En matemáticas , particularmente en geometría diferencial , una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M donde se proporciona una F ( x , -) funcional de Minkowski (posiblemente asimétrica ) en cada espacio tangente T x M , que permite definir la longitud de cualquier curva suave γ : [ a , b ] → M como
Las variedades de Finsler son más generales que las variedades de Riemann, ya que las normas tangentes no necesitan ser inducidas por productos internos .
Todo colector de Finsler se convierte en un espacio cuasimétrico intrínseco cuando la distancia entre dos puntos se define como la longitud mínima de las curvas que los unen.
Élie Cartan ( 1933 ) nombró variedades de Finsler en honor a Paul Finsler , quien estudió esta geometría en su disertación ( Finsler 1918 ).
Definición
Una variedad de Finsler es una variedad diferenciable M junto con una métrica de Finsler , que es una función continua no negativa F : T M → [0, + ∞) definida en el paquete tangente de modo que para cada punto x de M ,
- F ( v + w ) ≤ F ( v ) + F ( w ) para cada dos vectores v , w tangente a M en x ( subaditividad ).
- F (λ v ) = λ F ( v ) para todo λ ≥ 0 (pero no necesariamente para λ <0) ( homogeneidad positiva ).
- F ( v )> 0 a menos que v = 0 ( definición positiva ).
En otras palabras, F ( x , -) es una norma asimétrica en cada espacio tangente T x M . También se requiere que la métrica F de Finsler sea suave , más precisamente:
- F es suave en el complemento de la sección cero de T M .
El axioma de subaditividad puede reemplazarse por la siguiente condición de fuerte convexidad :
- Para cada vector tangente v ≠ 0 , la matriz hessiana de F 2 en v es definida positiva .
Aquí el hessiano de F 2 en v es la forma bilineal simétrica
también conocido como el tensor fundamental de F en v . La convexidad fuerte de implica la subaditividad con una desigualdad estricta si u ⁄ F ( u ) ≠ v / F ( v ) . SiFes fuertemente convexo, entonces es unanorma de Minkowskien cada espacio tangente.
Una métrica de Finsler es reversible si, además,
- F (- v ) = F ( v ) para todos los vectores tangentes v .
Una métrica de Finsler reversible define una norma (en el sentido habitual) en cada espacio tangente.
Ejemplos de
- Las subvariedades suaves (incluidos los subconjuntos abiertos) de un espacio vectorial normalizado de dimensión finita son variedades de Finsler si la norma del espacio vectorial es suave fuera del origen.
- Las variedades de Riemann (pero no las variedades pseudo-Riemannianas ) son casos especiales de las variedades de Finsler.
Colectores Randers
Dejar ser una variedad de Riemann y b un diferencial de una sola forma en M con
dónde es la matriz inversa dey se utiliza la notación de Einstein . Luego
define una métrica de Randers en M yes un colector Randers , un caso especial de un colector Finsler no reversible. [1]
Espacios cuasimétricos lisos
Sea ( M , d ) una cuasimétrico de manera que M es también una variedad diferenciable y d es compatible con la estructura diferencial de M en el siguiente sentido:
- Alrededor de cualquier punto z en M existe una gráfica suave ( U , φ) de M y una constante C ≥ 1 tal que para cada x , y ∈ U
- La función d : M × M → [0, ∞] es suave en algún vecindario perforado de la diagonal.
Entonces uno puede definir una función de Finsler F : TM → [0, ∞] por
donde γ es cualquier curva en M con γ (0) = x y γ' (0) = v. La función Finsler F obtenidas de esta manera restringe a una asimétrica (típicamente no Minkowski) norma en cada espacio tangente de M . La métrica intrínseca inducida d L : M × M → [0, ∞] del cuasimétrico original se puede recuperar de
y de hecho cualquier función de Finsler F : TM → [0, ∞) define un d L cuasimétrico intrínseco en M mediante esta fórmula.
