Distancia del gran círculo

Este artículo trata sobre la distancia más corta en una esfera. Para conocer la distancia más corta en un elipsoide, consulte geodésicas en un elipsoide .

Un diagrama que ilustra la distancia del círculo máximo (dibujado en rojo) entre dos puntos en una esfera, P y Q. También se muestran dos puntos antípodas, u y v.

La distancia del círculo máximo , la distancia ortodrómica o la distancia esférica es la distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera , medida a lo largo de la superficie de la esfera (en oposición a una línea recta a través del interior de la esfera). La distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano es la longitud de una línea recta entre ellos, pero en la esfera no hay líneas rectas. En espacios con curvatura , las líneas rectas son reemplazadas por geodésicas . Las geodésicas en la esfera son círculos en la esfera cuyos centros coinciden con el centro de la esfera, y se denominan grandes círculos..

La determinación de la distancia del círculo máximo es parte del problema más general de la navegación del círculo máximo , que también calcula los acimuts en los puntos finales y en los puntos intermedios.

A través de dos puntos cualesquiera en una esfera que no están directamente opuestos entre sí , existe un gran círculo único. Los dos puntos separan el gran círculo en dos arcos. La longitud del arco más corto es la distancia del círculo máximo entre los puntos. Un gran círculo dotado de tal distancia se llama círculo de Riemann en la geometría de Riemann .

Entre dos puntos que están directamente opuestos entre sí, llamados puntos antípodas , hay infinitos círculos mayores, y todos los arcos de círculos mayores entre puntos antípodas tienen una longitud de la mitad de la circunferencia del círculo, o , donde r es el radio de la esfera. .${\displaystyle \pi r}$

La Tierra es casi esférica , por lo que las fórmulas de distancia de círculo máximo dan la distancia entre puntos en la superficie de la Tierra correcta dentro de aproximadamente 0.5% . ^[1]

Fórmulas

Una ilustración del ángulo central, Δσ, entre dos puntos, P y Q. λ y φ son los ángulos longitudinal y latitudinal de P respectivamente

Sea y sea ​​la longitud geográfica y la latitud en radianes de dos puntos 1 y 2, y sean sus diferencias absolutas; entonces , el ángulo central entre ellos, viene dado por la ley esférica de los cosenos si uno de los polos se usa como tercer punto auxiliar en la esfera: ^[2]${\displaystyle \lambda _{1},\phi _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},\phi _{2}}$${\displaystyle \Delta \lambda ,\Delta \phi }$${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle \Delta \sigma =\arccos {\bigl (}\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda ){\bigr )}.}$

El problema normalmente se expresa en términos de encontrar el ángulo central . Dado este ángulo en radianes, la longitud real del arco d en una esfera de radio r se puede calcular trivialmente como${\displaystyle \Delta \sigma }$

${\displaystyle d=r\,\Delta \sigma .}$

Fórmulas computacionales

En sistemas informáticos con baja precisión de punto flotante , la fórmula de la ley esférica de los cosenos puede tener grandes errores de redondeo si la distancia es pequeña (si los dos puntos están separados por un kilómetro en la superficie de la Tierra, el coseno del ángulo central está cerca 0,99999999). Para los números modernos de coma flotante de 64 bits , la fórmula de la ley esférica de los cosenos, dada anteriormente, no tiene errores de redondeo graves para distancias mayores de unos pocos metros en la superficie de la Tierra. ^[3] La fórmula de Haversine está numéricamente mejor acondicionada para distancias pequeñas: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\operatorname {archav} \left(\operatorname {hav} \left(\Delta \phi \right)+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right)\\[3pt]&=2\arcsin {\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\cos {\phi _{1}}\cos {\phi _{2}}\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)}}.\end{aligned}}}$

Históricamente, el uso de esta fórmula fue simplificado por la disponibilidad de tablas para la función haversine : hav ( θ ) = sen ² ( θ / 2).

Aunque esta fórmula es precisa para la mayoría de las distancias en una esfera, también sufre de errores de redondeo para el caso especial (y algo inusual) de los puntos antípodas (en los extremos opuestos de la esfera). Una fórmula que es precisa para todas las distancias es el siguiente caso especial de la fórmula de Vincenty para un elipsoide con ejes mayores y menores iguales: ^[5]

${\displaystyle \Delta \sigma =\arctan {\frac {\sqrt {\left(\cos \phi _{2}\sin(\Delta \lambda )\right)^{2}+\left(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )\right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )}}.}$

