En geometría triangular , el punto de Steiner es un punto particular asociado con un triángulo . [1] Es un centro triangular [2] y está designado como el centro X (99) en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling . Jakob Steiner (1796-1863), matemático suizo, describió este punto en 1826. Joseph Neuberg le dio el nombre de Steiner en 1886. [2] [3]
Definición
El punto Steiner se define de la siguiente manera. (Esta no es la forma en que Steiner lo definió. [2] )
- Sea ABC cualquier triángulo dado. Sea O el circuncentro y K el punto simmediano del triángulo ABC . El círculo con OK como diámetro es el círculo de Brocard del triángulo ABC . La línea que pasa por O perpendicular a la línea BC interseca el círculo de Brocard en otro punto A ' . La línea que pasa por O perpendicular a la línea CA interseca el círculo de Brocard en otro punto B ' . La línea que pasa por O perpendicular a la línea AB interseca el círculo de Brocard en otro punto C ' . (El triángulo A'B'C ' es el triángulo de Brocard del triángulo ABC .) Sea L A la línea que pasa por A paralela a la línea B'C' , L B la línea que pasa por B paralela a la línea C'A ' y L C será la línea que pasa por C paralela a la línea A'B ' . Entonces las tres líneas L A , L B y L C son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto Steiner del triángulo ABC .
En la Enciclopedia de centros triangulares, el punto de Steiner se define de la siguiente manera;
- Sea ABC cualquier triángulo dado. Sea O el circuncentro y K el punto simmediano del triángulo ABC . Sea l A el reflejo de la línea OK en la línea BC , l B sea el reflejo de la línea OK en la línea CA y l C sea el reflejo de la línea OK en la línea AB . Deje que las líneas l B y l C se crucen en A ″ , las líneas l C y l A se intersecan en B ″ y las líneas l A y l B se intersecan en C ″ . Entonces las líneas AA ″ , BB ″ y CC ″ son concurrentes. El punto de concurrencia es el punto Steiner del triángulo ABC .
Coordenadas trilineales
Las coordenadas trilineales del punto de Steiner se dan a continuación.
- ( bc / ( b 2 - c 2 ): ca / ( c 2 - a 2 ): ab / ( a 2 - b 2 ))
- = ( B 2 c 2 csc ( B - C): c 2 un 2 csc ( C - A ): un 2 b 2 csc ( A - B ))
Propiedades
- El circumellipse Steiner de triángulo ABC , también llamada la elipse Steiner, es la elipse de menos área que pasa a través de los vértices A , B y C . El punto Steiner del triángulo ABC se encuentra en la circunferencia de Steiner del triángulo ABC .
- Honsberger declaró lo siguiente como una propiedad del punto de Steiner: El punto de Steiner de un triángulo es el centro de masa del sistema obtenido al suspender en cada vértice una masa igual a la magnitud del ángulo exterior en ese vértice. [4] El centro de masa de tal sistema no es de hecho el punto de Steiner, sino el centroide de curvatura de Steiner , que tiene las coordenadas trilineales. [5] Es el centro del triángulo designado como X (1115) en Encyclopedia of Triangle Centers .
- La línea de Simson del punto Steiner de un triángulo ABC es paralela a la línea OK donde O es el circuncentro y K es el punto simmmediano del triángulo ABC .
Punto de espera
El punto Tarry de un triángulo está estrechamente relacionado con el punto Steiner del triángulo. Sea ABC cualquier triángulo dado. El punto en la circunferencia del triángulo ABC diametralmente opuesto al punto Steiner del triángulo ABC se llama el punto Tarry del triángulo ABC . El punto Tarry es un centro triangular y se designa como el centro X (98) en la Enciclopedia de centros triangulares . Las coordenadas trilineales del punto Tarry se dan a continuación:
- (seg ( A + ω): seg ( B + ω): seg ( C + ω)),
- = ( f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b )),
- donde f ( a , b , c ) = bc / ( b 4 + c 4 - a 2 b 2 - a 2 c 2 )
Similar a la definición del punto de Steiner, el punto de Tarry se puede definir de la siguiente manera:
- Sea ABC cualquier triángulo dado. Sea A'B'C ' el triángulo de Brocard del triángulo ABC . Sea L A la línea que pasa por A perpendicular a la línea B'C ' , L B es la línea que pasa por B perpendicular a la línea C'A' y L C es la línea que pasa por C perpendicular a la línea A'B ' . Entonces las tres líneas L A , L B y L C son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto Tarry del triángulo ABC .
Referencias
- ^ Paul E. Black. "Punta Steiner" . Diccionario de algoritmos y estructuras de datos . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU . Consultado el 17 de mayo de 2012 .
- ^ a b c Kimberling, Clark. "Punta Steiner" . Consultado el 17 de mayo de 2012 .
- ^ J. Neuberg (1886). "Sur le point de Steiner". Journal de mathématiques spéciales : 29.
- ^ Honsberger, Ross (1965). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . La Asociación Matemática de América. págs. 119-124.
- ^ Eric W., Weisstein. "Centroide de curvatura de Steiner" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 17 de mayo de 2012 .