cuadro joven
En matemáticas , un cuadro de Young ( / t æ ˈ b l oʊ , ˈ t æ b l oʊ / ; plural: tableaux ) es un objeto combinatorio útil en la teoría de la representación y el cálculo de Schubert . Proporciona una manera conveniente de describir las representaciones grupales de los grupos lineales generales y simétricos y de estudiar sus propiedades. Los cuadros jóvenes fueron presentados por Alfred Young , un matemáticoen la Universidad de Cambridge , en 1900. [1] [2] Luego, Georg Frobenius los aplicó al estudio del grupo simétrico en 1903. Su teoría fue desarrollada por muchos matemáticos, incluidos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .
Un diagrama de Young (también llamado diagrama de Ferrers , particularmente cuando se representa con puntos) es una colección finita de cajas o celdas, dispuestas en filas justificadas a la izquierda, con las longitudes de las filas en orden no creciente. Enumerar el número de casillas en cada fila da una partición λ de un número entero no negativo n , el número total de casillas del diagrama. Se dice que el diagrama de Young tiene la forma λ y lleva la misma información que esa partición. La contención de un diagrama de Young en otro define una ordenación parcial en el conjunto de todas las particiones, que es de hecho una estructura de celosía , conocida como celosía de Young.. Enumerar el número de casillas de un diagrama de Young en cada columna da otra partición, la partición conjugada o transpuesta de λ ; se obtiene un diagrama de Young de esa forma reflejando el diagrama original a lo largo de su diagonal principal.
Existe un acuerdo casi universal de que al etiquetar cajas de diagramas de Young por pares de números enteros, el primer índice selecciona la fila del diagrama y el segundo índice selecciona la caja dentro de la fila. Sin embargo, existen dos convenciones distintas para mostrar estos diagramas y, en consecuencia, los cuadros: la primera coloca cada fila debajo de la anterior, la segunda apila cada fila encima de la anterior. Dado que los anglófonos utilizan principalmente la primera convención, mientras que los francófonos suelen preferir la última , se acostumbra referirse a estas convenciones como notación inglesa y notación francesa , respectivamente ; por ejemplo, en su libro sobre funciones simétricas , Macdonaldaconseja a los lectores que prefieren la convención francesa "leer este libro al revés en un espejo" (Macdonald 1979, p. 2). Esta nomenclatura probablemente comenzó como una broma. La notación inglesa corresponde a la universalmente utilizada para matrices, mientras que la notación francesa se acerca más a la convención de coordenadas cartesianas ; sin embargo, la notación francesa difiere de esa convención al colocar primero la coordenada vertical. La figura de la derecha muestra, en notación inglesa, el diagrama de Young correspondiente a la partición (5, 4, 1) del número 10. La partición conjugada, que mide las longitudes de las columnas, es (3, 2, 2, 2, 1).
En muchas aplicaciones, por ejemplo, al definir funciones Jack , es conveniente definir la longitud del brazo a λ ( s ) de una caja s como el número de cajas a la derecha de s en el diagrama λ en notación inglesa. De manera similar, la longitud de la pierna l λ ( s ) es el número de cajas debajo de s . La longitud del gancho de un cuadro s es el número de cuadros a la derecha de s o debajo de s en notación inglesa, incluido el propio cuadro s ; en otras palabras, la longitud del anzuelo es un λ( s ) + l λ ( s ) + 1.
