Espinor

En geometría y física, los espinores / s p ɪ n ər / son elementos de un espacio vectorial complejo que se puede asociar con el espacio euclidiano . [b] Al igual que los vectores geométricos y los tensores más generales , los espinores se transforman linealmente cuando el espacio euclidiano se somete a una rotación leve ( infinitesimal ). [c] Sin embargo, cuando se compone una secuencia de rotaciones tan pequeñas ( integradas) para formar una rotación final general, la transformación del espinor resultante depende de qué secuencia de pequeñas rotaciones se utilizó. A diferencia de los vectores y los tensores, un espinor se transforma en su negativo cuando el espacio gira continuamente en un giro completo de 0° a 360° (ver imagen). Esta propiedad caracteriza a los espinores: los espinores pueden verse como las "raíces cuadradas" de los vectores (aunque esto es inexacto y puede ser engañoso; es mejor verlos como "raíces cuadradas" de secciones de paquetes vectoriales , en el caso del paquete de álgebra exterior del paquete cotangente, se convierten así en "raíces cuadradas" de formas diferenciales).

También es posible asociar una noción sustancialmente similar de espinor al espacio de Minkowski , en cuyo caso las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial desempeñan el papel de rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913. [1] [d] En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el momento angular intrínseco , o "espín", del electrón y otras partículas subatómicas. [mi]

Los espinores se caracterizan por la forma específica en que se comportan bajo rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino también de los detalles de cómo se logró esa rotación (mediante una ruta continua en el grupo de rotación ). Hay dos clases distinguibles topológicamente ( clases de homotopía ) de caminos a través de rotaciones que dan como resultado la misma rotación general, como se ilustra en el rompecabezas del truco del cinturón . Estas dos clases no equivalentes producen transformaciones de espinor de signo opuesto. El grupo de giro es el grupo de todas las rotaciones que realizan un seguimiento de la clase. [F]Cubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos maneras no equivalentes como el punto final de un camino. El espacio de espinores por definición está equipado con una representación lineal (compleja) del grupo de espín, lo que significa que los elementos del grupo de espín actúan como transformaciones lineales en el espacio de espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía. [g] En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO(3).

Un espinor visualizado como un vector que apunta a lo largo de la banda de Möbius , que exhibe una inversión de signo cuando el círculo (el "sistema físico") gira continuamente en un giro completo de 360 ​​°. [un]
Una rotación gradual se puede visualizar como una cinta en el espacio. [l] Aquí se ilustran dos rotaciones graduales con diferentes clases, una de 360° y otra de 720°, en el rompecabezas del truco del cinturón . Una solución del rompecabezas es una manipulación continua del cinturón, fijando los puntos finales, que lo desenrosca. Esto es imposible con la rotación de 360°, pero posible con la rotación de 720°. Una solución, que se muestra en la segunda animación, proporciona una homotopía explícita en el grupo de rotación entre la rotación de 720° y la rotación de identidad de 0°.
Un objeto atado a cinturones o cuerdas puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de que el cubo completa una rotación de 360°, la espiral se invierte desde su configuración inicial. Las correas vuelven a su configuración original después de girar 720°.
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Un ejemplo más extremo que demuestra que esto funciona con cualquier número de cadenas. En el límite, una pieza de espacio continuo sólido puede girar en su lugar sin rasgarse o intersecarse a sí misma.
La representación de espín Δ es un espacio vectorial equipado con una representación del grupo de espín que no se factoriza a través de una representación del grupo ortogonal (especial). Las flechas verticales representan una secuencia exacta corta .