En física matemática , las matrices gamma ,, también conocidas como matrices de Dirac , son un conjunto de matrices convencionales con relaciones anticommutación específicas que aseguran que generan una representación matricial del álgebra de Clifford Cl 1,3 ( R ). También es posible definir matrices gamma de dimensiones superiores . Cuando se interpreta como las matrices de la acción de un conjunto de ortogonales vectores de la base para contravariantes vectores en el espacio de Minkowski , los vectores de columna en la que las matrices actúan convertido en un espacio de espinores , en la que el álgebra de Clifford de espacio-tiempohechos. Esto, a su vez, hace posible representar rotaciones espaciales infinitesimales y refuerzos de Lorentz . Los espinores facilitan los cálculos del espacio-tiempo en general y, en particular, son fundamentales para la ecuación de Dirac para partículas de espín ½ relativistas .
En la representación de Dirac , las cuatro matrices gamma contravariantes son
es la matriz hermitiana, similar al tiempo. Los otros tres son matrices antihermitianas de tipo espacial. De forma más compacta,, y , dónde denota el producto Kronecker y el(para j = 1, 2, 3 ) denota las matrices de Pauli .
Las matrices gamma tienen una estructura de grupo, el grupo gamma , que es compartido por todas las representaciones matriciales del grupo, en cualquier dimensión, para cualquier firma de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli son un conjunto de matrices "gamma" en dimensión 3 con métrica de firma euclidiana (3, 0). En 5 dimensiones del espacio-tiempo, los 4 gammas anteriores junto con la quinta matriz gamma que se presenta a continuación generan el álgebra de Clifford.
Estructura matemática
La propiedad definitoria de las matrices gamma para generar un álgebra de Clifford es la relación anticommutación
dónde es el anticonmutador ,es la métrica de Minkowski con firma (+ - - -) , yes la matriz identidad 4 × 4 .
Esta propiedad definitoria es más fundamental que los valores numéricos utilizados en la representación específica de las matrices gamma. Las matrices gamma covariantes se definen por
y se asume la notación de Einstein .
Tenga en cuenta que la otra convención de signos para la métrica, (- + + +) necesita un cambio en la ecuación definitoria:
o una multiplicación de todas las matrices gamma por , que por supuesto cambia sus propiedades de hermiticidad que se detallan a continuación. Bajo la convención de signos alternativa para la métrica, las matrices gamma covariantes se definen luego por
Estructura física
El álgebra de Clifford Cl 1,3 (ℝ) sobre el espacio-tiempo V se puede considerar como el conjunto de operadores lineales reales de V a sí mismo, End ( V ) , o más generalmente, cuando se complejiza a Cl 1,3 (ℝ) ℂ , como el conjunto de operadores lineales desde cualquier espacio vectorial complejo de 4 dimensiones a sí mismo. Más simplemente, dada una base para V , Cl 1,3 (ℝ) ℂ es solo el conjunto de todas las matrices complejas de 4 × 4 , pero dotado de una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado de la métrica de Minkowski η μν . También se asume un espacio de bispinores, U x , en cada punto del espacio-tiempo, dotado de la representación de bispinores del grupo de Lorentz . Los campos bispinores Ψ de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto x en el espacio-tiempo, son elementos de U x , ver más abajo. Se supone que el álgebra de Clifford también actúa sobre U x (mediante la multiplicación de matrices con vectores columna Ψ ( x ) en U x para todo x ). Esta será la vista principal de los elementos de Cl 1,3 (ℝ) ℂ en esta sección.
Para cada transformación lineal S de U x , hay una transformación de End ( U x ) dada por SES −1 para E en Cl 1,3 (ℝ) ℂ ≈ End ( U x ) . Si S pertenece a una representación del grupo de Lorentz, entonces la acción inducida E ↦ SES −1 también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz, ver Teoría de la representación del grupo de Lorentz .
