En matemáticas , un Möbius tira , banda o bucle ( Estados Unidos : / m oʊ b i ə s , m eɪ - / MOH -bee-əs, MAYO - , UK : / m ɜː b i ə s / ; [ 1] Alemán: [ˈmøːbi̯ʊs] ), también escrito Mobius o Moebius , es una superficiecon un solo lado (cuando está incrustado en un espacio euclidiano tridimensional ) y solo una curva límite . La banda de Möbius es la superficie no orientable más simple . Se puede realizar como una superficie reglada . Su descubrimiento se atribuye de forma independiente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, [2] [3] [4] [5] aunque se pueden ver estructuras similares en mosaicos romanos c. 200-250 d. C. [6] [7] Möbius publicó sus resultados en sus artículos "Theorie der elementaren Verwandtschaft" (1863) y "Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders" (1865). [8]
Se puede crear un ejemplo de una tira de Möbius tomando una tira de papel y dando un medio giro a un extremo, luego uniendo los extremos para formar un bucle; su límite es una simple curva cerrada que se puede trazar con una sola cuerda sin nudos . Cualquier espacio topológico homeomórfico para este ejemplo también se denomina banda de Möbius, lo que permite una gran variedad de realizaciones geométricas como superficies con un tamaño y forma definidos . Por ejemplo, cualquier rectángulo se puede pegar desde el borde izquierdo al derecho con una orientación inversa. Algunas, pero no todas, pueden modelarse sin problemas como superficies en el espacio euclidiano . Una superficie estrechamente relacionada, pero no homeomórfica, es la banda abierta completa de Möbius , una superficie sin límites en la que el ancho de la banda se extiende infinitamente para convertirse en una línea euclidiana.
Un medio giro en el sentido de las agujas del reloj proporciona una incrustación de la tira de Möbius que no se puede mover ni estirar para dar el medio giro en el sentido contrario a las agujas del reloj; así, una tira de Möbius incrustada en el espacio euclidiano es un objeto quiral con destreza para diestros o zurdos. La tira de Möbius también se puede incrustar girando la tira cualquier número impar de veces, o anudando y torciendo la tira antes de unir sus extremos.
Encontrar ecuaciones algebraicas recortando una tira de Möbius es sencillo, pero estas ecuaciones no describen la misma forma geométrica que el modelo de papel retorcido anterior. Dichos modelos de papel son superficies desarrollables que tienen una curvatura gaussiana cero y pueden describirse mediante ecuaciones algebraicas diferenciales . [9]
La característica de Euler de la banda de Möbius es cero .
Propiedades
La tira de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Una línea dibujada a lo largo del borde viaja en un círculo completo hasta un punto opuesto al punto de partida. Si continúa, la línea vuelve al punto de partida y tiene el doble de la longitud de la franja original: esta única curva continua atraviesa todo el límite.
Cortar una tira de Möbius a lo largo de la línea central con un par de tijeras produce una tira larga con dos giros completos en ella, en lugar de dos tiras separadas; el resultado no es una tira de Möbius, sino un homeomorfo a un cilindro. Esto sucede porque la tira original solo tiene un borde, el doble de largo que la tira original. Cortar crea un segundo borde independiente de la misma longitud, la mitad a cada lado de las tijeras. Cortar esta nueva tira más larga por la mitad crea dos tiras enrolladas una alrededor de la otra, cada una con dos giros completos.
Si la tira se corta a lo largo de aproximadamente un tercio desde el borde, se crean dos tiras enlazadas. El tercio central es una tira de Möbius más delgada, de la misma longitud que la tira original. La otra es una tira delgada con dos giros completos, una vecindad del borde de la tira original, con el doble de longitud que la tira original. [2]
Pueden obtenerse otras tiras análogas uniendo de manera similar tiras con dos o más medias vueltas en ellas en lugar de una. Por ejemplo, una tira con tres medias vueltas, cuando se divide a lo largo, se convierte en una tira retorcida atada en un nudo de trébol ; si este nudo se deshace, se encuentra que contiene ocho medias vueltas. Una tira con N medias vueltas, cuando se divide en dos, se convierte en una tira con N + 1 vueltas completas. [2] Darle giros adicionales y volver a conectar los extremos produce figuras llamadas Anillos Paradrómicos.
