conjunto estacionario

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En matemáticas , específicamente la teoría de conjuntos y la teoría de modelos , un conjunto estacionario es un conjunto que no es demasiado pequeño en el sentido de que interseca a todos los conjuntos del club , y es análogo a un conjunto de medida distinta de cero en la teoría de la medida . Hay al menos tres nociones estrechamente relacionadas de conjunto estacionario, dependiendo de si uno está mirando subconjuntos de un ordinal , o subconjuntos de algo de cardinalidad dada , o un conjunto de potencia .

Si es un cardenal de cofinalidad incontable , e interseca a todos los conjuntos de tréboles, entonces se llama conjunto estacionario . ^[1] Si un conjunto no es estacionario, entonces se le llama conjunto delgado . Esta noción no debe confundirse con la noción de un conjunto delgado en la teoría de números .${\ estilo de visualización \ kappa}$ ${\displaystyle S\subseteq \kappa,}$${\ estilo de visualización S}$ ${\ estilo de visualización \ kappa,}$${\ estilo de visualización S}$

Si es un conjunto estacionario y es un conjunto club, entonces su intersección también es estacionaria. Esto se debe a que si es un conjunto de tréboles, entonces es un conjunto de tréboles, por lo que no está vacío. Por lo tanto, debe ser estacionario.${\ estilo de visualización S}$${\ estilo de visualización C}$${\displaystyle S\cap C}$${\ estilo de visualización D}$${\displaystyle C\cap D}$${\displaystyle (S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)}$${\ estilo de visualización (S \ cap C)}$

La restricción a la cofinalidad incontable es para evitar trivialidades: Supongamos que tiene cofinalidad contable. Entonces es estacionario en si y solo si está acotado en . En particular, si la cofinalidad de es , entonces dos subconjuntos estacionarios de tienen intersección estacionaria.${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ Displaystyle S \ subseteq \ kappa}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ kappa \ setminus S}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\displaystyle \omega =\aleph _{0}}$${\ estilo de visualización \ kappa}$

Este ya no es el caso si la cofinalidad de es incontable. De hecho, supongamos que además es regular y estacionario. Luego se puede dividir en muchos conjuntos estacionarios separados. Este resultado se debe a Solovay . Si es un cardenal sucesor , este resultado se debe a Ulam y se muestra fácilmente mediante lo que se llama una matriz de Ulam .${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ Displaystyle S \ subseteq \ kappa}$${\ estilo de visualización S}$${\ estilo de visualización \ kappa}$${\ estilo de visualización \ kappa}$

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