En geometría , un sólido de Steinmetz es el cuerpo sólido obtenido como la intersección de dos o tres cilindros de igual radio en ángulos rectos. Cada una de las curvas de la intersección de dos cilindros es una elipse.
La intersección de dos cilindros se llama cilindro . Topológicamente, equivale a un hosoedro cuadrado . La intersección de tres cilindros se llama tricilíndrico . Un cilindro bisecado se llama bóveda , [1] y una bóveda de claustro en arquitectura tiene esta forma.
Los sólidos de Steinmetz llevan el nombre del matemático Charles Proteus Steinmetz , [2] quien resolvió el problema de determinar el volumen de la intersección. Sin embargo, el mismo problema había sido resuelto antes, por Arquímedes en el mundo griego antiguo, [3] [4] Zu Chongzhi en la antigua China, [5] y Piero della Francesca en el Renacimiento italiano temprano. [3]
Bicylinder
Un cilindro generado por dos cilindros con radio tiene el
- volumen
y el
La mitad superior de un cilindro es la caja cuadrada de una bóveda de cúpula, un sólido en forma de cúpula basado en cualquier polígono convexo cuyas secciones transversales son copias similares del polígono, y fórmulas análogas que calculan el volumen y el área de superficie de una bóveda de cúpula como un múltiplo racional del volumen y el área de la superficie de su prisma circundante se sostiene de manera más general. [7]
Prueba de la fórmula de volumen
Para derivar la fórmula del volumen es conveniente utilizar la idea común para calcular el volumen de una esfera : recolectar rodajas cilíndricas delgadas. En este caso, las rodajas finas son cuboides cuadrados (ver diagrama). Esto lleva a
- .
Es bien sabido que las relaciones de los volúmenes de un cono circular recto, la mitad de una esfera y un cilindro circular recto con los mismos radios y alturas son 1: 2: 3. Para la mitad de un cilindro, una afirmación similar es verdadera:
- Las relaciones de los volúmenes de la pirámide cuadrada inscrita (), el medio cilindro () y el cuboide cuadrado circundante () son 1: 2: 3.
Usar cálculo multivariable
Considere las ecuaciones de los cilindros:
El volumen vendrá dado por:
Con los límites de la integración:
Sustituyendo, tenemos:
Prueba de la fórmula del área
El área de la superficie consta de dos triángulos cilíndricos rojos y dos azules. Un triángulo rojo se corta en mitades por el plano yz y se desarrolla en el plano tal que el semicírculo (intersección con el plano yz) se desarrolla en el positivo-eje y el desarrollo del biangulo está limitado hacia arriba por el arco sinusoidal . Por lo tanto, el área de este desarrollo es
y la superficie total es:
- .
Prueba alternativa de la fórmula de volumen
La derivación del volumen de un cilindro (blanco) se puede hacer empaquetándolo en un cubo (rojo). Un plano (paralelo a los ejes de los cilindros) que se cruza con el cilindro forma un cuadrado y su intersección con el cubo es un cuadrado más grande. La diferencia entre las áreas de los dos cuadrados es la misma que 4 cuadrados pequeños (azul). A medida que el avión se mueve a través de los sólidos, estos cuadrados azules describen pirámides cuadradas con caras isósceles en las esquinas del cubo; las pirámides tienen sus vértices en los puntos medios de los cuatro bordes del cubo. Mover el avión a través de todo el cilindro describe un total de 8 pirámides.
El método de Zu Chongzhi (similar al principio de Cavalieri ) para calcular el volumen de una esfera incluye calcular el volumen de un cilindro.
Relación del área de una sección de cilindro con una sección de cubo
El volumen del cubo (rojo) menos el volumen de las ocho pirámides (azul) es el volumen del cilindro (blanco). El volumen de las 8 pirámides es:, y luego podemos calcular que el volumen del cilindro es
Tricilindro
La intersección de tres cilindros con ejes que se cruzan perpendicularmente genera una superficie de un sólido con vértices donde se encuentran 3 aristas y vértices donde se encuentran 4 aristas. El conjunto de vértices se puede considerar como las aristas de un dodecaedro rómbico . La clave para determinar el volumen y el área de la superficie es la observación de que el cubo puede volver a muestrear el tricilíndrico con los vértices donde se encuentran 3 aristas (diagrama s.) Y 6 pirámides curvas (los triángulos son partes de superficies cilíndricas). El volumen y el área de la superficie de los triángulos curvos se pueden determinar mediante consideraciones similares a las del cilindro de arriba. [1] [6]
El volumen de un tricilíndrico es
y la superficie es
Más cilindros
Con cuatro cilindros, con ejes que conectan los vértices de un tetraedro con los puntos correspondientes en el otro lado del sólido, el volumen es [1] [6]
Con seis cilindros, con ejes paralelos a las diagonales de las caras de un cubo , el volumen es: [1] [6]
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e Weisstein, Eric W. "Steinmetz Solid" . MathWorld .
- ^ Howard Eves, Slicing it thin, en: David Klarner, El matemático Gardner, Wadsworth International 1981, S. 111
- ^ a b Peterson, Mark A. (1997). "La geometría de Piero della Francesca". El inteligente matemático . 19 (3): 33–40. doi : 10.1007 / BF03025346 . Señor 1475147 .
- ^ Jan Hogendijk (2002). "La superficie del cilindro y el método de Arquímedes" . Historia Mathematica . 29 (2): 199–203. doi : 10.1006 / hmat.2002.2349 . Señor 1896975 .
- ^ Swetz, Frank J. (febrero de 1995). "El volumen de una esfera: una derivación china". El profesor de matemáticas . 88 (2): 142-145. JSTOR 27969235 .
- ^ a b c d Moore, M. (1974). "Intersecciones simétricas de cilindros circulares rectos". La Gaceta Matemática . 58 (405): 181-185. doi : 10.2307 / 3615957 . JSTOR 3615957 .
- ^ Apostol, Tom M .; Mnatsakanian, Mamikon A. (2006). "Sólidos que circunscriben esferas" (PDF) . American Mathematical Monthly . 113 (6): 521–540. doi : 10.2307 / 27641977 . JSTOR 27641977 . Señor 2231137 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de febrero de 2012 . Consultado el 25 de marzo de 2007 .
enlaces externos
- Un modelo 3D de Steinmetz sólido en Google 3D Warehouse