El entrelazamiento aplastado , también llamado entrelazamiento CMI (CMI se puede pronunciar "see me"), es una medida teórica de la información del entrelazamiento cuántico para un sistema cuántico bipartito. Sies la matriz de densidad de un sistema compuesto por dos subsistemas y , luego el entrelazamiento de CMI del sistema es definido por
- ,
Ecuación (1)
dónde es el conjunto de todas las matrices de densidad para un sistema tripartito tal que . Por lo tanto, el entrelazamiento de CMI se define como un extremo de un funcional de . Definimos, la información mutua condicional cuántica (CMI) , a continuación. Una versión más general de la ecuación (1) reemplaza el "min" (mínimo) en la ecuación (1) por un "inf" ( infimum ). Cuándo es un estado puro, , de acuerdo con la definición de entrelazamiento de formación para estados puros. Aquíes la entropía de von Neumann de la matriz de densidad.
Motivación para la definición de entrelazamiento CMI
El entrelazamiento de CMI tiene sus raíces en la teoría de la información clásica (no cuántica) , como explicamos a continuación.
Dadas dos variables aleatorias , la teoría clásica de la información define la información mutua , una medida de correlaciones, como
- .
Ecuación (2)
Para tres variables aleatorias , define el CMI como
- .
Ecuación (3)
Se puede demostrar que .
Ahora suponga es la matriz de densidad para un sistema tripartito . Representaremos el rastro parcial de con respecto a uno o dos de sus subsistemas por con el símbolo del sistema trazado borrado. Por ejemplo,. Se puede definir un análogo cuántico de la ecuación (2) por
- ,
Ecuación (4)
y un análogo cuántico de la ecuación (3) por
- .
Ecuación (5)
Se puede demostrar que . Esta desigualdad a menudo se denomina propiedad de subaditividad fuerte de la entropía cuántica.
Considere tres variables aleatorias con distribución de probabilidad , que abreviaremos como . Para los especiales de la forma
- ,
Ecuación (6)
se puede demostrar que . Las distribuciones de probabilidad de la forma de la ecuación (6) se describen de hecho mediante la red bayesiana que se muestra en la figura 1.
Se puede definir un entrelazamiento clásico de CMI por
- ,
Ecuación (7)
dónde es el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad en tres variables aleatorias , tal que para todos . Porque, dada una distribución de probabilidad, siempre se puede extender a una distribución de probabilidad que satisface la ecuación (6) [ cita requerida ] , se deduce que el entrelazamiento clásico de CMI,, es cero para todos . El hecho de que siempre desaparece es una motivación importante para la definición de . Queremos una medida de entrelazamiento cuántico que se desvanece en el régimen clásico.
Suponer por es un conjunto de números no negativos que suman uno, y por es una base ortonormal para el espacio de Hilbert asociado con un sistema cuántico . Suponer y , por son matrices de densidad para los sistemas y , respectivamente. Se puede demostrar que la siguiente matriz de densidad
Ecuación (8)
satisface . La ecuación (8) es la contraparte cuántica de la ecuación (6). Trazando la matriz de densidad de la ecuación (8) sobre, obtenemos , que es un estado separable . Por lo tanto, dado por la ecuación (1) desaparece para todos los estados separables.
Cuándo es un estado puro, se obtiene . Esto concuerda con la definición de entrelazamiento de formación para estados puros, como se da en Ben96 .
Siguiente suponga por son algunos estados en el espacio de Hilbert asociados con un sistema cuántico . Dejarser el conjunto de matrices de densidad definido previamente para la ecuación (1). Definir ser el conjunto de todas las matrices de densidad que son elementos de y tener la forma especial . Se puede demostrar que si reemplazamos en la ecuación (1) el conjunto por su subconjunto adecuado , entonces la Ec. (1) se reduce a la definición de entrelazamiento de formación para estados mixtos, como se da en Ben96 . y representan diferentes grados de conocimiento sobre cómo fue creado. representa la ignorancia total.
