En la física de la materia condensada y la cristalografía , el factor de estructura estática (o factor de estructura para abreviar) es una descripción matemática de cómo un material dispersa la radiación incidente. El factor de estructura es una herramienta crítica en la interpretación de patrones de dispersión ( patrones de interferencia ) obtenidos en experimentos de difracción de rayos X , electrones y neutrones .
Confusamente, hay dos expresiones matemáticas diferentes en uso, ambas llamadas 'factor de estructura'. Uno suele estar escrito; es más generalmente válido y relaciona la intensidad de difracción observada por átomo con la producida por una sola unidad de dispersión. El otro suele estar escrito o y solo es válido para sistemas con orden posicional de largo alcance: cristales. Esta expresión relaciona la amplitud y fase del haz difractado por el planos del cristalson los índices de Miller de los planos) al producido por una sola unidad de dispersión en los vértices de la celda unitaria primitiva . no es un caso especial de ; da la intensidad de dispersión, pero da la amplitud. Es el módulo al cuadrado que da la intensidad de la dispersión. se define para un cristal perfecto, y se utiliza en cristalografía, mientras que es más útil para sistemas desordenados. Para los sistemas parcialmente ordenados, como los polímeros cristalinos, obviamente hay una superposición, y los expertos cambiarán de una expresión a la otra según sea necesario.
El factor de estructura estática se mide sin resolver la energía de los fotones / electrones / neutrones dispersos. Las mediciones resueltas por energía producen el factor de estructura dinámica . La reflexión en una red cristalina se describe mediante los puntos recíprocos de la red.
Derivación de
Considere la dispersión de un haz de longitud de onda por una asamblea de partículas o átomos estacionarios en posiciones . Suponga que la dispersión es débil, de modo que la amplitud del haz incidente es constante en todo el volumen de la muestra ( aproximación de Born ) y se pueden despreciar la absorción, la refracción y la dispersión múltiple ( difracción cinemática ). La dirección de cualquier onda dispersa está definida por su vector de dispersión. , dónde y ( ) son los vectores de onda de haz disperso e incidente , yes el ángulo entre ellos. Para dispersión elástica, y , limitando el rango posible de (ver esfera de Ewald ). La amplitud y fase de esta onda dispersa será la suma vectorial de las ondas dispersas de todos los átomos. [1] [2]
Para un ensamblaje de átomos, es el factor de forma atómica del-th átomo. La intensidad dispersa se obtiene multiplicando esta función por su complejo conjugado
( 1 )
El factor de estructura se define como esta intensidad normalizada por [3]
( 2 )
Si todos los átomos son idénticos, la ecuación ( 1 ) se convierte en y entonces
( 3 )
Otra simplificación útil es si el material es isotrópico, como un polvo o un líquido simple. La intensidad depende entonces de y y la ecuación ( 2 ) se simplifica a la ecuación de dispersión de Debye: [1]
( 4 )
Una derivación alternativa ofrece una buena percepción, pero utiliza transformadas de Fourier y convolución . Para ser general, considere una cantidad escalar (real) definido en un volumen ; esto puede corresponder, por ejemplo, a una distribución de masa o carga o al índice de refracción de un medio no homogéneo. Si la función escalar es integrable, podemos escribir su transformada de Fourier como. En la aproximación de Born, la amplitud de la onda dispersa correspondiente al vector de dispersión es proporcional a la transformada de Fourier . [1] Cuando el sistema en estudio se compone de un número de constituyentes idénticos (átomos, moléculas, partículas coloidales, etc.) cada uno de los cuales tiene una distribución de masa o carga entonces la distribución total puede considerarse la convolución de esta función con un conjunto de funciones delta .
( 5 )
con las posiciones de las partículas como antes. Usando la propiedad de que la transformada de Fourier de un producto de convolución es simplemente el producto de las transformadas de Fourier de los dos factores, tenemos, así que eso:
( 6 )
Esto es claramente lo mismo que la Ecuación ( 1 ) con todas las partículas idénticas, excepto que aquí se muestra explícitamente en función de .
