En geometría algebraica, la teoría de monomios estándar describe las secciones de un paquete de líneas sobre una variedad de bandera generalizada o variedad de Schubert de un grupo algebraico reductivo dando una base explícita de elementos llamados monomios estándar . Muchos de los resultados se han extendido a las álgebras de Kac-Moody y sus grupos.
Hay monografías sobre la teoría monomial estándar de Lakshmibai y Raghavan (2008) y Seshadri (2007) y artículos de encuestas de V. Lakshmibai, C. Musili y CS Seshadri ( 1979 ) y V. Lakshmibai y CS Seshadri ( 1991 ).
Uno de los problemas abiertos importantes es dar una construcción completamente geométrica de la teoría. [1]
Historia
Alfred Young ( 1928 ) introdujo monomios asociados a cuadros de Young estándar . Hodge ( 1943 ) (véase también ( Hodge y Pedoe 1994 , p. 378)) usó los monomios de Young, a los que llamó productos de potencia estándar, nombrados por cuadros estándar, para dar una base para los anillos de coordenadas homogéneos de Grassmannianos complejos . Seshadri ( 1978 ) inició un programa, llamado teoría monomial estándar , para extender el trabajo de Hodge a las variedades G / P , para P cualquier subgrupo parabólico de cualquier grupo algebraico reductivo en cualquier característica, dando bases explícitas usando monomios estándar para secciones de haces de líneas sobre estas variedades. El caso de Grassmannianos estudiado por Hodge corresponde al caso en el que G es un grupo lineal especial en la característica 0 y P es un subgrupo parabólico máximo. A Seshadri pronto se unieron en este esfuerzo V. Lakshmibai y Chitikila Musili . Desarrollaron la teoría monomial estándar primero para representaciones minúsculas de G y luego para grupos G de tipo clásico, y formularon varias conjeturas que la describen para casos más generales. Littelmann ( 1998 ) demostró sus conjeturas utilizando el modelo de trayectoria de Littelmann , en particular dando una descripción uniforme de los monomios estándar para todos los grupos reductores.
Lakshmibai (2003) y Musili (2003) y Seshadri (2012) dan descripciones detalladas del desarrollo temprano de la teoría monomial estándar.
Aplicaciones
- Dado que las secciones de paquetes de líneas sobre variedades de banderas generalizadas tienden a formar representaciones irreductibles de los grupos algebraicos correspondientes, tener una base explícita de monomios estándar permite dar fórmulas de caracteres para estas representaciones. De manera similar, se obtienen fórmulas de caracteres para los módulos Demazure . Las bases explícitas dadas por la teoría monomial estándar están estrechamente relacionadas con las bases cristalinas y los modelos de representaciones de trayectoria de Littelmann .
- La teoría monomial estándar permite describir las singularidades de las variedades de Schubert y, en particular, a veces demuestra que las variedades de Schubert son normales o Cohen-Macaulay . .
- La teoría monomial estándar se puede utilizar para probar la conjetura de Demazure .
- La teoría monomial estándar demuestra el teorema de desaparición de Kempf y otros teoremas de desaparición para la cohomología superior de haces de líneas efectivas sobre las variedades de Schubert.
- La teoría monomial estándar proporciona bases explícitas para algunos anillos de invariantes en la teoría de invariantes .
- La teoría monomial estándar da generalizaciones de la regla de Littlewood-Richardson sobre descomposiciones de productos tensoriales de representaciones a todos los grupos algebraicos reductivos.
- La teoría monomial estándar se puede utilizar para probar la existencia de buenas filtraciones en algunas representaciones de grupos algebraicos reductivos en característica positiva.
Notas
- ^ M. Brion y V. Lakshmibai: Un enfoque geométrico de la teoría monomial estándar, Represente. Teoría 7 (2003), 651–680.
Referencias
- Hodge, WVD (1943), "Algunos resultados enumerativos en la teoría de las formas", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 39 (1): 22–30, Bibcode : 1943PCPS ... 39 ... 22H , doi : 10.1017 / S0305004100017631 , MR 0007739
- Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de las variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Variedades Quadrics y Grassmann. , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065
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- Young, Alfred (1928), "Sobre el análisis sustitucional cuantitativo" , Proc. London Math. Soc. , 28 (1): 255–292, doi : 10.1112 / plms / s2-28.1.255