado . También es el álgebra parental natural de los espinores en la relatividad especial. Estas propiedades permiten que muchas de las ecuaciones más importantes de la física se expresen en formas particularmente simples y pueden ser muy útiles para una comprensión más geométrica de sus significados.

El álgebra del espacio-tiempo se puede construir a partir de una base ortogonal de un vector similar al tiempo y tres vectores similares al espacio , con la regla de multiplicación${\ Displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ Displaystyle \ {\ gamma _ {1}, \ gamma _ {2}, \ gamma _ {3} \}}$

donde es la métrica de Minkowski con firma (+ - - -) .${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$

Por lo tanto, , , de lo contrario .${\ Displaystyle \ gamma _ {0} ^ {2} = {+ 1}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {1} ^ {2} = \ gamma _ {2} ^ {2} = \ gamma _ {3} ^ {2} = {- 1}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} = - \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu}}$

Los vectores base comparten estas propiedades con las matrices de Dirac , pero no es necesario utilizar una representación de matriz explícita en STA.${\ Displaystyle \ gamma _ {k}}$

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