Geometría y topología
Una forma de representar la tira de Möbius incrustada en el espacio euclidiano tridimensional es mediante la parametrización:
En coordenadas polares cilíndricas , una versión ilimitada de la tira de Möbius se puede representar mediante la ecuación:
Integración isométrica más amplia en 3 espacios
Si una tira de Möbius lisa en tres espacios es rectangular, es decir, creada a partir de la identificación de dos lados opuestos de un rectángulo geométrico doblando pero sin estirar la superficie, entonces se sabe que tal incrustación es posible si la relación de aspecto del el rectángulo es mayor que , con los lados más cortos identificados. (Para una relación de aspecto más pequeña, no se sabe si es posible una incrustación suave). A medida que la relación de aspecto disminuye hacia, cualquier incrustación de este tipo parece acercarse a una forma que puede considerarse como una tira de tres triángulos equiláteros, doblados uno encima del otro para ocupar un triángulo equilátero.
Si la tira de Möbius en tres espacios es solo una vez continuamente diferenciable (clase ), sin embargo, el teorema de Nash-Kuiper muestra que no existe límite inferior.
Un método para hacer una tira de Möbius a partir de una tira rectangular demasiado ancha para simplemente girar y unir (por ejemplo, un rectángulo de solo una unidad de largo y una unidad de ancho) es primero doblar la dirección ancha hacia adelante y hacia atrás usando un número par de pliegues, una "pliegue en acordeón": de modo que la tira doblada se vuelve lo suficientemente estrecha como para poder torcerla y unirla, de la misma manera que se puede unir una sola tira lo suficientemente larga. [10] Con dos pliegues, por ejemplo, un la tira se convertiría en un tira doblada cuya sección transversal tiene la forma de una 'N' y seguiría siendo una 'N' después de una media torsión. Esta tira doblada, tres veces más larga que ancha, sería lo suficientemente larga para luego unirse en los extremos. Este método funciona en principio, pero se vuelve impráctico después de muchos pliegues, si se usa papel. Usando papel normal, esta construcción se puede doblar plana , con todas las capas del papel en un solo plano, pero matemáticamente, no está claro si esto es posible sin estirar la superficie del rectángulo. [11]
Topología
Topológicamente , la tira de Möbius se puede definir como el cuadrado con sus lados superior e inferior identificados por la relación por , como en el diagrama.
Una presentación menos utilizada de la tira de Möbius es como el cociente topológico de un toro. [12] Un toro se puede construir como el cuadrado con los bordes identificados como (pegar de izquierda a derecha) y (pegar de abajo hacia arriba). Si uno entonces también identificó, luego se obtiene la tira de Möbius. La diagonal del cuadrado (los puntosdonde ambas coordenadas coinciden) se convierte en el límite de la banda de Möbius y lleva una estructura orbifold, que corresponde geométricamente a la "reflexión": las geodésicas (líneas rectas) en la banda de Möbius se reflejan en el borde de regreso a la banda. Notablemente, esto está escrito como- el 2-toro coorientado por la acción de grupo del grupo simétrico en dos letras (coordenadas de conmutación), y se puede pensar como el espacio de configuración de dos puntos desordenados en el círculo, posiblemente el mismo (el borde corresponde a los puntos siendo el mismo), con el toro correspondiente a dos puntos ordenados en el círculo.
La tira de Möbius es un colector compacto bidimensional (es decir, una superficie ) con límite. Es un ejemplo estándar de una superficie que no es orientable . De hecho, la banda de Möbius es el epítome del fenómeno topológico de no orientabilidad . Esto se debe a que las formas bidimensionales (superficies) son las formas de menor dimensión para las que la no orientabilidad es posible y la tira de Möbius es la única superficie que es topológicamente un subespacio de cada superficie no orientable. Como resultado, cualquier superficie es no orientable si y solo si contiene una banda de Möbius como subespacio.
