En geometría diferencial , un aerosol es un campo vectorial H en el fibrado tangente TM que codifica un cuasi-lineal sistema de segundo orden de ecuaciones diferenciales ordinarias en el colector de la base M . Por lo general, se requiere que una pulverización sea homogénea en el sentido de que sus curvas integrales t → Φ H t (ξ) ∈ TM obedecen la regla Φ H t (λξ) = Φ H λt (ξ) en reparametrizaciones positivas. Si se elimina este requisito, H se denomina semispray .
Los aerosoles surgen naturalmente en la geometría de Riemannian y Finsler como los aerosoles geodésicos , cuyas curvas integrales son precisamente las curvas tangentes de las curvas de minimización de longitud local. Las semi-pulverizaciones surgen naturalmente como las curvas extremas de acción integrales en la mecánica de Lagrange . Generalizando todos estos ejemplos, cualquier (posiblemente no lineal) de conexión en M induce una semispray H , y a la inversa, cualquier semispray H induce una conexión no lineal de torsión libres en M . Si la conexión original está libre de torsión, coincide con la conexión inducida por H , y las conexiones homogéneas libres de torsión están en correspondencia uno a uno con pulverizaciones completas. [1]
Definiciones formales
Sea M una variedad diferenciable y ( TM , π TM , M ) su paquete tangente. Entonces, un campo vectorial H en TM (es decir, una sección del haz de doble tangente TTM ) es una semispray en M , si se cumple alguna de las tres siguientes condiciones equivalentes:
- (π TM ) * H ξ = ξ.
- JH = V , donde J es la estructura tangente en TM y V es el campo vectorial canónico en TM \ 0.
- j ∘ H = H , donde j : TTM → TTM es el cambio canónico y H se ve como un mapeo TM → TTM .
Una semispray H en M es una pulverización (completa) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- H λξ = λ * (λ H ξ ), donde λ * : TTM → TTM es el avance de la multiplicación λ: TM → TM por un escalar positivo λ> 0.
- La derivada de Lie de H a lo largo del campo vectorial canónicas V satisface [ V , H ] = H .
- Las curvas integrales t → Φ H t (ξ) ∈ TM \ 0 de H satisfacen Φ H t (λξ) = λΦ H λt (ξ) para cualquier λ> 0.
Sea ( x i , ξ i ) las coordenadas locales en TM asociadas con las coordenadas locales ( x i ) en M usando la base de coordenadas en cada espacio tangente. Entonces H es un semispray en M si y solo si tiene una representación local de la forma
en cada sistema de coordenadas asociado en TM . La semispray H es una pulverización (completa), si y solo si los coeficientes de pulverización G i satisfacen
Semispulverizaciones en la mecánica lagrangiana
Un sistema físico se modela en la mecánica de Lagrange por una función de Lagrange L : TM → R en el paquete de la tangente de un cierto espacio de configuración M . La ley dinámica se obtiene del principio hamiltoniano, que establece que la evolución temporal γ: [ a , b ] → M del estado del sistema es estacionaria para la integral de acción
- .
En las coordenadas asociadas en TM, la primera variación de la integral de acción se lee como
donde X : [ a , b ] → R es el campo del vector de variación asociado con la variación γ s : [ a , b ] → M alrededor de γ ( t ) = γ 0 ( t ). Esta primera fórmula de variación se puede reformular de una forma más informativa introduciendo los siguientes conceptos:
- El covector con es el momento conjugado de.
- El correspondiente de una forma con es la forma de Hilbert asociada con el lagrangiano.
- La forma bilineal con es el tensor fundamental del lagrangiano en.
- El lagrangiano satisface la condición de Legendre si el tensor fundamental es no degenerado en cada . Entonces la matriz inversa de se denota por .
- La Energía asociada con el Lagrangiano es.
Si se satisface la condición de Legendre, entonces d α∈Ω 2 ( TM ) es una forma simpléctica , y existe un campo vectorial hamiltoniano único H en TM correspondiente a la función hamiltoniana E tal que
- .