Si S (Λ) es la representación bispinor que actúa sobre U x de una transformación de Lorentz arbitraria Λ en la representación estándar (4 vectores) que actúa sobre V , entonces hay un operador correspondiente en End ( U x ) = Cl 1,3 ( ℝ) ℂ dado por
mostrando que γ μ puede verse como una base de un espacio de representación de la representación de 4 vectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. La última identidad puede reconocerse como la relación definitoria para matrices que pertenecen a un grupo ortogonal indefinido , que esescrito en notación indexada. Esto significa que cantidades de la forma
deben tratarse como 4 vectores en las manipulaciones. También significa que los índices se pueden subir y bajar en γ usando la métrica η μν como con cualquier 4-vector. La notación se llama notación de barra de Feynman . La operación de barra oblicua mapea la base e μ de V , o cualquier espacio vectorial de 4 dimensiones, a los vectores base γ μ . La regla de transformación para cantidades reducidas es simplemente
Cabe señalar que esto es diferente de la regla de transformación para γ μ , que ahora se tratan como vectores base (fijos). La designación del 4-tuplo ( γ μ ) = ( γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 ) como un 4-vector que se encuentra a veces en la literatura es, por tanto, un nombre poco apropiado. La última transformación corresponde a una transformación activa de los componentes de una cantidad recortada en términos de la base γ μ , y la primera a una transformación pasiva de la propia base γ μ .
Los elementos σ μν = γ μ γ ν - γ ν γ μ forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Esta es una representación de giro. Cuando estas matrices, y combinaciones lineales de ellas, son exponenciadas, son representaciones bispinor del grupo de Lorentz, por ejemplo, el S (Λ) de arriba son de esta forma. El espacio de 6 dimensiones el tramo σ μν es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz. Para los elementos de orden superior del álgebra de Clifford en general y sus reglas de transformación, consulte el artículo Álgebra de Dirac . La representación de espín del grupo de Lorentz está codificada en el grupo de espín Spin (1, 3) (para espinores reales sin carga) y en el grupo de espín complejado Spinc (1, 3) para espinores cargados (Dirac).
Expresando la ecuación de Dirac
En unidades naturales , la ecuación de Dirac se puede escribir como
dónde es un espinor de Dirac.
Cambiando a la notación de Feynman , la ecuación de Dirac es
La quinta matriz "gamma", γ 5
Es útil definir un producto de las cuatro matrices gamma como , así que eso
- (en la base de Dirac).
Aunque usa la letra gamma, no es una de las matrices gamma de Cl 1,3 ( R ). El número 5 es una reliquia de la notación antigua en la que fue llamado "".
tiene también una forma alternativa:
usando la convención , o
usando la convención .
Esto se puede ver aprovechando el hecho de que las cuatro matrices gamma anticonmutan, por lo que
- ,
dónde es el tipo (4,4) delta de Kronecker generalizado en 4 dimensiones, en total antisimetrización . Sidenota el símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos usar la identidad. Luego obtenemos, usando la convención,
Esta matriz es útil en las discusiones sobre quiralidad mecánica cuántica . Por ejemplo, un campo de Dirac se puede proyectar en sus componentes zurdos y diestros mediante:
- .
Algunas propiedades son:
- Es ermitaño:
- Sus valores propios son ± 1, porque:
- Anticonmuta con las cuatro matrices gamma:
De echo, y son vectores propios de desde
- , y
Cinco dimensiones
El álgebra de Clifford en dimensiones impares se comporta como dos copias del álgebra de Clifford de una dimensión menos, una copia a la izquierda y una copia a la derecha. [1] Por lo tanto, se puede emplear un pequeño truco para reutilizar i γ 5 como uno de los generadores del álgebra de Clifford en cinco dimensiones. En este caso, el conjunto { γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 , iγ 5 } por tanto, por las dos últimas propiedades (teniendo en cuenta que i 2 = −1 ) y las de las antiguas gammas, forma la base del álgebra de Clifford en 5 dimensiones espaciotemporales para la firma métrica (1,4) . [2] En la firma métrica (4,1) , se utiliza el conjunto { γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 , γ 5 } , donde γ μ son las adecuadas para la firma (3,1) . [3] Este patrón se repite para la dimensión espacio-tiempo 2 n par y la siguiente dimensión impar 2 n + 1 para todo n ≥ 1 . [4] Para obtener más detalles, consulte Matrices gamma de mayor dimensión .