La tira de Möbius también es un ejemplo estándar utilizado para ilustrar el concepto matemático de un haz de fibras . Específicamente, es un paquete no trivial sobre el círculo.con su fibra igual al intervalo unitario ,. Mirar solo el borde de la tira de Möbius da un no trivial de dos puntos (o) agrupar .
Gráficos de computadora
Una construcción simple de la tira de Möbius que se puede usar para representarla en gráficos por computadora o paquetes de modelado es:
- Toma una tira rectangular. Gírelo alrededor de un punto fijo que no esté en su plano. En cada paso, también rote la tira a lo largo de una línea en su plano (la línea que divide la tira en dos) y perpendicular al radio orbital principal. La superficie generada en una revolución completa es la banda de Möbius.
- Tome una tira de Möbius y córtela por el medio de la tira. Esto forma una nueva franja, que es un rectángulo unido al girar un extremo una vuelta completa. Al cortarlo por la mitad nuevamente, se forman dos franjas entrelazadas de giro completo.
Geometría de la banda abierta de Möbius
La banda de Möbius abierta se forma eliminando el límite de la banda de Möbius estándar. Está construido a partir del conjunto identificando (pegando) los puntos y para todos .
Puede construirse como una superficie de curvatura constante positiva, negativa o cero (gaussiana) . En los casos de curvatura negativa y cero, la banda de Möbius se puede construir como una superficie (geodésicamente) completa, lo que significa que todas las geodésicas ("líneas rectas" en la superficie) pueden extenderse indefinidamente en cualquier dirección.
Curvatura negativa constante:
Como el plano y el cilindro abierto, la banda de Möbius abierta admite no solo una métrica completa de curvatura constante 0, sino también una métrica completa de curvatura negativa constante. Una forma de ver esto es comenzar con el modelo del semiplano superior (Poincaré) del plano hiperbólico , una geometría de curvatura constante cuyas líneas están representadas en el modelo por semicírculos que se encuentran con el-eje en ángulo recto. Tome el subconjunto del semiplano superior entre dos semicírculos anidados e identifique el semicírculo exterior con la inversión de izquierda a derecha del semicírculo interior. El resultado es topológicamente una banda de Möbius completa y no compacta con una curvatura negativa constante.
Curvatura cero (constante):
Esto también se puede construir como una superficie completa, comenzando con una parte del plano. definido por e identificando con para todos . La métrica resultante convierte la banda de Möbius abierta en una superficie plana completa (geodésicamente) (es decir, con una curvatura gaussiana igual a 0 en todas partes). Esta es la única métrica en la banda de Möbius, hasta una escala uniforme, que es plana y completa.
Curvatura positiva constante:
Una banda de Möbius de curvatura positiva constante no puede ser completa, ya que se sabe que las únicas superficies completas de curvatura positiva constante son la esfera y el plano proyectivo . El plano proyectivo de curvatura constante +1 se puede construir como el cociente de la esfera unitaria en por el mapa de las antípodas definido por . La banda abierta de Möbius es homeomorfa al plano proyectivo que alguna vez fue perforado, es decir,con cualquier punto eliminado. Esto puede considerarse como lo más cercano que una banda de Möbius de curvatura positiva constante puede llegar a ser una superficie completa: a solo un punto de distancia.
El espacio de las líneas no orientadas en el plano es difeomórfico a la banda abierta de Möbius. [13] Para ver por qué, vamos denotar la línea que pasa por el origen en un ángulo a lo positivo -eje. Para cada esta la familia de todas las rectas en el plano que son perpendiculares a . Topológicamente, la familia es solo una línea (porque cada línea en se cruza con la línea en un solo punto). De esta manera, como aumenta en el rango , la línea representa el valor de una línea de distintas líneas en el plano. Pero cuando alcanza , es idéntico a , y asi las familias y de líneas perpendiculares también son familias idénticas. La línea, sin embargo, ha vuelto a sí mismo como apuntado en la dirección opuesta . Cada línea en el plano corresponde exactamente a una línea en alguna familia, por exactamente uno , por , y es idéntico a pero regresa apuntando en la dirección opuesta. Esto asegura que el espacio de todas las líneas en el plano - la unión de todos los por - es una banda abierta de Möbius.
