En matemáticas , particularmente en la topología diferencial , el paquete de doble tangente o el segundo paquete tangente se refiere al paquete tangente ( TTM , π TTM , TM ) del espacio total TM del paquete tangente ( TM , π TM , M ) de una variedad suave M . [1] Una nota sobre la notación: en este artículo, denotamos mapas de proyección por sus dominios, por ejemplo, π TTM : TTM→ TM . Algunos autores indexan estos mapas por sus rangos, por lo que para ellos, ese mapa se escribiría π TM .
El segundo haz tangente surge en el estudio de conexiones y ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, es decir, estructuras de (semi) aspersión en colectores lisos, y no debe confundirse con el haz de chorros de segundo orden .
Estructura de paquete de vectores secundarios y cambio canónico
Dado que ( TM , π TM , M ) es un paquete de vectores por derecho propio, su paquete tangente tiene la estructura de paquete de vectores secundaria ( TTM , ( π TM ) * , TM ), donde ( π TM ) * : TTM → TM es el empuje hacia adelante de la proyección canónica π TM : TM → M . En lo siguiente denotamos
y aplicar el sistema de coordenadas asociado
en TM . Entonces, la fibra de la estructura del haz de vectores secundarios en X ∈ T x M toma la forma
El paquete de doble tangente es un paquete de vectores dobles .
El cambio canónico [2] es una involución suave j : TTM → TTM que intercambia estas estructuras de espacio vectorial en el sentido de que es un isomorfismo de paquete vectorial entre ( TTM , π TTM , TM ) y ( TTM , ( π TM ) * , TM ). En las coordenadas asociadas en TM se lee como
El cambio canónico tiene la propiedad de que para cualquier f : R 2 → M ,
donde s y t son las coordenadas de la base estándar de R 2 . Tenga en cuenta que ambas derivadas parciales son funciones de R 2 a TTM .
De hecho, esta propiedad puede usarse para dar una definición intrínseca del cambio canónico. [3] De hecho, hay una inmersión p : J 2 0 ( R 2 , M) → TTM dado por
donde p se puede definir en el espacio de dos chorros en cero porque solo depende de f hasta el orden de dos en cero. Consideramos la aplicación:
donde α ( s , t ) = ( t , s ). Entonces J es compatible con la proyección py induce el cambio canónico en el cociente TTM .
Campos de tensores canónicos en el paquete tangente
Como para cualquier haz de vectores , los espacios tangentes T ξ ( T x M ) de las fibras T x M del haz tangente ( TM , π TM , M ) se pueden identificar con las fibras T x M mismas. Formalmente, esto se logra a través de la elevación vertical , que es un isomorfismo del espacio vectorial natural vl ξ : T x M → V ξ ( T x M ) definido como
La elevación vertical también se puede ver como un isomorfismo de paquete vectorial natural vl: (π TM ) * TM → VTM del paquete de retroceso de ( TM , π TM , M ) sobre π TM : TM → M sobre el paquete tangente vertical
La elevación vertical nos permite definir el campo vectorial canónico
que es suave en el haz tangente de rendija TM \ 0. El campo vectorial canónico también se puede definir como el generador infinitesimal de la acción del grupo de Lie.
A diferencia del campo vectorial canónico, que se puede definir para cualquier paquete de vectores, el endomorfismo canónico
es especial para el paquete tangente. El endomorfismo canónico J satisface
y también se conoce como estructura tangente por la siguiente razón. Si ( E , p , M ) es cualquier paquete de vectores con el campo vectorial canónico V y un campo de tensión (1,1) J que satisface las propiedades enumeradas anteriormente, con VE en lugar de VTM , entonces el paquete de vectores ( E , p , M ) es isomorfo al haz tangente ( TM , π TM , M ) de la variedad de base, y J corresponde a la estructura tangente de TM en este isomorfismo.
También hay un resultado más fuerte de este tipo [4] que establece que si N es un 2 n colector -dimensional y si existe una (1,1) -tensor campo J en N que satisface
entonces N es difeomorfo a un conjunto abierto del espacio total de un haz tangente de alguna variedad n- dimensional M , y J corresponde a la estructura tangente de TM en este difeomorfismo.
En cualquier sistema de coordenadas asociado en TM, el campo de vector canónico y el endomorfismo canónico tienen las representaciones de coordenadas
Estructuras de (semi) aspersión
Una estructura Semispray sobre una superficie lisa colector M es por definición un campo vectorial lisa H en TM \ 0 tal que JH = V . Una definición equivalente es que j ( H ) = H , donde j : TTM → TTM es el cambio canónico. A semispray H es una pulverización , si además, [ V , H ] = H .
Pulverizar y estructuras semispray son versiones invariantes de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias en M . La diferencia entre las estructuras de aspersión y semispray es que las curvas de solución de las aspersiones son invariantes en las reparametrizaciones positivas [ jerga ] como conjuntos de puntos en M , mientras que las curvas de solución de las semispulverizaciones típicamente no lo son.
Derivadas covariantes no lineales en variedades suaves
El cambio canónico hace posible definir derivadas covariantes no lineales en variedades suaves de la siguiente manera. Dejar
ser una conexión de Ehresmann en el haz tangente de rendija TM \ 0 y considerar el mapeo
donde Y * : TM → TTM es el avance, j : TTM → TTM es el cambio canónico y κ: T ( TM / 0) → TM / 0 es el mapa de conectores. El mapeo D X es una derivación en el módulo Γ ( TM ) de campos vectoriales suaves en M en el sentido de que
- .
- .
Cualquier mapeo D X con estas propiedades se llama (no lineal) derivada covariante [5] en M . El término no lineal se refiere al hecho de que este tipo de derivada covariante D X on no es necesariamente lineal con respecto a la dirección X ∈ TM / 0 de la diferenciación.
Al observar las representaciones locales, se puede confirmar que las conexiones de Ehresmann en ( TM / 0, π TM / 0 , M ) y las derivadas covariantes no lineales en M están en correspondencia uno a uno. Además, si D X es lineal en X , entonces la conexión de Ehresmann es lineal en la estructura del paquete de vectores secundarios y D X coincide con su derivada covariante lineal.
Ver también
Referencias
- ^ JMLee, Introducción a los colectores lisos , Springer-Verlag, 2003.
- ^ P.Michor. Temas de geometría diferencial, American Mathematical Society, 2008.
- ^ Robert J. Fisher y H. Turner Laquer, Vectores tangentes de segundo orden en geometría riemanniana, J. Matemáticas coreanas. Soc. 36 (1999), núm. 5, págs. 959-1008
- ^ DSGoel, Estructuras casi tangentes , Kodai Math.Sem.Rep. 26 (1975), 187-193.
- ^ I.Bucataru, R. Mirón, Geometría de Finsler-Lagrange , Editura Academiei Române, 2007.