Identidades
Las siguientes identidades se derivan de la relación fundamental de anticonmutación, por lo que se mantienen en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para ).
Identidades diversas
- Prueba
Tome la relación anticonmutación estándar:
Uno puede hacer que esta situación parezca similar usando la métrica :
( simétrico) (en expansión) (término reetiquetado a la derecha) - Prueba
De manera similar a la prueba de 1, nuevamente comenzando con la relación de conmutación estándar:
- Prueba
Mostrar
Utilice el anticonmutador para cambiar A la derecha
Usando la relación podemos contratar los dos últimos gammas y conseguir
Finalmente, usando la identidad del anticonmutador, obtenemos
- Prueba
(identidad anticonmutador) (usando identidad 3) (levantando un índice) (identidad anticonmutador) (2 términos cancelados) - Prueba
Si luego y es fácil verificar la identidad. Ese es el caso también cuando, o .
Por otro lado, si los tres índices son diferentes, , y y ambos lados son completamente antisimétricos; el lado izquierdo debido a la anticomutatividad del matrices, y en el lado derecho debido a la antisimetría de . Basta, pues, verificar las identidades para los casos de, , y .
Rastrear identidades
Las matrices gamma obedecen a las siguientes identidades de trazas :
- Traza de cualquier producto de un número impar de es cero
- Rastro de multiplicado por un producto de un número impar de sigue siendo cero
Probar lo anterior implica el uso de tres propiedades principales del operador de rastreo :
- tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B )
- tr ( rA ) = r tr ( A )
- tr ( ABC ) = tr ( CAB ) = tr ( BCA )
De la definición de las matrices gamma,
Obtenemos
o equivalente,
dónde es un número, y es una matriz.
(insertando la identidad y usando tr (rA) = r tr (A)) (de la relación anti-conmutación, y dado que somos libres de seleccionar ) (usando tr (ABC) = tr (BCA)) (quitando la identidad)
Esto implica
Mostrar
Primero nota que
También usaremos dos hechos sobre la quinta matriz gamma que dice:
Entonces, usemos estos dos hechos para probar esta identidad para el primer caso no trivial: el rastro de tres matrices gamma. El primer paso es poner un par deestá delante de los tres originales 's, y el segundo paso es cambiar el matriz de nuevo a la posición original, después de hacer uso de la ciclicidad de la traza.
(usando tr (ABC) = tr (BCA))
Esto solo se puede cumplir si
La extensión a matrices gamma 2n + 1 (n entero) se encuentra colocando dos gamma-5 después (digamos) de la matriz gamma 2n-ésima en la traza, conmutando una hacia la derecha (dando un signo menos) y conmutando el otro gamma-5 2n sale a la izquierda [con cambio de signo (-1) ^ 2n = 1]. Luego usamos la identidad cíclica para unir los dos gamma-5 y, por lo tanto, cuadran con la identidad, dejándonos con el rastro igual a menos a sí mismo, es decir, 0.
Si aparece un número impar de matrices gamma en un trazo seguido de , nuestro objetivo es movernos del lado derecho al izquierdo. Esto dejará el rastro invariante por la propiedad cíclica. Para hacer este movimiento, debemos anticonmutarlo con todas las demás matrices gamma. Esto significa que lo anticonmutamos un número impar de veces y tomamos un signo menos. Un rastro igual al negativo de sí mismo debe ser cero.