Geodésicas
Debido a la homogeneidad de F la longitud
de una curva diferenciable γ : [ a , b ] → M en M es invariante bajo reparametrizaciones orientadas positivamente . Una curva de velocidad constante γ es una geodésica de un colector de Finsler si sus segmentos suficientemente cortos γ | [ c , d ] minimizan la longitud en M de γ ( c ) a γ ( d ). De manera equivalente, γ es una geodésica si es estacionaria para la energía funcional
en el sentido de que su derivada funcional desaparece entre las curvas diferenciables γ : [ a , b ] → M con extremos fijos γ ( a ) = x y γ ( b ) = y .
Estructura de pulverización canónica en un colector Finsler
La ecuación de Euler-Lagrange para la energía funcional E [ γ ] se lee en las coordenadas locales ( x 1 , ..., x n , v 1 , ..., v n ) de TM como
donde k = 1, ..., n y g ij es la representación de coordenadas del tensor fundamental, definido como
Suponiendo la fuerte convexidad de F 2 ( x, v ) con respecto a v ∈ T x M , la matriz g ij ( x , v ) es invertible y su inversa se denota por g ij ( x , v ). Entonces γ : [ a , b ] → M es una geodésica de ( M , F ) si y solo si su curva tangente γ ' : [ a , b ] → TM \ 0 es una curva integral del campo vectorial suave H en TM \ 0 definido localmente por
donde los coeficientes de pulverización locales G i están dados por
El campo vectorial H en TM / 0 satisface JH = V y [ V , H ] = H , donde J y V son el endomorfismo canónico y el campo vectorial canónico en TM \ 0. Por lo tanto, por definición, H es una pulverización en M . El spray H define una conexión no lineal en el haz de fibras TM \ 0 → M a través de la proyección vertical
En analogía con el caso de Riemann , hay una versión
de la ecuación de Jacobi para una estructura de pulverización general ( M , H ) en términos de la curvatura de Ehresmann y la derivada covariante no lineal .
Singularidad y minimización de propiedades de las geodésicas.
Según el teorema de Hopf-Rinow, siempre existen curvas de minimización de longitud (al menos en vecindarios lo suficientemente pequeños) en ( M , F ). Las curvas que minimizan la longitud siempre pueden reparametrizarse positivamente para que sean geodésicas, y cualquier geodésica debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange para E [ γ ]. Suponiendo la fuerte convexidad de F 2 , existe una γ geodésica máxima única con γ (0) = x y γ ' (0) = v para cualquier ( x , v ) ∈ TM \ 0 por la unicidad de las curvas integrales .
Si F 2 es fuertemente convexa, las geodésicas γ : [0, b ] → M minimizan la longitud entre las curvas cercanas hasta que el primer punto γ ( s ) se conjuga con γ (0) a lo largo de γ , y para t > s siempre existen más cortos curvas de γ (0) a γ ( t ) cerca de γ , como en el caso de Riemann .
Notas
- ^ Randers, G. (1941). "En una métrica asimétrica en el espacio de cuatro de la relatividad general". Phys. Rev. 59 (2): 195-199. doi : 10.1103 / PhysRev.59.195 . hdl : 10338.dmlcz / 134230 .
Referencias
- Antonelli, Peter L., ed. (2003), Manual de geometría de Finsler. Vol. 1, 2 , Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1, MR 2067663
- Bao, David; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000). Una introducción a la geometría de Riemann-Finsler . Textos de Posgrado en Matemáticas. 200 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X. Señor 1747675 .
- Cartan, Élie (1933), "Sur les espaces de Finsler", CR Acad. Sci. París , 196 : 582–586, Zbl 0006.22501
- Chern, Shiing-Shen (1996), "La geometría de Finsler es simplemente geometría de Riemann sin la restricción cuadrática" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 43 (9): 959–63, MR 1400859
- Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Disertación, Göttingen, JFM 46.1131.02 (Reimpreso por Birkhäuser (1951))
- Rund, Hanno (1959). La geometría diferencial de los espacios de Finsler . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 101 . Berlín – Gotinga – Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2. Señor 0105726 .
- Shen, Zhongmin (2001). Conferencias sobre geometría de Finsler . Singapur: World Scientific. doi : 10.1142 / 4619 . ISBN 981-02-4531-9. Señor 1845637 .
enlaces externos
- "Espacio Finsler, generalizado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- El (nuevo) boletín de Finsler