El grupo de transformaciones lineales biyectivas del avión a sí mismo (real matrices con determinante distinto de cero) induce naturalmente biyecciones del espacio de líneas en el plano a sí mismo, que forman un grupo de auto-homeomorfismos del espacio de líneas. Por tanto, el mismo grupo forma un grupo de auto-homeomorfismos de la banda de Möbius descrita en el párrafo anterior. Pero no existe una métrica sobre el espacio de las líneas en el plano que sea invariante bajo la acción de este grupo de homeomorfismos. En este sentido, el espacio de líneas en el plano no tiene métrica natural. Esto significa que la banda de Möbius posee un grupo de Lie de 4 dimensiones naturales de auto-homeomorfismos, dado por, pero este alto grado de simetría no puede exhibirse como el grupo de isometrías de ninguna métrica.
Banda de Moebius con borde redondo
El borde, o límite , de una tira de Möbius es homeomórfico (topológicamente equivalente) a un círculo . Bajo las incrustaciones habituales de la tira en el espacio euclidiano, como arriba, el límite no es un círculo verdadero. Sin embargo, es posible incrustar una tira de Möbius en tres dimensiones para que el límite sea un círculo perfecto en algún plano. Por ejemplo, véanse las figuras 307, 308 y 309 de "La geometría y la imaginación". [14]
Una incrustación mucho más geométrica comienza con una botella de Klein mínima sumergida en las 3 esferas, como lo descubrió Blaine Lawson. Luego tomamos la mitad de esta botella de Klein para obtener una banda de Möbius incrustada en la 3-esfera (la esfera unitaria en el 4-espacio). El resultado a veces se denomina "Banda de Moebius de Sudán", [15] donde "sudanés" se refiere no al país Sudán sino a los nombres de dos topólogos, Sue Goodman y Daniel Asimov. La aplicación de la proyección estereográfica a la banda sudanesa la coloca en un espacio tridimensional, como se puede ver a continuación; aquí se puede encontrar una versión debida a George Francis .
De la botella de Klein mínima de Lawson obtenemos una incrustación de la banda en las 3 esferas S 3 , considerada como un subconjunto de C 2 , que es geométricamente igual que R 4 . Asignamos los ángulos η , φ a números complejos z 1 , z 2 a través de
Aquí el parámetro η va de 0 a π y φ va de 0 a 2 π . Desde | z 1 | 2 + | z 2 | 2 = 1 , la superficie empotrada se encuentra completamente en S 3 . El límite de la franja viene dado por | z 2 | = 1 (correspondiente a η = 0, π ), que es claramente un círculo en la 3-esfera.
Para obtener una incrustación de la tira de Möbius en R 3, se mapea S 3 a R 3 mediante una proyección estereográfica . El punto de proyección puede ser cualquier punto de S 3 que no se encuentre en la tira de Möbius incrustada (esto descarta todos los puntos de proyección habituales). Una posible elección es. Las proyecciones estereográficas asignan círculos a círculos y conservan el límite circular de la franja. El resultado es una incrustación suave de la tira de Möbius en R 3 con un borde circular y sin intersecciones.
La banda de Möbius sudanés en las tres esferas S 3 es geométricamente un haz de fibras sobre un gran círculo, cuyas fibras son grandes semicírculos. La imagen más simétrica de una proyección estereográfica de esta banda en R 3 se obtiene utilizando un punto de proyección que se encuentra en ese gran círculo que pasa por el punto medio de cada uno de los semicírculos. Cada elección de tal punto de proyección da como resultado una imagen que es congruente con cualquier otra. Pero debido a que dicho punto de proyección se encuentra en la propia banda de Möbius, dos aspectos de la imagen son significativamente diferentes del caso (ilustrado arriba) donde el punto no está en la banda: 1) la imagen en R 3 no es la banda de Möbius completa , sino más bien la banda con un punto eliminado (de su línea central); y 2) la imagen no tiene límites y, a medida que se aleja cada vez más del origen de R 3 , se aproxima cada vez más a un plano. Sin embargo, esta versión de la imagen estereográfica tiene un grupo de 4 simetrías en R 3 (es isomórfica al grupo 4 de Klein ), en comparación con la versión limitada ilustrada anteriormente que tiene su grupo de simetrías el grupo único de orden 2. (Si Se permiten todas las simetrías y no solo las isometrías que preservan la orientación de R 3 , el número de simetrías en cada caso se duplica).