Mostrar
Empezar con,
Para el término de la derecha, continuaremos el patrón de intercambio con su vecino a la izquierda,
Nuevamente, para el término en el intercambio de la derecha con su vecino a la izquierda,
La ecuación (3) es el término a la derecha de la ecuación (2) y la ecuación (2) es el término a la derecha de la ecuación (1). También usaremos el número de identidad 3 para simplificar términos como este:
Entonces, finalmente, la ecuación (1), cuando conecta toda esta información, da
Los términos dentro de la traza se pueden reciclar, así que
Entonces realmente (4) es
o
Mostrar
- ,
empezar con
(porque ) (anti-conmutar el con ) (rotar términos dentro de la traza) (retirar 's)
Agregar a ambos lados de la anterior para ver
- .
Ahora, este patrón también se puede usar para mostrar
- .
Simplemente agregue dos factores de , con diferente de y . Anticommutar tres veces en lugar de una, recogiendo tres signos negativos y ciclar utilizando la propiedad cíclica de la traza.
Entonces,
- .
Para una prueba de identidad 6, el mismo truco todavía funciona a menos que es una permutación de (0123), por lo que aparecen los 4 gammas. Las reglas de anticonmutación implican que el intercambio de dos de los índices cambia el signo de la traza, por lo que debe ser proporcional a . La constante de proporcionalidad es, como se puede comprobar enchufando , escribiendo , y recordando que el rastro de la identidad es 4.
Denote el producto de matrices gamma por Considere el conjugado hermitiano de :
(ya que conjugar una matriz gamma con produce su conjugado hermitiano como se describe a continuación) (todas s excepto el primero y el último abandono)
Conjugando con una vez más para deshacerse de los dos s que están ahí, vemos que es el reverso de . Ahora,
(dado que el rastro es invariante bajo transformaciones de similitud) (dado que la traza es invariante bajo transposición) (dado que la traza de un producto de matrices gamma es real)
Normalización
Sin embargo, las matrices gamma se pueden elegir con condiciones de hermiticidad adicionales que están restringidas por las relaciones anticonmutación anteriores. Podemos imponer
- , compatible con
y para las otras matrices gamma (para k = 1, 2, 3 )
- , compatible con
Se comprueba inmediatamente que estas relaciones de hermiticidad son válidas para la representación de Dirac.
Las condiciones anteriores se pueden combinar en la relación
Las condiciones de hermiticidad no son invariables bajo la acción de una transformación de Lorentz porque no es necesariamente una transformación unitaria debido a la falta de compacidad del grupo de Lorentz.
Conjugación de carga
El operador de conjugación de cargos , en cualquier base, puede definirse como
dónde denota la matriz transpuesta . La forma explícita queLa toma depende de la representación específica elegida para las matrices gamma (su forma expresada como producto de las matrices gamma es independiente de la representación, pero las matrices gamma en sí tienen diferentes formas en diferentes representaciones). Esto es porque aunque conjugación de carga es un automorfismo del grupo gamma , es no un automorfismo interior (del grupo). Se pueden encontrar matrices de conjugación, pero dependen de la representación.
Las identidades independientes de la representación incluyen:
Además, para las cuatro representaciones dadas a continuación (Dirac, Majorana y ambas variantes quirales), uno tiene
Notación de barra de Feynman utilizada en la teoría cuántica de campos
La notación de barra de Feynman se define mediante
para cualquier 4-vector a .
Aquí hay algunas identidades similares a las anteriores, pero que involucran notación de barra:
- dónde es el símbolo de Levi-Civita y En realidad trazas de productos de número impar de es cero y por lo tanto
- [5]
Otras representaciones
Las matrices también se escriben a veces utilizando la matriz identidad 2 × 2 ,, y
donde k va de 1 a 3 y σ k son matrices de Pauli .
Base de Dirac
Las matrices gamma que hemos escrito hasta ahora son apropiadas para actuar sobre los espinores de Dirac escritos en la base de Dirac ; de hecho, la base de Dirac está definida por estas matrices. En resumen, en base a Dirac:
En la base de Dirac, el operador de conjugación de carga es [6]
Base de Weyl (quiral)
Otra opción común es la base Weyl o quiral , en la que sigue siendo el mismo pero es diferente, y entonces también es diferente, y diagonal,
o en notación más compacta:
La base de Weyl tiene la ventaja de que sus proyecciones quirales toman una forma simple,
La idempotencia de las proyecciones quirales es manifiesta.