En general, las posiciones de las partículas no son fijas y la medición se realiza durante un tiempo de exposición finito y con una muestra macroscópica (mucho mayor que la distancia entre partículas). La intensidad accesible experimentalmente es, por tanto, una media.; no necesitamos especificar sidenota un promedio de tiempo o conjunto . Para tener esto en cuenta, podemos reescribir la Ecuación ( 3 ) como:
( 7 )
Cristales perfectos
En un cristal , las partículas constitutivas se disponen periódicamente, con simetría de traslación formando una red . La estructura cristalina se puede describir como una red de Bravais con un grupo de átomos, llamado base, colocados en cada punto de la red; es decir, [estructura cristalina] = [celosía][base]. Si la celosía es infinita y completamente regular, el sistema es un cristal perfecto . Para tal sistema, solo un conjunto de valores específicos parapuede dar dispersión, y la amplitud de dispersión para todos los demás valores es cero. Este conjunto de valores forma una red, llamada red recíproca , que es la transformada de Fourier de la red cristalina del espacio real.
En principio, el factor de dispersión se puede utilizar para determinar la dispersión de un cristal perfecto; en el caso simple cuando la base es un solo átomo en el origen (y de nuevo descuidando todo el movimiento térmico, de modo que no hay necesidad de promediar) todos los átomos tienen entornos idénticos. La ecuación ( 1 ) se puede escribir como
- y .
El factor de estructura es entonces simplemente el módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la red y muestra las direcciones en las que la dispersión puede tener una intensidad distinta de cero. A estos valores dela onda de cada punto de la red está en fase. El valor del factor de estructura es el mismo para todos estos puntos de celosía recíprocos, y la intensidad varía solo debido a cambios en con .
Unidades
Las unidades de amplitud del factor de estructura dependen de la radiación incidente. Para la cristalografía de rayos X son múltiplos de la unidad de dispersión por un solo electrón (2.82metro); para la dispersión de neutrones por núcleos atómicos, la unidad de longitud de dispersión de m se usa comúnmente.
La discusión anterior usa los vectores de onda y . Sin embargo, la cristalografía a menudo utiliza vectores de onda. y . Por lo tanto, al comparar ecuaciones de diferentes fuentes, el factor pueden aparecer y desaparecer, y se requiere cuidado de mantener cantidades consistentes para obtener resultados numéricos correctos.
Definicion de
En cristalografía, la base y la red se tratan por separado. Para un cristal perfecto, la celosía da la celosía recíproca , que determina las posiciones (ángulos) de los haces difractados, y la base da el factor de estructura. que determina la amplitud y fase de los haces difractados:
( 8 )
donde la suma es sobre todos los átomos en la celda unitaria, son las coordenadas posicionales del -th átomo, y es el factor de dispersión del -th átomo. [4] Las coordenadas tener las direcciones y dimensiones de los vectores de celosía . Es decir, (0,0,0) está en el punto de celosía, el origen de la posición en la celda unitaria; (1,0,0) está en el siguiente punto de celosía a lo largo de y (1/2, 1/2, 1/2) está en el centro del cuerpo de la celda unitaria. define un punto de celosía recíproco enque corresponde al plano del espacio real definido por los índices de Miller (ver la ley de Bragg ).
es la suma vectorial de ondas de todos los átomos dentro de la celda unitaria. Un átomo en cualquier punto de la red tiene el ángulo de fase de referencia cero para todos Desde entonces es siempre un número entero. Una onda dispersa desde un átomo en (1/2, 0, 0) estará en fase si es uniforme, desfasado si es impar.
Una vez más, una vista alternativa que utilice convolución puede resultar útil. Dado que [estructura cristalina] = [celosía] [base], [estructura cristalina] = [enrejado] [base]; es decir, esparciendo [celosía recíproca] [factor de estructura].
Ejemplos de en 3-D
Cúbico centrado en el cuerpo (BCC)
Para la celosía de Bravais cúbica centrada en el cuerpo ( cI ), usamos los puntos y que nos lleva a
y por lo tanto
Cúbico centrado en la cara (FCC)
La celosía FCC es una celosía de Bravais y su transformada de Fourier es una celosía cúbica centrada en el cuerpo. Sin embargo para obtener sin este atajo, considere un cristal de FCC con un átomo en cada punto de la red como un cúbico primitivo o simple con una base de 4 átomos, en el origen y en los tres centros faciales adyacentes, , y . La ecuación ( 8 ) se convierte en
con el resultado
El pico de difracción más intenso de un material que cristaliza en la estructura de FCC es típicamente el (111). Las películas de materiales FCC como el oro tienden a crecer en una orientación (111) con una simetría de superficie triangular. Una intensidad de difracción cero para un grupo de haces difractados (aquí, de paridad mixta) se denomina ausencia sistemática.