Versión vectorial

Otra representación de fórmulas similares, pero usando vectores normales en lugar de latitud y longitud para describir las posiciones, se encuentra mediante álgebra de vectores 3D , usando el producto escalar , producto cruzado o una combinación: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \sigma &=\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)\\&=\arcsin \left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{aligned}}}$

donde y son las normales al elipsoide en las dos posiciones 1 y 2. De manera similar a las ecuaciones anteriores basadas en latitud y longitud, la expresión basada en arctan es la única que está bien condicionada para todos los ángulos . La expresión basada en arctan requiere la magnitud del producto cruzado sobre el producto escalar.${\displaystyle \mathbf {n} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{2}}$

De la longitud de la cuerda

Una línea a través del espacio tridimensional entre puntos de interés en una Tierra esférica es la cuerda del gran círculo entre los puntos. El ángulo central entre los dos puntos se puede determinar a partir de la longitud de la cuerda. La distancia del gran círculo es proporcional al ángulo central.

La longitud de la cuerda del círculo máximo`` se puede calcular de la siguiente manera para la esfera unitaria correspondiente, mediante la resta cartesiana :${\displaystyle C_{h}\,\!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {X}&=\cos \phi _{2}\cos \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _{1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\C&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\end{aligned}}}$

El ángulo central es:

${\displaystyle \Delta \sigma =2\arcsin {\frac {C}{2}}.}$

Radio para Tierra esférica

Radios terrestres ecuatoriales ( a ), polares ( b ) y medios según se definen en la revisión del Sistema Geodésico Mundial de 1984 . ( No a escala ).

Artículo principal: radio de la Tierra

La forma de la Tierra se parece mucho a una esfera aplanada (un esferoide ) con un radio ecuatorial de 6378,137 km; La distancia desde el centro del esferoide a cada polo es 6356,7523142 km. Al calcular la longitud de una línea corta de norte a sur en el ecuador, el círculo que mejor se aproxima a esa línea tiene un radio de (que es igual al recto semilato del meridiano ), o 6335,439 km, mientras que el esferoide en los polos se aproxima mejor. por una esfera de radio${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\textstyle {\frac {b^{2}}{a}}}$${\textstyle {\frac {a^{2}}{b}}}$, o 6399.594 km, una diferencia del 1%. Siempre que se asuma una Tierra esférica, cualquier fórmula única para la distancia en la Tierra solo se garantiza correcta dentro del 0.5% (aunque es posible una mejor precisión si la fórmula solo se aplica a un área limitada). Usando el radio medio terrestre , (para el elipsoide WGS84 ) significa que en el límite de pequeño aplanamiento, el error relativo medio cuadrático en las estimaciones de distancia se minimiza. ^[7]${\textstyle R_{1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\approx 6371.009{\text{ km}}}$

Ver también

• Navegación aérea
• Distancia angular
• Isoazimutal
• Ángulo central
• Circunnavegación
• Planificación de vuelos
• Geodesia
• Geodésicas en un elipsoide
• Sistema geodésico
• Distancia geográfica
• Navegación de gran círculo
• Fórmula de Haversine
• Arco meridiano
• Línea de rumbo
• Tierra esférica
• Geometría esférica
• Trigonometría esférica

Referencias y notas

1. Manual de navegación del Almirantazgo, volumen 1 , The Stationery Office, 1987, p. 10, ISBN 9780117728806, Los errores introducidos al asumir una Tierra esférica basada en la milla náutica internacional no son más del 0,5% para la latitud, 0,2% para la longitud.
2. Kells, Lyman M .; Kern, Willis F .; Soso, James R. (1940). Trigonometría plana y esférica . McGraw Hill Book Company, Inc. pp.  323 -326 . Consultado el 13 de julio de 2018 .
3. "Calcular distancia, rumbo y más entre puntos de latitud / longitud" . Consultado el 10 de agosto de 2013 .
4. Sinnott, Roger W. (agosto de 1984). "Virtudes del Haversine". Cielo y telescopio . 68 (2): 159.
5. Vincenty, Thaddeus (1 de abril de 1975). "Soluciones directas e inversas de geodésicas en el elipsoide con aplicación de ecuaciones anidadas" (PDF) . Revisión de la encuesta . Kingston Road, Tolworth, Surrey: Dirección de encuestas en el extranjero . 23 (176): 88–93. doi : 10.1179 / sre.1975.23.176.88 . Consultado el 21 de julio de 2008 .
6. Gade, Kenneth (2010). "Una representación de posición horizontal no singular" (PDF) . El diario de navegación . Prensa de la Universidad de Cambridge. 63 (3): 395–417. doi : 10.1017 / S0373463309990415 .
7. McCaw, GT (1932). "Largas filas en la Tierra". Revisión de la encuesta Empire . 1 (6): 259–263. doi : 10.1179 / sre.1932.1.6.259 .

enlaces externos

• GreatCircle en MathWorld