Geodésico
En geometría , una geodésica ( / ˌ dʒ iː ə ˈ d ɛ s ɪ k , ˌ dʒ iː oʊ -, - ˈ d iː -, - z ɪ k / [1] [2] ) es comúnmente una curva que representa en algún sentido el camino más corto [a] ( arco ) entre dos puntos en una superficie , o más generalmente en una variedad de Riemann . El término también tiene significado en cualquier variedad diferenciable con una conexión . Es una generalización de la noción de " línea recta " a un marco más general.
El sustantivo geodésico [b] y el adjetivo geodésico [c] provienen de la geodesia , la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra , mientras que muchos de los principios subyacentes se pueden aplicar a cualquier geometría elipsoidal . En el sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos de la superficie terrestre . Para una Tierra esférica , es un segmento de un gran círculo (ver también distancia del gran círculo ). El término se ha generalizado para incluir medidas en espacios matemáticos mucho más generales; por ejemplo, en teoría de grafos, se podría considerar una geodésica entre dos vértices /nodos de un gráfico .
En una variedad o subvariedad Riemanniana, las geodésicas se caracterizan por la propiedad de tener curvatura geodésica nula . Más generalmente, en presencia de una conexión afín , una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si son transportados a lo largo de ella. Aplicando esto a la conexión Levi-Civita de una métrica riemanniana se recupera la noción anterior.
Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general . Las geodésicas temporales en relatividad general describen el movimiento de partículas de prueba en caída libre .
Un camino localmente más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, que se supone que es una variedad de Riemann , se puede definir usando la ecuación para la longitud de una curva (una función f desde un intervalo abierto de R al espacio), y luego minimizando esta longitud entre los puntos utilizando el cálculo de variaciones . Esto tiene algunos problemas técnicos menores porque hay un espacio de dimensión infinita de diferentes formas de parametrizar el camino más corto. Es más sencillo restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, por lo que la distancia desde f ( s) a f ( t ) a lo largo de la curva es igual a | s - t |. De manera equivalente, se puede usar una cantidad diferente, denominada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí "velocidad constante" es una consecuencia de la minimización). [ cita requerida ] Intuitivamente, uno puede entender esta segunda formulación observando que una banda elástica estirada entre dos puntos contraerá su longitud y, al hacerlo, minimizará su energía. La forma resultante de la banda es una geodésica.
Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como es el caso de dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.