Estructura de cristal de diamante
La estructura de cristal cúbico de diamante se presenta, por ejemplo, en diamante ( carbono ), estaño y la mayoría de los semiconductores . Hay 8 átomos en la celda unitaria cúbica. Podemos considerar la estructura como un simple cúbico con una base de 8 átomos, en posiciones
Pero comparando esto con la FCC anterior, vemos que es más simple describir la estructura como FCC con una base de dos átomos en (0, 0, 0) y (1/4, 1/4, 1/4). Para esta base, la Ecuación ( 8 ) se convierte en:
Y luego, el factor de estructura para la estructura cúbica de diamante es el producto de esto y el factor de estructura para FCC anterior (solo incluye el factor de forma atómica una vez)
con el resultado
- Si h, k, ℓ son de paridad mixta (valores pares e impares combinados) el primer término (FCC) es cero, entonces
- Si h, k, ℓ son todos pares o todos impares, entonces el primer término (FCC) es 4
- si h + k + ℓ es impar entonces
- si h + k + ℓ es par y exactamente divisible por 4 () luego
- si h + k + ℓ es par pero no exactamente divisible por 4 () el segundo término es cero y
Estos puntos están encapsulados por las siguientes ecuaciones:
dónde es un número entero.
Estructura cristalina de zincblenda
La estructura de zincblenda es similar a la estructura de diamante excepto que es un compuesto de dos celosías fcc distintas interpenetradas, en lugar de todos el mismo elemento. Denotando los dos elementos en el compuesto por y , el factor de estructura resultante es
Cloruro de cesio
El cloruro de cesio es una red cristalina cúbica simple con una base de Cs en (0,0,0) y Cl en (1/2, 1/2, 1/2) (o al revés, no hay diferencia). La ecuación ( 8 ) se convierte en
Luego llegamos al siguiente resultado para el factor de estructura para la dispersión desde un plano :
y por intensidad dispersa,
Hexagonal compacto (HCP)
En un cristal HCP como el grafito , las dos coordenadas incluyen el origeny el siguiente plano arriba del eje c ubicado en c / 2, y por lo tanto, que nos da
A partir de esto es conveniente definir una variable ficticia , y a partir de ahí considere el módulo al cuadrado, por lo tanto
Esto nos lleva a las siguientes condiciones para el factor de estructura:
Cristales perfectos en una y dos dimensiones
La celosía recíproca se construye fácilmente en una dimensión: para partículas en una línea con un período , la celosía recíproca es una matriz infinita de puntos con espaciado . En dos dimensiones, solo hay cinco celosías Bravais . Las celosías recíprocas correspondientes tienen la misma simetría que la celosía directa. Las celosías 2-D son excelentes para demostrar geometría de difracción simple en una pantalla plana, como se muestra a continuación. Ecuaciones (1) - (7) para el factor de estructura aplicar con un vector de dispersión de dimensionalidad limitada y un factor de estructura cristalográfica se puede definir en 2-D como .
Sin embargo, recuerde que los cristales 2-D reales como el grafeno existen en 3-D. La celosía recíproca de una hoja hexagonal 2-D que existe en el espacio 3-D en el plano es una matriz hexagonal de líneas paralelas al o eje que se extiende a e intersecar cualquier plano de constante en una matriz hexagonal de puntos.
La Figura muestra la construcción de un vector de una red recíproca 2-D y su relación con un experimento de dispersión.
Un haz paralelo, con vector de onda es incidente en una celosía cuadrada de parámetro . La onda dispersa se detecta en un cierto ángulo, que define el vector de onda del haz saliente,(bajo el supuesto de dispersión elástica ,). También se puede definir el vector de dispersión y construye el patrón armónico . En el ejemplo representado, el espaciado de este patrón coincide con la distancia entre filas de partículas:, de modo que las contribuciones a la dispersión de todas las partículas estén en fase (interferencia constructiva). Por lo tanto, la señal total en la dirección es fuerte, y pertenece a la celosía recíproca. Se muestra fácilmente que esta configuración cumple la ley de Bragg .
Cristales imperfectos
Técnicamente, un cristal perfecto debe ser infinito, por lo que un tamaño finito es una imperfección. Los cristales reales siempre exhiben imperfecciones de su orden además de su tamaño finito, y estas imperfecciones pueden tener efectos profundos en las propiedades del material. André Guinier [5] propuso una distinción ampliamente empleada entre las imperfecciones que preservan el orden de largo alcance del cristal que él llamó desorden del primer tipo y las que lo destruyen llamó desorden del segundo tipo . Un ejemplo del primero es la vibración térmica; un ejemplo del segundo es cierta densidad de dislocaciones.
