En el campo matemático de la teoría de Lie , un álgebra de Lie dividida es un par dónde es un álgebra de mentira yes una subálgebra de Cartan dividida , donde "dividir" significa que para todos, es triangularizable . Si un álgebra de Lie admite una división, se denomina álgebra de Lie divisible . [1] Tenga en cuenta que para las álgebras de Lie reductivas, se requiere que la subálgebra de Cartan contenga el centro.
Sobre un campo algebraicamente cerrado como los números complejos , todas las álgebras de Lie semisimple son divisibles (de hecho, la subálgebra de Cartan no solo actúa mediante matrices triangularizables, sino que incluso más fuerte, actúa mediante matrices diagonalizables) y todas las divisiones son conjugadas; por lo tanto, las álgebras de Lie divididas son de mayor interés para campos no algebraicamente cerrados.
Las álgebras de Lie divididas son de interés tanto porque formalizan la forma real dividida de un álgebra de Lie compleja como porque las álgebras de Lie semisimples divididas (más generalmente, álgebras de Lie reductivas divididas) sobre cualquier campo comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados - teniendo esencialmente la misma teoría de representación, por ejemplo - la subálgebra de Cartan dividida que juega el mismo papel que la subálgebra de Cartan juega sobre campos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en ( Bourbaki 2005 ), por ejemplo.
Propiedades
- Sobre un campo algebraicamente cerrado, todas las subálgebras de Cartan están conjugadas. En campos no algebraicamente cerrados, no todas las subálgebras de Cartan están conjugadas en general; Sin embargo, en un álgebra de Lie semisimple divisible todas dividir las álgebra Cartan son conjugados.
- Sobre un campo algebraicamente cerrado, todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.
- Sobre un campo no algebraicamente cerrado, existen álgebras de Lie semisimples no divisibles. [2]
- En un álgebra de Lie divisible, pueden existir subálgebras de Cartan que no se dividen. [3]
- Las sumas directas de álgebras de Lie divisibles y los ideales en álgebras de Lie divisibles son divisibles.
Dividir álgebras de mentira reales
Para un álgebra de Lie real, divisible es equivalente a cualquiera de estas condiciones: [4]
- El rango real es igual al rango complejo.
- El diagrama de Satake no tiene vértices negros ni flechas.
Cada álgebra de Lie compleja semisimple tiene un álgebra de Lie real dividida única (hasta isomorfismo), que también es semisimple, y es simple si y solo si el álgebra de Lie compleja lo es. [5]
Para las álgebras de Lie semisimples reales, las álgebras de Lie divididas son opuestas a las álgebras de Lie compactas ; el grupo de Lie correspondiente está "lo más lejos posible" de ser compacto.
Ejemplos de
Las formas reales divididas para las álgebras de Lie semisimples complejas son: [6]
- Álgebras de Lie excepcionales: han dividido formas reales E I, E V, E VIII, F I, G .
Estas son las álgebras de Lie de los grupos reales divididos de los grupos de Lie complejos.
Tenga en cuenta que para y , la forma real son los puntos reales de (el álgebra de Lie de) el mismo grupo algebraico , mientras que para hay que utilizar las formas divididas (de índice indefinido máximo), ya que el grupo SO es compacto.
Ver también
Referencias
- ^ ( Bourbaki 2005 , Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semi-simple dividida, p. 77 )
- ^ ( Bourbaki 2005 , Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semi-simple dividida, Ejercicio 2 a p. 77 )
- ^ ( Bourbaki 2005 , Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semi-simple dividida, Ejercicio 2 b p. 77 )
- ↑ ( Onishchik y Vinberg 1994 , p. 157)
- ↑ ( Onishchik y Vinberg 1994 , Teorema 4.4, p. 158)
- ↑ ( Onishchik y Vinberg 1994 , p. 158)
- Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de mentira semi-simples divididas" , Elementos de las matemáticas: Grupos de mentiras y álgebras de Lie: Capítulos 7-9
- Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), "4.4: Split Real Semisimple Lie Algebras" , Grupos de Lie y álgebras de Lie III: estructura de grupos de Lie y álgebras de Lie , págs. 157-158