Pero la versión geométricamente más simétrica de todas es la banda de Möbius sudanés original en las tres esferas S 3 , donde su grupo completo de simetrías es isomorfo al grupo de Lie O (2). Al tener una cardinalidad infinita (la del continuo ), es mucho más grande que el grupo de simetría de cualquier posible incrustación de la banda de Möbius en R 3 .
Geometría proyectiva
Usando geometría proyectiva , una banda de Möbius abierta se puede describir como el conjunto de soluciones de una ecuación polinomial. Agregar una desigualdad polinomial da como resultado una banda de Möbius cerrada. Estos relacionan las bandas de Möbius con la geometría de los haces de líneas y la operación de inflar en geometría algebraica .
La verdadera línea proyectiva es el set escala de módulo. Es decir, un punto en es una clase de equivalencia de la forma
Cada clase de equivalencia con tiene un representante único cuya segunda coordenada es 1, a saber . Estos puntos forman una copia de la línea euclidiana.. Sin embargo, la clase de equivalencia deno tiene tal representante. Este punto extra se comporta como un infinito sin signo, haciendo topológicamente igual que el círculo . La ventaja desobre el círculo es que algunos objetos geométricos tienen ecuaciones más simples en términos de A y B . Este es el caso de la banda de Möbius.
La realización de una banda de Möbius abierta viene dada por el conjunto
Si borramos la linea de M (o de hecho cualquier línea), entonces el subconjunto resultante se puede incrustar en el espacio euclidiano. Eliminar esta línea da al conjunto
donde m corresponde a.
Hay una realización de la banda cerrada de Möbius como un conjunto similar, pero con una desigualdad adicional para crear un límite:
El límite de N es el conjunto de todos los puntos con. La geometría de N es muy similar a la de M , por lo que nos centraremos en M en lo que sigue.
La geometría de M se puede describir en términos de líneas que atraviesan el origen. Cada línea a través del origen en es el conjunto de soluciones de una ecuación . El conjunto de soluciones no cambia cuando se cambia la escala, por lo que la línea solo depende de la clase de equivalencia . Es decir, las líneas que pasan por el origen están parametrizadas por. Además, cada punto en , excepto por , se encuentra en una línea única a través del origen, específicamente, la línea definida por . El punto, sin embargo, se encuentra en cada línea que pasa por el origen. Para este punto, la ecuación degenera a . Esto siempre es cierto, por lo que cadaes una solucion. En consecuencia, el conjunto M puede describirse como la unión disjunta del conjunto de líneas a través del origen. Es lo mismo que la unión de las líneas a través del origen, excepto que contiene una copia del origen para cada línea. Estas copias adicionales del origen son una copia dey constituyen el círculo central de la banda de Möbius. Las propias líneas describen el gobierno de la banda de Möbius. Este punto de vista sobre M lo exhibe tanto como el espacio total del haz de líneas tautológicas en así como la explosión del origen en.
Para ver el medio giro en M , comience con el punto en . Esto corresponde a un único punto de M , a saber. Dibuja el semicírculo en sentido antihorario para producir un camino en M dado por. El camino se detiene en, donde da el punto . A excepción de P y Q , cada punto del camino se encuentra en una línea diferente a través del origen. Por lo tantoviaja una vez alrededor del círculo central de M . Sin embargo, aunque P y Q se encuentran en la misma línea de la regla, están en lados opuestos del origen. Este cambio de signo es la manifestación algebraica del medio giro.