El factor de estructura generalmente aplicable se puede utilizar para incluir el efecto de cualquier imperfección. En cristalografía, estos efectos se tratan como algo separado del factor de estructura., por lo que se introducen factores separados para el tamaño o los efectos térmicos en las expresiones para la intensidad dispersa, dejando el factor de estructura cristalina perfecta sin cambios. Por lo tanto, una descripción detallada de estos factores en el modelado de estructuras cristalográficas y la determinación de estructuras por difracción no es apropiada en este artículo.
Efectos de tamaño finito
Para un cristal finito significa que las sumas en las ecuaciones 1-7 están ahora sobre un finito . El efecto se demuestra más fácilmente con una red de puntos 1-D. La suma de los factores de fase es una serie geométrica y el factor de estructura se convierte en:
Esta función se muestra en la Figura para diferentes valores de . Cuando la dispersión de cada partícula está en fase, que es cuando la dispersión está en un punto de retícula recíproco, la suma de las amplitudes debe ser y así los máximos en intensidad son . Tomando la expresión anterior para y estimando el límite utilizando, por ejemplo, la regla de L'Hôpital ) muestra quecomo se ve en la Figura. En el punto medio (por evaluación directa) y el ancho del pico disminuye como . En el grande límite, los picos se vuelven infinitamente nítidos funciones delta de Dirac, la red recíproca de la red perfecta 1-D.
En cristalografía cuando se utiliza, es grande, y el efecto de tamaño formal sobre la difracción se toma como , que es la misma que la expresión para arriba cerca de los puntos de celosía recíprocos, . Usando la convolución, podemos describir la estructura cristalina real finita como [celosía] [base] función rectangular , donde la función rectangular tiene un valor 1 dentro del cristal y 0 fuera de él. Luego[estructura cristalina] = [enrejado] [base] [función rectangular]; es decir, esparciendo [celosía recíproca] [factor de estructura] [ función sinc ]. Por lo tanto, la intensidad, que es una función delta de la posición del cristal perfecto, se convierte en una funcionar alrededor de cada punto con un máximo , un ancho , área .
Trastorno del primer tipo
Este modelo de desorden en un cristal comienza con el factor de estructura de un cristal perfecto. En una dimensión por simplicidad y con N planos, comenzamos con la expresión anterior para una celosía finita perfecta, y luego este desorden solo cambiapor un factor multiplicativo, para dar [1]
donde el desorden se mide por el desplazamiento cuadrático medio de las posiciones desde sus posiciones en una celosía unidimensional perfecta: , es decir, , dónde es un pequeño (mucho menos que ) desplazamiento aleatorio. Para el desorden del primer tipo, cada desplazamiento aleatorioes independiente de los demás, y con respecto a una celosía perfecta. Así los desplazamientosno destruyas el orden de traslación del cristal. Esto tiene la consecuencia de que para cristales infinitos () el factor de estructura todavía tiene picos de Bragg de función delta - el ancho de pico todavía va a cero a medida que , con este tipo de desorden. Sin embargo, reduce la amplitud de los picos, y debido al factor de en el factor exponencial, reduce los picos en general mucho más que picos en pequeños .
La estructura se reduce simplemente por un y término dependiente del desorden porque todo desorden del primer tipo hace es difuminar los planos de dispersión, reduciendo efectivamente el factor de forma.
En tres dimensiones, el efecto es el mismo, la estructura se reduce nuevamente por un factor multiplicativo, y este factor a menudo se denomina factor de Debye-Waller . Tenga en cuenta que el factor Debye-Waller a menudo se atribuye al movimiento térmico, es decir, el se deben al movimiento térmico, pero cualquier desplazamiento aleatorio sobre una celosía perfecta, no solo los térmicos, contribuirá al factor Debye-Waller.
Trastorno del segundo tipo
Sin embargo, las fluctuaciones que hacen que las correlaciones entre pares de átomos disminuyan a medida que aumenta su separación, hacen que los picos de Bragg en el factor de estructura de un cristal se amplíen. Para ver cómo funciona esto, consideramos un modelo de juguete unidimensional: una pila de platos con espaciado medio. La derivación sigue a la del capítulo 9 del libro de texto de Guinier. [6] Este modelo ha sido pionero y aplicado a varios materiales por Hosemann y colaboradores [7] durante varios años. Guinier y ellos llamaron a este trastorno del segundo tipo, y Hosemann en particular se refirió a este orden cristalino imperfecto como orden paracristalino . El trastorno del primer tipo es la fuente del factor Debye-Waller .
