En geometría , el círculo del triángulo medial de un triángulo es el círculo de Spieker , que lleva el nombre del geómetra alemán del siglo XIX Theodor Spieker . [1] Su centro, el centro de Spieker , además de ser el incentro del triángulo medial, es el centro de masa del límite de densidad uniforme del triángulo. [1] El centro de Spieker es también el punto donde las tres cuchillas del triángulo (bisectrices perimetrales con un punto final en el punto medio de un lado) se cruzan entre sí. [1]
Historia
El círculo de Spieker y el centro de Spieker llevan el nombre de Theodor Spieker , un matemático y profesor de Potsdam, Alemania. [ cita requerida ] En 1862, publicó Lehrbuch der ebenen geometrie mit übungsaufgaben für höhere lehranstalten , que trata de la geometría plana. [ cita requerida ] Debido a esta publicación, influyente en las vidas de muchos científicos y matemáticos famosos, incluido Albert Einstein , Spieker se convirtió en el matemático que dio nombre al círculo y centro de Spieker. [1]
Construcción
Para encontrar el círculo de Spieker de un triángulo, primero se debe construir el triángulo medial a partir de los puntos medios de cada lado del triángulo original. [1] El círculo se construye luego de tal manera que cada lado del triángulo medial sea tangente al círculo dentro del triángulo medial, creando el círculo . [1] Este centro circular se llama centro Spieker.
Puntos y líneas de Nagel
Los círculos de Spieker también tienen relaciones con los puntos Nagel . El incentro del triángulo y el punto Nagel forman una línea dentro del círculo de Spieker. El medio de este segmento de línea es el centro Spieker. [1] La línea de Nagel está formada por el incentro del triángulo, el punto de Nagel y el centroide del triángulo. [1] El centro Spieker siempre estará en esta línea. [1]
Círculo de nueve puntos y línea de Euler
Se descubrió por primera vez que los círculos de Spieker eran muy similares a los círculos de nueve puntos de Julian Coolidge. En este momento, aún no se identificó como el círculo de Spieker, pero se lo conoce como el "círculo P" en todo el libro. [2] El círculo de nueve puntos con la línea de Euler y el círculo de Spieker con la línea de Nagel son análogos entre sí, pero no son duales , solo tienen similitudes de tipo dual. [1] Una similitud entre el círculo de nueve puntos y el círculo de Spieker tiene que ver con su construcción. El círculo de nueve puntos es el círculo circunscrito del triángulo medial, mientras que el círculo de Spieker es el círculo inscrito del triángulo medial. [2] Con relación a sus líneas asociadas, el incentro de la línea de Nagel se relaciona con el circuncentro de la línea de Euler. [1] Otro punto análogo es el punto Nagel y el othocentro , con el punto Nagel asociado con el círculo de Spieker y el ortocentro asociado con el círculo de nueve puntos. [1] Cada círculo se encuentra con los lados del triángulo medial donde las líneas desde el ortocentro, o el punto Nagel, hasta los vértices del triángulo original se encuentran con los lados del triángulo medial. [2]
Spieker cónica
El círculo de nueve puntos con la línea de Euler se generalizó en la cónica de nueve puntos. [1] A través de un proceso similar, debido a las propiedades análogas de los dos círculos, el círculo de Spieker también pudo generalizarse en la cónica de Spieker. [1] La cónica de Spieker todavía se encuentra dentro del triángulo medial y toca cada lado del triángulo medial, sin embargo, no se encuentra con esos lados del triángulo en los mismos puntos. Si se construyen líneas desde cada vértice del triángulo medial hasta el punto Nagel, entonces se puede encontrar el punto medio de cada una de esas líneas. [3] Además, los puntos medios de cada lado del triángulo medial se encuentran y se conectan al punto medio de la línea opuesta a través del punto Nagel. [3] Cada una de estas líneas comparte un punto medio común, S. [3] Con cada una de estas líneas reflejadas a través de S, el resultado es 6 puntos dentro del triángulo medial. Dibuje una cónica a través de 5 de estos puntos reflejados y la cónica tocará el punto final. [1] Esto fue probado por De Villiers en 2006. [1]
Círculo radical de Spieker
El círculo radical de Spieker es el círculo, centrado en el centro de Spieker, que es ortogonal a los tres excirculos del triángulo medial. [4] [5]
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i j k l m n o p de Villiers, Michael (junio de 2006). "Una generalización del círculo de Spieker y la línea Nagel". Pitágoras . 63 : 30–37.
- ^ a b c Coolidge, Julian L. (1916). Un tratado sobre el círculo y la esfera . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 53–57.
- ^ a b c de Villiers, M. (2007). "Spieker Conic y generalización de la línea Nagle" . Aprendizaje dinámico de matemáticas .
- ^ Weisstein, Eric W. "Excircles Radical Circle" . MathWorld: un recurso web de Wolfram .
- ^ Weisstein, Eric W. "Círculo radical" . MathWorld: un recurso web de Wolfram .
- Johnson, Roger A. (1929). Geometría moderna . Boston: Houghton Mifflin. Reimpresión de Dover, 1960.
- Kimberling, Clark (1998). "Centros de triángulos y triángulos centrales". Congressus Numerantium . 129 : i – xxv, 1–295.
enlaces externos
- Spieker Conic y generalización de la línea Nagel en los bocetos de geometría dinámica Generaliza el círculo Spieker y la línea Nagel asociada.