En matemáticas, el teorema de Specht da una condición necesaria y suficiente para que dos matrices sean unitariamente equivalentes . Lleva el nombre de Wilhelm Specht , quien demostró el teorema en 1940. [1]
Se dice que dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria U tal que B = U * AU . [2] Dos matrices que son unitariamente equivalentes también son semejantes . Dos matrices similares representan el mismo mapa lineal , pero con respecto a una base diferente ; la equivalencia unitaria corresponde a un cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal.
Si A y B son unitariamente equivalentes, entonces tr AA * = tr BB *, donde tr denota la traza (en otras palabras, la norma de Frobenius es un invariante unitario). Esto se sigue de la invariancia cíclica de la traza: si B = U * AU , entonces tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA *, donde la segunda igualdad es la invariancia cíclica . [3]
Así, tr AA * = tr BB * es una condición necesaria para la equivalencia unitaria, pero no es suficiente. El teorema de Specht da infinitas condiciones necesarias que juntas también son suficientes. La formulación del teorema utiliza la siguiente definición. Una palabra en dos variables, digamos x e y , es una expresión de la forma
Teorema de Specht: Dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si y sólo si tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras W . [4]
El teorema da un número infinito de identidades de trazas, pero puede reducirse a un subconjunto finito. Sea n el tamaño de las matrices A y B . Para el caso n = 2, las siguientes tres condiciones son suficientes: [5]