Abusando levemente de la notación y reutilizando los símbolos entonces podemos identificar
donde ahora y son espinores Weyl de dos componentes para zurdos y diestros.
El operador de conjugación de cargos en esta base es
La base de Dirac se puede obtener de la base de Weyl como
a través de la transformación unitaria
Base de Weyl (quiral) (forma alternativa)
Otra posible elección [6] [7] de la base de Weyl tiene
Las proyecciones quirales toman una forma ligeramente diferente de la otra opción de Weyl,
En otras palabras,
dónde y son los espinores Weyl de dos componentes para zurdos y diestros, como antes.
El operador de conjugación de cargos en esta base es
Esta base se puede obtener de la base de Dirac anterior como a través de la transformación unitaria
Base majorana
También existe la base de Majorana , en la que todas las matrices de Dirac son imaginarias y los espinores y la ecuación de Dirac son reales. Con respecto a las matrices de Pauli , la base se puede escribir como [6]
dónde es la matriz de conjugación de carga, como se definió anteriormente.
(La razón para hacer imaginarias todas las matrices gamma es únicamente para obtener la métrica de la física de partículas (+, -, -, -) , en la que las masas cuadradas son positivas. Sin embargo, la representación de Majorana es real. Se puede factorizar la i para obtener una representación diferente con espinores reales de cuatro componentes y matrices gamma reales.es que la única métrica posible con matrices gamma reales es (-, +, +, +) .)
La base de Majorana se puede obtener de la base de Dirac anterior como a través de la transformación unitaria
Cl 1,3 (C) y Cl 1,3 (R)
El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejación del álgebra real Cl 1,3 ( R ), llamada álgebra del espacio-tiempo :
Cl 1,3 ( R ) se diferencia del Cl 1,3 ( C ): en Cl 1,3 ( R ) sólo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos.
Dos cosas merecen ser señaladas. Como las álgebras de Clifford , Cl 1,3 ( C ) y Cl 4 ( C ) son isomórficas, consulte la clasificación de las álgebras de Clifford . La razón es que la firma subyacente de la métrica del espacio-tiempo pierde su firma (1,3) al pasar a la complexificación. Sin embargo, la transformación requerida para llevar la forma bilineal a la forma canónica compleja no es una transformación de Lorentz y, por lo tanto, no es "permisible" (al menos no es práctica), ya que toda la física está estrechamente ligada a la simetría de Lorentz y es preferible mantenerla. manifiesto.
Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Argumentan que generalmente es posible (y generalmente esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Estas unidades surgen de una de las muchas cantidades en un álgebra de Clifford real que cuadran con -1, y tienen importancia geométrica debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos proponentes también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac. [8]
En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl p, q ( ℝ ) para dimensiones arbitrarias p, q ; la anticonmutación de los espinores de Weyl surge naturalmente del álgebra de Clifford. [9] Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín. . La complexificación del grupo de espín, llamado grupo de espín., es un producto del grupo de giro con el círculo El producto solo un dispositivo de notación para identificar con El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo las transformaciones de Lorentz, de la componente, que se puede identificar con el fibra de la interacción electromagnética. Laestá entrelazando la conjugación de paridad y carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partículas / antipartículas de Dirac (de manera equivalente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierda y derecha linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor ELKO, que no pueden ( es decir , son eléctricamente neutrales), ya que restringen explícitamente el espinor para no interactuar con el parte procedente de la complexificación.
