En matemáticas , el número Tamagawa de un grupo algebraico semisimple definido sobre un campo global k es la medida de, dónde es el anillo de adele de k . Tamagawa ( 1966 ) introdujo los números de Tamagawa , y Weil ( 1959 ) los nombró en su honor .
La observación de Tsuneo Tamagawa fue que, partiendo de una forma diferencial invariante ω en G , definida sobre k , la medida involucrada estaba bien definida : mientras que ω podría ser reemplazado por cω con c un elemento distinto de cero de, la fórmula del producto para las valoraciones en k se refleja por la independencia de c de la medida del cociente, para la medida del producto construida a partir de ω en cada factor efectivo. El cálculo de números Tamagawa para grupos semisimple contiene partes importantes de la teoría clásica de la forma cuadrática .
Definición
Sea k un campo global, A su anillo de adeles y G un grupo algebraico semisimple definido sobre k .
Elija medidas de Haar en las terminaciones k v de k tales que O v tenga un volumen 1 para todos, excepto para un número finito de lugares v . Estos luego inducen una medida de Haar en A , que además asumimos está normalizada de modo que A / k tiene un volumen 1 con respecto a la medida del cociente inducido.
La medida de Tamagawa en el grupo algebraico adelico G ( A ) ahora se define como sigue. Tomar a la izquierda invariante n -form ω en G ( k ) definida sobre k , donde n es la dimensión de G . Esto, junto con las opciones anteriores de medida de Haar en k v , induce medidas de Haar en G ( k v ) para todos los lugares de v . Como G es semisimple, el producto de estas medidas produce una medida Haar en G ( A ) , llamada medida Tamagawa . La medida de Tamagawa no depende de la elección de ω, ni de la elección de medidas en k v , porque multiplicar ω por un elemento de k * multiplica la medida de Haar en G ( A ) por 1, utilizando la fórmula del producto para las valoraciones. .
El número de Tamagawa τ ( G ) se define como la medida de Tamagawa de G ( A ) / G ( k ) .
La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
La conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa establece que el número de Tamagawa τ ( G ) de un grupo algebraico simple simplemente conectado (es decir, que no tiene una cobertura algebraica adecuada ) definido sobre un campo numérico es 1. Weil ( 1959 ) calculó el número de Tamagawa en muchos casos de grupos clásicos y observó que es un número entero en todos los casos considerados y que era igual a 1 en los casos en que el grupo está simplemente conectado. Ono (1963) encontró ejemplos en los que los números de Tamagawa no son números enteros, pero la conjetura sobre el número de Tamagawa de grupos simplemente conectados fue probada en general por varios trabajos que culminaron en un artículo de Kottwitz ( 1988 ) y para los campos analógicos sobre funciones sobre finitos. Fields por Lurie y Gaitsgory en 2011. [1]
Ver también
Referencias
- "Número de Tamagawa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Kottwitz, Robert E. (1988), "Tamagawa numbers", Ann. de Matemáticas. , 2, Annals of Mathematics, 127 (3): 629–646, doi : 10.2307 / 2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522.
- Ono, Takashi (1963), "On the Tamagawa number of algebraic tori", Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 47-73, doi : 10.2307 / 1970502 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970502 , MR 0156851
- Ono, Takashi (1965), "Sobre la teoría relativa de los números de Tamagawa", Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88-111, doi : 10.2307 / 1970563 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970563 , MR 0177991
- Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simpos. Pure Math., IX , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 113-121, MR 0212025
- Weil, André (1959), Exp. Núm. 186, Adèles et groupes algébriques , Séminaire Bourbaki, 5 , págs. 249–257
- Weil, André (1982) [1961], Adeles y grupos algebraicos , Progreso en matemáticas, 23 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, MR 0670072
- Lurie, Jacob (2014), Números de Tamagawa a través de la dualidad nobeliana de Poincaré
Otras lecturas
- Aravind Asok, Brent Doran y Frances Kirwan, "La teoría de Yang-Mills y los números de Tamagawa: la fascinación de los vínculos inesperados en las matemáticas" , 22 de febrero de 2013
- J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers y Nonabelian Poincaré Duality publicado el 8 de junio de 2012.
- ^ Lurie 2014 .