Para derivar el modelo, comenzamos con la definición (en una dimensión) de la
Para empezar, consideraremos, por simplicidad, un cristal infinito, es decir, . Consideraremos un cristal finito con desorden del segundo tipo a continuación.
Para nuestro cristal infinito, queremos considerar pares de sitios de celosía. Para cada plano grande de un cristal infinito, hay dos vecinos planos de distancia, por lo que la doble suma anterior se convierte en una sola suma sobre pares de vecinos a ambos lados de un átomo, en posiciones y espaciados de celosía, tiempos . Por lo que entonces
dónde es la función de densidad de probabilidad para la separación de un par de aviones, separaciones de celosía. Para la separación de planos vecinos asumimos por simplicidad que las fluctuaciones alrededor del espaciado vecino medio de a son gaussianas, es decir, que
y también asumimos que las fluctuaciones entre un plano y su vecino, y entre este vecino y el próximo plano, son independientes. Luego es solo la convolución de dos s, etc. Como la convolución de dos gaussianos es solo otro gaussiano, tenemos que
La suma en es entonces solo una suma de las transformadas de Fourier de los gaussianos, por lo que
por . La suma es solo la parte real de la suma y así el factor de estructura del cristal infinito pero desordenado es
Esto tiene picos en los máximos , dónde . Estos picos tienen alturas
es decir, la altura de los picos sucesivos desciende como el orden del pico (y así ) al cuadrado. A diferencia de los efectos de tamaño finito que amplían los picos pero no disminuyen su altura, el desorden reduce las alturas de los picos. Tenga en cuenta que aquí asumimos que el desorden es relativamente débil, por lo que todavía tenemos picos relativamente bien definidos. Este es el límite, dónde . En este límite, cerca de un pico podemos aproximarnos, con y obtener
que es una función de Lorentzian o Cauchy , de FWHM, es decir, el FWHM aumenta como el cuadrado del orden de pico, y así como el cuadrado del factor de onda en la cima.
Finalmente, el producto de la altura del pico y el FWHM es constante y es igual a , en el límite. Para los primeros picos donde no es grande, esta es solo la límite.
Cristales finitos con desorden del segundo tipo
Para un cristal unidimensional de tamaño
donde el factor entre paréntesis proviene del hecho de que la suma está sobre pares de vecinos más cercanos (), próximos vecinos más cercanos (), ... y por un cristal de aviones, hay pares de vecinos más cercanos, pares de vecinos más próximos, etc.
Liquidos
A diferencia de los cristales, los líquidos no tienen un orden de largo alcance (en particular, no hay una red regular), por lo que el factor de estructura no presenta picos agudos. Sin embargo, muestran un cierto grado de orden de corto alcance , dependiendo de su densidad y de la fuerza de la interacción entre partículas. Los líquidos son isotrópicos, por lo que, después de la operación de promediado en la ecuación ( 4 ), el factor de estructura solo depende de la magnitud absoluta del vector de dispersión.. Para una evaluación adicional, es conveniente separar los términos diagonales en la doble suma, cuya fase es idénticamente cero, y por lo tanto cada uno aporta una constante unitaria:
- .
( 9 )
Se puede obtener una expresión alternativa para en términos de la función de distribución radial : [8]
- .
( 10 )
Gas ideal
En el caso límite de que no haya interacción, el sistema es un gas ideal y el factor de estructura carece completamente de características:, porque no hay correlación entre las posiciones y de diferentes partículas (son variables aleatorias independientes ), por lo que los términos fuera de la diagonal en la Ecuación ( 9 ) promedian a cero:.
Elevado- límite
Incluso para partículas que interactúan, en un vector de alta dispersión el factor de estructura va a 1. Este resultado se sigue de la Ecuación ( 10 ), ya quees la transformada de Fourier de la función "regular" y así va a cero para valores altos del argumento . Este razonamiento no es válido para un cristal perfecto, donde la función de distribución exhibe picos infinitamente nítidos.
Bajo- límite
En el bajolímite, ya que el sistema se prueba a grandes escalas de longitud, el factor de estructura contiene información termodinámica, que se relaciona con la compresibilidad isotérmica del líquido por la ecuación de compresibilidad :
- .