En la medida en que la presentación de carga y paridad puede ser un tema confuso en los libros de texto de teoría cuántica de campos convencionales, la disección más cuidadosa de estos temas en un entorno geométrico general puede resultar esclarecedor. Las exposiciones estándar del álgebra de Clifford construyen los espinores de Weyl a partir de los primeros principios; que "automáticamente" anticonmutan es un subproducto geométrico elegante de la construcción, pasando por alto por completo cualquier argumento que apele al principio de exclusión de Pauli (o la sensación a veces común de que las variables de Grassmann se han introducido mediante una argumentación ad hoc ).
Sin embargo, en la práctica contemporánea de la física, el álgebra de Dirac en lugar del álgebra del espacio-tiempo sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac.
Matrices euclidianas de Dirac
En campo de la teoría cuántica puede Wick girar el eje de tiempo de tránsito desde el espacio de Minkowski a espacio euclidiano . Esto es particularmente útil en algunos procedimientos de renormalización , así como en la teoría del calibre de celosía . En el espacio euclidiano, hay dos representaciones de matrices de Dirac de uso común:
Representación quiral
Note que los factores de se han insertado en las matrices gamma espaciales de modo que el álgebra euclidiana de Clifford
Emergerá. También vale la pena señalar que hay variantes de esto que insertan en su lugar en una de las matrices, como en los códigos QCD de celosía que utilizan la base quiral.
En el espacio euclidiano,
Usando el anticonmutador y notando que en el espacio euclidiano , uno muestra que
En base quiral en el espacio euclidiano,
que no ha cambiado de su versión Minkowski.
Representación no relativista
Ver también
- Matrices de Pauli
- Matrices de Gell-Mann
- Matrices gamma de mayor dimensión
- Identidad de Fierz
Referencias
- ^ Jurgen Jost (2002) "Geometría y análisis geométrico de Riemann (tercera edición)" Springer Universitext (ver corolario 1.8.1, página 68)
- ^ El conjunto de matrices ( Γ A ) = ( γ μ , iγ 5 ) con A = (0, 1, 2, 3, 4) satisface el álgebra de Clifford de cinco dimensiones { Γ A , Γ B } = 2 η AB . Véase Tong 2007 , pág. 93.
- ^ Weinberg 2002 Sección 5.5.
- ↑ de Wit y Smith , 1996 , p. 679 .
- ^ Nota de conferencia de la Universidad de Texas en Austin
- ^ a b c Claude Itzykson y Jean-Bernard Zuber, (1980) "Teoría del campo cuántico", MacGraw-Hill (ver Apéndice A)
- ^ Michio Kaku , teoría cuántica de campos , ISBN 0-19-509158-2 , apéndice A
- ^ Véase, por ejemplo, Hestenes 1996 .
- ^ Jurgen Jost (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3ª edición)", Springer Universitext. Ver sección 1.8
- Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: un curso introductorio en física de partículas moderna . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-88741-2.
- A. Zee, Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2003), Princeton University Press: Princeton, Nueva Jersey. ISBN 0-691-01019-6 . Ver capítulo II.1 .
- M. Peskin, D. Schroeder, Introducción a la teoría cuántica de campos (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2 Consulte el capítulo 3.2 .
- W. Pauli (1936). "Contribuciones mathématiques à la théorie des matrices de Dirac" . Annales de l'Institut Henri Poincaré . 6 : 109.
- Weinberg, S. (2002), La teoría cuántica de los campos , 1 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
- Tong, David (2007). "Teoría cuántica de campos" . David Tong de la Universidad de Cambridge . pag. 93 . Consultado el 7 de marzo de 2015 .
- de Wit, B .; Smith, J. (1986). Teoría de campo en física de partículas . Biblioteca personal de Holanda Septentrional. 1 . Holanda Septentrional. ISBN 978-0444869999.Apéndice E
- David Hestenes , Real Dirac Theory , en J. Keller y Z. Oziewicz (Eds.), The Theory of the Electron , UNAM, Facultad de Estudios Superiores, Cuautitlán, México (1996), pp. 1-50.
enlaces externos
- Matrices de Dirac en mathworld, incluidas sus propiedades de grupo
- Matrices de Dirac como grupo abstracto en GroupNames
- "Matrices de Dirac" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]