En el estudio matemático de las álgebras de Lie y los grupos de Lie , un diagrama de Satake es una generalización de un diagrama de Dynkin introducido por Satake ( 1960 , p.109) cuyas configuraciones clasifican las álgebras de Lie simples sobre el campo de los números reales . Los diagramas de Satake asociados a un diagrama de Dynkin clasifican formas reales del álgebra de Lie compleja correspondiente al diagrama de Dynkin.
De manera más general, el índice de Tits o diagrama de Satake-Tits de un grupo algebraico reductivo sobre un campo es una generalización del diagrama de Satake a campos arbitrarios, introducido por Tits ( 1966 ), que reduce la clasificación de grupos algebraicos reductivos a la de reductores anisotrópicos. grupos algebraicos.
Los diagramas de Satake no son lo mismo que los diagramas de Vogan de un grupo de Lie, aunque se ven similares.
Definición
Un diagrama de Satake se obtiene a partir de un diagrama de Dynkin ennegreciendo algunos vértices y conectando otros vértices en pares mediante flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Suponga que G es un grupo algebraico definido sobre un campo k , como los reales. Dejamos que S sea un toro dividido máximo en G , y tomamos T como un toro máximo que contiene S definido sobre el cierre algebraico separable K de k . Entonces G ( K ) tiene un diagrama de Dynkin con respecto a alguna elección de raíces positivas de T . Este diagrama de Dynkin tiene una acción natural del grupo de Galois de K / k . Además, algunas de las raíces simples desaparecen en S . El diagrama Satake-Tits viene dado por el diagrama D de Dynkin , junto con la acción del grupo de Galois, con las raíces simples que se desvanecen en S de color negro. En el caso en que k es el campo de números reales, el grupo de Galois absoluto tiene orden 2, y su acción sobre D se representa dibujando puntos conjugados del diagrama de Dynkin cerca uno del otro, y el diagrama de Satake-Tits se llama diagrama de Satake .
Ejemplos de
- Las álgebras de Lie compactas corresponden al diagrama de Satake con todos los vértices ennegrecidos.
- Las álgebras de Split Lie corresponden al diagrama de Satake con sólo vértices blancos (es decir, no ennegrecidos) y no apareados.
- Se puede encontrar una tabla en ( Onishchik y Vinberg 1994 , Tabla 4, págs. 229-230 ).
Diferencias entre los diagramas de Satake y Vogan
Tanto los diagramas de Satake como los de Vogan se utilizan para clasificar grupos de Lie semisimples o álgebras (o grupos algebraicos) sobre los reales y ambos consisten en diagramas de Dynkin enriquecidos al ennegrecer un subconjunto de nodos y conectar algunos pares de vértices mediante flechas. Los diagramas de Satake, sin embargo, pueden generalizarse a cualquier campo (ver arriba) y caer bajo el paradigma general de la cohomología de Galois , mientras que los diagramas de Vogan se definen específicamente sobre los reales. En términos generales, la estructura de un álgebra de Lie semisimple real está codificada de una manera más transparente en su diagrama de Satake, pero los diagramas de Vogan son más sencillos de clasificar.
La diferencia esencial es que el diagrama de Satake de un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan θ y par de Cartan asociado(los +1 y -1 eigenspaces de θ ) se define partiendo de un máximo no compacta θ -STABLE Cartan subálgebra , es decir, uno para el que y es lo más pequeño posible (en la presentación anterior, aparece como el álgebra de Lie del toro dividido máximo S ), mientras que los diagramas de Vogan se definen a partir de una subálgebra de Cartan estable en θ máximamente compacta , es decir, una para la cual y es lo más grande posible.
El diagrama de Dynkin sin adornos (es decir, el que solo tiene nodos blancos y sin flechas), cuando se interpreta como un diagrama de Satake, representa la forma real dividida del álgebra de Lie, mientras que representa la forma compacta cuando se interpreta como un diagrama de Vogan.
Ver también
Referencias
- Bump, Daniel (2004), grupos de mentiras , Textos de posgrado en matemáticas, 225 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4757-4094-3 , ISBN 978-0-387-21154-1, MR 2062813
- Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Estudios de posgrado en matemáticas , 34 , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 034 , ISBN 978-0-8218-2848-9, Señor 1834454
- Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), grupos de Lie y álgebras de Lie III: estructura de grupos de Lie y álgebras de Lie , Springer, ISBN 978-3-540-54683-2
- Satake, Ichirô (1960), "Sobre representaciones y compactaciones de espacios simétricos de Riemann", Annals of Mathematics , Second Series, 71 : 77-110, doi : 10.2307 / 1969880 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969880 , MR 0118775
- Satake, Ichiro (1971), Teoría de clasificación de grupos algebraicos semi-simples , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 3 , Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-1607-3, MR 0316588
- Spindel, Philippe; Persson, Daniel; Henneaux, Marc (2008), "Singularidades espaciales y simetrías ocultas de la gravedad" , Reseñas vivientes en relatividad , 11 (1), arXiv : 0710.1818 , doi : 10.12942 / lrr-2008-1 , PMC 5255974 , PMID 28179821
- Tits, Jacques (1966), "Clasificación de grupos semisimples algebraicos", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colorado, 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 33-62 , MR 0224710
- Tits, Jacques (1971), "Représentations linéaires irréductibles d'un groupe réductif sur un corps quelconque" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 247 : 196-220, doi : 10.1515 / crll.1971.247.196 , ISSN 0075-4102 , MR 0277536