Líquidos de esfera dura
En el modelo de esfera dura , las partículas se describen como esferas impenetrables con radio; por lo tanto, su distancia de centro a centroy no experimentan interacción más allá de esta distancia. Su potencial de interacción se puede escribir como:
Este modelo tiene una solución analítica [9] en la aproximación de Percus-Yevick . Aunque muy simplificado, proporciona una buena descripción para sistemas que van desde metales líquidos [10] hasta suspensiones coloidales. [11] En una ilustración, el factor de estructura para un fluido de esfera dura se muestra en la Figura, para fracciones de volumen. del 1% al 40%.
Polímeros
En los sistemas poliméricos , se cumple la definición general ( 4 ); los constituyentes elementales son ahora los monómeros que forman las cadenas. Sin embargo, siendo el factor de estructura una medida de la correlación entre las posiciones de las partículas, se puede esperar razonablemente que esta correlación sea diferente para los monómeros que pertenecen a la misma cadena o a cadenas diferentes.
Supongamos que el volumen contiene moléculas idénticas, cada una compuesta de monómeros, tales que (también se conoce como el grado de polimerización ). Podemos reescribir ( 4 ) como:
- ,
( 11 )
donde los índices etiquetar las diferentes moléculas y los diferentes monómeros a lo largo de cada molécula. En el lado derecho separamos intramolecular () e intermolecular () términos. Utilizando la equivalencia de las cadenas, ( 11 ) se puede simplificar: [12]
- ,
( 12 )
dónde es el factor de estructura de una sola cadena.
Ver también
- Factor R (cristalografía)
- Función de Patterson
Notas
- ↑ a b c d Warren, BE (1969). De rayos X de difracción . Addison Wesley.
- ^ Cowley, JM (1992). Técnicas de difracción de electrones Vol 1 . Oxford Science. ISBN 9780198555582.
- ^ Egami, T .; Billinge, SJL (2012). Debajo de los picos de Bragg: análisis estructural de material complejo (2ª ed.). Elsevier. ISBN 9780080971339.
- ^ "Factor de estructura" . Diccionario en línea de CRISTALOGRAFÍA . IUCr . Consultado el 15 de septiembre de 2016 .
- ^ Ver Guinier, capítulos 6-9
- ^ Guinier, A (1963). Difracción de Rayos X . San Francisco y Londres: WH Freeman.
- ^ Lindenmeyer, PH; Hosemann, R. (1963). "Aplicación de la teoría de los paracristales al análisis de la estructura cristalina del poliacrilonitrilo" . Revista de Física Aplicada . 34 : 42. Código Bibliográfico : 1963JAP .... 34 ... 42L . doi : 10.1063 / 1.1729086 . Archivado desde el original el 17 de agosto de 2016.
- ^ Ver Chandler, sección 7.5.
- ^ Wertheim, M. (1963). "Solución exacta de la ecuación integral de Percus-Yevick para esferas duras". Cartas de revisión física . 10 (8): 321. Código Bibliográfico : 1963PhRvL..10..321W . doi : 10.1103 / PhysRevLett.10.321 .
- ^ Ashcroft, N .; Lekner, J. (1966). "Estructura y resistividad de metales líquidos". Revisión física . 145 : 83. Bibcode : 1966PhRv..145 ... 83A . doi : 10.1103 / PhysRev.145.83 .
- ^ Pusey, PN; Van Megen, W. (1986). "Comportamiento de fase de suspensiones concentradas de esferas coloidales casi duras". Naturaleza . 320 (6060): 340. Bibcode : 1986Natur.320..340P . doi : 10.1038 / 320340a0 .
- ^ Ver Teraoka, Sección 2.4.4.
Referencias
- Als-Nielsen, N. y McMorrow, D. (2011). Elementos de la física moderna de rayos X (segunda edición). John Wiley e hijos.
- Guinier, A. (1963). Difracción de rayos X. En Cristales, Cristales Imperfectos y Cuerpos Amorfos. WH Freeman y Co.
- Chandler, D. (1987). Introducción a la mecánica estadística moderna . Prensa de la Universidad de Oxford.
- Hansen, JP y McDonald, IR (2005). Teoría de los líquidos simples (3ª edición). Prensa académica.
- Teraoka, I. (2002). Soluciones de polímeros: una introducción a las propiedades físicas. John Wiley e hijos.
enlaces externos
- Tutorial de Structure Factor ubicado en la Universidad de York .
- Definicion de F h k l {\ Displaystyle F_ {hkl}} por IUCr
- Aprendiendo Cristalografía, del CSIC