Objetos relacionados
Un objeto geométrico "extraño" estrechamente relacionado es la botella de Klein . En teoría, una botella de Klein podría producirse pegando dos tiras de Möbius a lo largo de sus bordes; sin embargo, esto no se puede hacer en el espacio euclidiano tridimensional ordinario sin crear autointersecciones. [dieciséis]
Otra variedad estrechamente relacionada es el plano proyectivo real . Si se corta un disco circular del plano proyectivo real, lo que queda es una tira de Möbius. [17] Yendo en la otra dirección, si uno pega un disco a una tira de Möbius identificando sus límites, el resultado es el plano proyectivo. Para visualizar esto, es útil deformar la tira de Möbius para que su límite sea un círculo ordinario (ver arriba). El plano proyectivo real, como la botella de Klein, no se puede incrustar en tres dimensiones sin autointersecciones.
En teoría de grafos , la escalera de Möbius es un gráfico cúbico estrechamente relacionado con la tira de Möbius.
En 1968 Gonzalo Vélez Jahn (UCV, Caracas, Venezuela) descubrió cuerpos tridimensionales con características Möbian; [18] Estos fueron descritos más tarde por Martin Gardner como anillos prismáticos que se convirtieron en poliedros toroidales en su columna de los Juegos Matemáticos de agosto de 1978 en Scientific American. [19]
Aplicaciones
Ha habido varias aplicaciones técnicas para la banda de Möbius. Las tiras gigantes de Möbius se han utilizado como cintas transportadoras que duran más porque toda la superficie de la cinta se desgasta de la misma manera y como cintas de grabación de bucle continuo (para duplicar el tiempo de reproducción). Las tiras de Möbius son comunes en la fabricación de cintas de tela para impresoras de computadora y máquinas de escribir , ya que permiten que la cinta sea dos veces más ancha que el cabezal de impresión mientras usan ambas mitades de manera uniforme. [20]
Una resistencia de Möbius es un elemento de circuito electrónico que cancela su propia reactancia inductiva. Nikola Tesla patentó una tecnología similar en 1894: [21] "Bobina para electroimanes" fue diseñada para su uso con su sistema de transmisión global de electricidad sin cables.
La tira de Möbius es el espacio de configuración de dos puntos desordenados en un círculo. En consecuencia, en teoría musical , el espacio de todos los acordes de dos notas, conocidos como díadas , toma la forma de una tira de Möbius; esto y las generalizaciones a más puntos es una aplicación significativa de los orbifolds a la teoría musical . [22] [23]
En física / electrotecnología como:
- Un resonador compacto con una frecuencia de resonancia que es la mitad de la de las bobinas lineales construidas de forma idéntica [24]
- Una resistencia sin inducción [25]
- Superconductores con alta temperatura de transición [26]
- Resonador de Möbius [27]
En química / nanotecnología como:
- Nudos moleculares con características especiales (Knotane [2], Quiralidad)
- Motores moleculares [28]
- Volumen de grafeno (nanografito) con nuevas características electrónicas, como magnetismo helicoidal [29]
- Un tipo especial de aromaticidad: aromaticidad de Möbius
- Partículas cargadas atrapadas en el campo magnético de la Tierra que pueden moverse en una banda de Möbius
- El ciclotido (proteína cíclica) kalata B1, sustancia activa de la planta Oldenlandia affinis , contiene topología de Möbius para la estructura del péptido.
arte y Entretenimiento
El principio de la tira de Möbius se ha utilizado como método para crear la ilusión de la magia . El truco, conocido como las bandas afganas, fue muy popular en la primera mitad del siglo XX. Existen muchas versiones de este truco y han sido realizadas por ilusionistas famosos como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs . [30] [31]
En trabajos creativos
El diseño del símbolo de reciclaje universal (♲) tiene sus tres flechas que forman un bucle de Möbius. Según su diseñador Gary Anderson , "la figura fue diseñada como una tira de Mobius para simbolizar la continuidad dentro de una entidad finita". [32]
Ver también
- Colector Calabi – Yau
- Cruz-tapa
- Toro umbilico
- Teoría de la cinta
Referencias
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enlaces externos
- El engranaje de Möbius: un modelo funcional de engranaje planetario en el que un engranaje es una tira de Möbius
- Weisstein, Eric W. "Möbius Strip" . MathWorld .