En topología , una rama de las matemáticas , un colector prime es un n - múltiple que no puede ser expresado como un no-trivial suma conexa de dos n -manifolds. No trivial significa que ninguno de los dos es una n- esfera . Una noción similar es la de un n- múltiple irreducible , que es uno en el que cualquier ( n - 1) -esfera incrustada limita una n - bola incrustada . Implícito en esta definición está el uso de una categoría adecuada , como la categoría de variedades diferenciableso la categoría de variedades lineales por partes .
Las nociones de irreductibilidad en álgebra y teoría de variedades están relacionadas. Una variedad irreductible es prima, aunque lo contrario no se cumple. Desde la perspectiva de un algebrista, las variedades primarias deberían llamarse "irreductibles"; sin embargo, el topólogo (en particular el topólogo de tres variedades) encuentra más útil la definición anterior. Los únicos compactos , conectados 3-variedades que son primos, pero no irreducible son el trivial 2-esfera haz sobre el círculo S 1 y el trenzado paquete 2-esfera sobre S 1 .
De acuerdo con un teorema de Hellmuth Kneser y John Milnor , cada colector 3 compacto y orientable es la suma conectada de una colección única ( hasta el homeomorfismo ) de 3 colectores primos.
Definiciones
Considere específicamente 3 colectores .
Colector irreducible
Un 3-múltiple es irreductible si cualquier esfera lisa delimita una bola. Más rigurosamente, un colector de 3 conexiones diferenciable es irreductible si cada subvariedad diferenciable homeomorfo a una esfera delimita un subconjunto (es decir, ) que es homeomorfo a la bola cerrada
El supuesto de diferenciabilidad de no es importante, porque cada 3-múltiple topológico tiene una estructura diferenciable única. Sin embargo, la suposición de que la esfera es lisa (es decir, que es una subvariedad diferenciable) es importante: de hecho, la esfera debe tener una vecindad tubular .
Un 3-múltiple que no es irreducible se llama reducible .
Colectores de cebado
Un colector de 3 conectados es primo si no se puede expresar como una suma conectada de dos variedades ninguna de las cuales es la 3-esfera (o, de manera equivalente, ninguno de los cuales es homeomorfo para ).
Ejemplos de
Espacio euclidiano
Espacio euclidiano tridimensional es irreductible: todas las 2 esferas lisas en él ataban bolas.
Por otro lado, la esfera con cuernos de Alejandro es una esfera no lisa enque no ata una pelota. Por tanto, es necesaria la estipulación de que la esfera sea lisa.
Esfera, espacios para lentes
La 3-esfera es irreductible. El espacio del producto no es irreductible, ya que cualquier 2-esfera (dónde es algún punto de ) tiene un complemento conectado que no es una bola (es el producto de la 2-esfera y una línea).
Un espacio para lentes con (y por lo tanto no es lo mismo que ) es irreductible.
Colectores de cebado y colectores irreductibles
Un colector de 3 es irreducible si y solo si es primario, excepto en dos casos: el producto y el haz de fibras no orientable de la 2-esfera sobre el círculo son ambos primos pero no irreductibles.
De irreductible a primo
Una variedad irreducible es primordial. De hecho, si expresamos como una suma conectada
luego se obtiene quitando una bola de cada y de , y luego pegar las dos esferas resultantes juntas. Estas dos (ahora unidas) 2-esferas forman una 2-esfera en. El hecho de quees irreducible significa que esta 2-esfera debe atar una bola. Deshaciendo la operación de encolado, ya sea o se obtiene pegando esa bola a la bola previamente removida en sus bordes. Sin embargo, esta operación simplemente da una esfera 3. Esto significa que uno de los dos factores o era de hecho una (trivial) 3-esfera, y es por tanto primo.
De primordial a irreductible
Dejar ser un 3-múltiple principal, y dejar ser una 2-esfera incrustada en él. Cortando uno puede obtener solo una variedad o tal vez solo se pueden obtener dos variedades y . En el último caso, pegar bolas en los límites esféricos recién creados de estos dos colectores da dos colectores y tal que
Desde es primo, uno de estos dos, digamos , es . Esto significa es menos una pelota, y por lo tanto es una pelota en sí misma. La esfera es, por tanto, el borde de una bola, y dado que estamos viendo el caso en el que sólo existe esta posibilidad (dos variedades creadas) la variedad es irreductible.
Queda por considerar el caso en el que es posible cortar a lo largo de y obtén solo una pieza, . En ese caso existe una curva simple cerrada en intersección en un solo punto. Dejarser la unión de los dos barrios tubulares de y . El límite resulta ser una esfera de 2 que corta en dos pedazos, y el complemento de . Desde es primo y no es una bola, el complemento debe ser una bola. El colector que resulta de este hecho está casi determinado, y un análisis cuidadoso muestra que es o bien el otro haz de fibras , no orientable, de encima .
Referencias
- William Jaco . Conferencias sobre topología de 3 colectores . ISBN 0-8218-1693-4.
Ver también
- 3 colectores
- Suma conectada
- Descomposición principal (3 distribuidores)