Sean ( X i , Y i ) las componentes del campo vectorial hamiltoniano H en las coordenadas asociadas en TM . Luego
y
entonces vemos que el campo vectorial hamiltoniano H es una semispray en el espacio de configuración M con los coeficientes de pulverización
Ahora, la primera fórmula variacional se puede reescribir como
y vemos γ [ un , b ] → M es estacionario para la integral de acción con puntos finales fijas si y sólo si su curva tangente γ ': [ a , b ] → TM es una curva integral para el campo vectorial hamiltoniano H . Por lo tanto, la dinámica de los sistemas mecánicos se describe mediante semispray que surgen de integrales de acción.
Aerosol geodésico
Las curvas de minimización de longitud local de las variedades de Riemannian y Finsler se denominan geodésicas . Utilizando el marco de la mecánica de Lagrange, se pueden describir estas curvas con estructuras de pulverización. Defina una función lagrangiana en TM mediante
donde F : TM → R es la función de Finsler . En el caso de Riemann se usa F 2 ( x , ξ) = g ij ( x ) ξ i ξ j . Ahora introduzca los conceptos de la sección anterior. En el caso de Riemann, resulta que el tensor fundamental g ij ( x , ξ) es simplemente la métrica de Riemann g ij ( x ). En el caso general, la condición de homogeneidad
de la función de Finsler implica las siguientes fórmulas:
En términos de mecánica clásica, la última ecuación establece que toda la energía del sistema ( M , L ) está en forma cinética. Además, se obtienen las propiedades de homogeneidad
de los cuales el último dice que el campo vectorial hamiltoniano H para este sistema mecánico es una pulverización completa. Este aerosol describe las geodésicas de velocidad constante del colector de Finsler (o Riemanniano) subyacente por las siguientes razones:
- Dado que g ξ es positivo definido para los espacios de Finsler, cada curva estacionaria lo suficientemente corta para la longitud funcional minimiza la longitud.
- Cada curva estacionaria para la integral de acción es de velocidad constante , ya que la energía es automáticamente una constante de movimiento.
- Para cualquier curva de velocidad constante la integral de acción y la longitud funcional están relacionadas por
Por tanto, una curva es estacionario a la integral de acción si y solo si es de velocidad constante y estacionario a la longitud funcional. El campo vectorial hamiltoniano H se denomina pulverización geodésica del colector de Finsler ( M , F ) y el flujo correspondiente Φ H t (ξ) se denomina flujo geodésico .
Correspondencia con conexiones no lineales
Una semispray H en un colector liso M define una conexión de Ehresmann T ( TM \ 0) = H ( TM \ 0) ⊕ V ( TM \ 0) en el haz tangente de rendija a través de sus proyecciones horizontal y vertical
Esta conexión en TM \ 0 siempre tiene un tensor de torsión de fuga, que se define como el corchete de Frölicher-Nijenhuis T = [ J , v ]. En términos más elementales, la torsión se puede definir como
Presentación de la campo vectorial canónica V en TM \ 0 y el Θ estructura adjunta de la conexión inducida por la parte horizontal de la semispray puede escribirse como hH = Θ V . La parte vertical ε = vH de la semispray se conoce como el primer invariante de pulverización , y la semispray H se descompone en
El primer invariante de pulverización está relacionado con la tensión
de la conexión no lineal inducida a través de la ecuación diferencial ordinaria
Por lo tanto, la primera pulverización invariante ε (y, por lo tanto, toda la semi-pulverización H ) se puede recuperar de la conexión no lineal mediante
De esta relación también se ve que la conexión inducida es homogénea si y solo si H es una pulverización completa.
Campos Jacobi de sprays y semisprays
Una buena fuente para los campos de Jacobi de semispray es la Sección 4.4, Ecuaciones de Jacobi de un semispray del libro disponible públicamente Finsler-Lagrange Geometry de Bucătaru y Miron. De particular interés es su concepto de una derivada covariante dinámica . En otro artículo , Bucătaru, Constantinescu y Dahl relacionan este concepto con el del operador biderivado de Kosambi .
Para obtener una buena introducción a los métodos de Kosambi , consulte el artículo ¿Qué es la teoría de Kosambi-Cartan-Chern? .
Referencias
- ^ I. Bucataru, R. Miron, Geometría de Finsler-Lagrange , Editura Academiei Române, 2007.
- Sternberg, Shlomo (1964), Conferencias sobre geometría diferencial , Prentice-Hall.
- Lang, Serge (1999), Fundamentos de la geometría diferencial , Springer-Verlag.