En geometría , la elipse de Steiner de un triángulo , también llamada circumellipse de Steiner para distinguirla de la inellipse de Steiner , es la circumellipse única ( elipse que toca el triángulo en sus vértices ) cuyo centro es el centroide del triángulo . [1] El nombre de Jakob Steiner , es un ejemplo de un circumcónico . En comparación, el circuncírculo de un triángulo es otro circuncónico que toca el triángulo en sus vértices, pero no está centrado en el centroide del triángulo a menos que el triángulo estéequilátero .
El área de la elipse de Steiner es igual al área del triángulo multiplicado por y por lo tanto es 4 veces el área de Steiner inellipse. La elipse de Steiner tiene la menor área de cualquier elipse circunscrita alrededor del triángulo. [1]
La elipse de Steiner es la inelipse de Steiner escalada (factor 2, el centro es el centroide). Por tanto, ambas elipses son similares (tienen la misma excentricidad ).
Propiedades
- Una elipse de Steiner es la única elipse, cuyo centro es el centroide de un triangulo y contiene los puntos . El área de la elipse de Steiner es-pliegue del área del triángulo.
- Prueba
A) Para un triángulo equilátero, la elipse de Steiner es el círculo circunferencial , que es la única elipse, que cumple las condiciones previas. La elipse deseada debe contener el triángulo reflejado en el centro de la elipse. Esto es cierto para la circunferencia. Una cónica está determinada únicamente por 5 puntos. Por tanto, la circunferencia es la única elipse de Steiner.
B) Debido a que un triángulo arbitrario es la imagen afín de un triángulo equilátero, una elipse es la imagen afín del círculo unitario y el centroide de un triángulo se asigna al centroide del triángulo de la imagen, la propiedad (una circunferencia única con el centroide como centro) es cierto para cualquier triángulo.
El área de la circunferencia de un triángulo equilátero es -pliegue del área del triángulo. Un mapa afín conserva la proporción de áreas. Por lo tanto, el enunciado sobre la razón es verdadero para cualquier triángulo y su elipse de Steiner.
Determinación de puntos conjugados
Se puede dibujar una elipse (por computadora oa mano), si además del centro se conocen al menos dos puntos conjugados en diámetros conjugados. En este caso
- cualquiera de los dos determina mediante la construcción de Rytz los vértices de la elipse y dibuja la elipse con una brújula de elipse adecuada
- o utiliza una representación paramétrica para dibujar la elipse.
Permitir un triángulo y su centroide . El mapeo de corte con eje mediante y paralelo a transforma el triángulo en el triángulo isósceles (ver diagrama). Punto es un vértice de la elipse de triángulo de Steiner . Un segundo vértice de esta elipse se encuentra en , porque es perpendicular a (razones de simetría). Este vértice se puede determinar a partir de los datos (elipse con centro mediante y , ) por cálculo . Resulta que
O dibujando : usando el método de de la Hire (ver diagrama central) vértice de la elipse de Steiner del triángulo isósceles está determinado.
Los mapas de mapeo de corte inverso de regreso y punto es fijo, porque es un punto en el eje de corte. Por lo tanto, semi diámetro es conjugado a .
Con la ayuda de este par de semi diámetros conjugados, la elipse se puede dibujar, a mano o por computadora.
Representación y ecuación paramétrica
Dado: Triángulo
Se busca: representación paramétrica y ecuación de su elipse de Steiner
El centroide del triángulo es
Representación paramétrica:
De la investigación de la sección anterior se obtiene la siguiente representación paramétrica de la elipse de Steiner:
- Los cuatro vértices de la elipse son dónde viene de
- con (ver elipse ).
Los roles de los puntos para determinar la representación paramétrica se pueden cambiar.
Ejemplo (ver diagrama):.
Ecuación:
Si el origen es el centroide del triángulo (centro de la elipse de Steiner) la ecuación correspondiente a la representación paramétrica es
con . [2]
Ejemplo: el centroide del triánguloes el origen. De los vectores se obtiene la ecuación de la elipse de Steiner:
Determinación de los semiejes y excentricidad lineal
Si ya se conocen los vértices (ver arriba), se pueden determinar los semiejes. Si uno está interesado solo en los ejes y la excentricidad, el siguiente método es más apropiado:
Permitir los semiejes de la elipse de Steiner. Del teorema de Apollonios sobre las propiedades de los semi diámetros conjugados de elipses se obtiene:
Denotando los lados derechos de las ecuaciones por y respectivamente y transformando el sistema no lineal (respetando ) lleva a:
Resolviendo para y uno obtiene los semi ejes :
con .
La excentricidad lineal de la elipse de Steiner es
y el area
Uno no debe confundir en esta sección con otros significados en este artículo!
Ecuación trilineal
La ecuación de la circumellipse de Steiner en coordenadas trilineales es [1]
para longitudes de lado a, b, c .
Cálculo alternativo de los semiejes y excentricidad lineal
Los ejes semi-mayor y semi-menor tienen longitudes [1]
y distancia focal
dónde
Los focos se denominan puntos de Bickart del triángulo.
Referencias
- ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/SteinerCircumellipse.html
- ^ CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), p. sesenta y cinco.
- Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: El universo de las cónicas , Springer 2016, ISBN 978-3-662-45449-7 , p. 383