Dado que el entrelazamiento de CMI se reduce al enredo de la formación si se minimiza en vez de , se espera que el entrelazamiento de CMI herede muchas propiedades deseables del entrelazamiento de la formación.
Historia
La importante desigualdad fue probado por primera vez por Lieb y Ruskai en LR73 .
El CMI clásico, dado por la Ec. (3), entró por primera vez en la tradición de la teoría de la información , poco después del artículo seminal de Shannon de 1948 y al menos ya en 1954 en McG54 . El CMI cuántico, dado por la ecuación (5), fue definido por primera vez por Cerf y Adami en Cer96 . Sin embargo, parece que Cerf y Adami no se dieron cuenta de la relación de CMI con el entrelazamiento o la posibilidad de obtener una medida de entrelazamiento cuántico basada en CMI; esto se puede inferir, por ejemplo, de un artículo posterior, Cer97 , donde intentan utilizaren lugar de CMI para entender el entrelazamiento. El primer artículo que señala explícitamente una conexión entre CMI y entrelazamiento cuántico parece ser Tuc99 .
La definición final de la ecuación (1) de entrelazamiento CMI fue dada por primera vez por Tucci en una serie de 6 artículos. (Véase, por ejemplo, la ecuación (8) de Tuc02 y la ecuación (42) de Tuc01a ). En Tuc00b , señaló la motivación de probabilidad clásica de la ecuación (1) y su conexión con las definiciones de entrelazamiento de formación para estados puros y mixtos. En Tuc01a , presentó un algoritmo y programa de computadora, basado en el método Arimoto-Blahut de teoría de la información, para calcular numéricamente el entrelazamiento CMI. En Tuc01b , calculó el entrelazamiento CMI analíticamente, para un estado mixto de dos qubits .
En Hay03 , Hayden, Jozsa, Petz y Winter exploraron la conexión entre la CMI cuántica y la separabilidad .
Sin embargo, no fue hasta Chr03 que se demostró que el entrelazamiento de CMI es de hecho una medida de entrelazamiento, es decir, que no aumenta en Operaciones locales y comunicación clásica (LOCC). La prueba adaptó los argumentos de Ben96 sobre el entrelazamiento de la formación. En Chr03 , también demostraron muchas otras desigualdades interesantes con respecto al entrelazamiento de CMI, incluido que era aditivo, y exploraron su conexión con otras medidas de entrelazamiento. El nombre de enredo aplastado apareció por primera vez en Chr03 . En Chr05 , Christandl y Winter calcularon analíticamente el entrelazamiento CMI de algunos estados interesantes.
En Ali03 , Alicki y Fannes demostraron la continuidad del enredo de CMI. En BCY10 , Brandao, Christandl y Yard demostraron que el entrelazamiento de CMI es cero si y solo si el estado es separable. En Hua14 , Huang demostró que la computación del entrelazamiento aplastado es NP-hard.
Referencias
- Ali03 Alicki, R .; Fannes, M. (2003). "Continuidad de la información mutua cuántica". J. Phys. Una . 37 (55): L55 – L57. arXiv : quant-ph / 0312081 . Código Bibliográfico : 2004JPhA ... 37L..55A . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 37/5 / L01 .
- BCY10Brandao, F .; Christandl, M .; Yard, J. (septiembre de 2011). "Fiel enredo aplastado". Comunicaciones en Física Matemática . 306 (3): 805–830. arXiv : 1010.1750 . Código bibliográfico : 2011CMaPh.306..805B . doi : 10.1007 / s00220-011-1302-1 .
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- LR73 Elliott H. Lieb, Mary Beth Ruskai, "Prueba de la fuerte subditividad de la entropía mecánica cuántica", Journal of Mathematical Physics 14 (1973) 1938-1941.
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- Tuc02Tucci, Robert R. (2002). "Entrelazamiento de destilación e información mutua condicional". arXiv : quant-ph / 0202144 .
enlaces externos
- Enredo fiel aplastado