En la teoría matemática de la elasticidad , la condición de compatibilidad de Saint-Venant define la relación entre la deformación y un campo de desplazamiento por
dónde . Barré de Saint-Venant derivó la condición de compatibilidad para que un campo tensorial simétrico arbitrario de segundo rango sea de esta forma, esto ahora se ha generalizado a campos tensores simétricos de rango superior en espacios de dimensión
Campos de tensor de rango 2
Para un campo tensorial simétrico de rango 2 en el espacio euclidiano n-dimensional () la condición de integrabilidad toma la forma de la desaparición del tensor de Saint-Venant [1] definido por
El resultado de que, en un simplemente conectado dominio W = 0 implica que la cepa es el derivado simétrico de algún campo de vector, fue descrito por primera vez por Barré de Saint-Venant en 1864 y demostró ser rigurosamente Beltrami en 1886. [2] Para no simplemente dominios conectados hay espacios de dimensión finita de tensores simétricos con el tensor de Saint-Venant que se desvanece y que no son la derivada simétrica de un campo vectorial. La situación es análoga a la cohomología de De Rham [3]
El tensor de Saint-Venant está estrechamente relacionado con el tensor de curvatura de Riemann . De hecho, la primera variación sobre la métrica euclidiana con una perturbación en la métrica es precisamente . [4] En consecuencia, el número de componentes independientes de es lo mismo que [5] específicamentepara la dimensión n. [6] Específicamente para, tiene solo un componente independiente donde, en cuanto a hay seis.
En su forma más simple, por supuesto, los componentes de debe asumirse dos veces continuamente diferenciable, pero un trabajo más reciente [2] demuestra el resultado en un caso mucho más general.
La relación entre la condición de compatibilidad de Saint-Venant y el lema de Poincaré puede entenderse más claramente utilizando una forma reducida deel tensor de Kröner [5]
dónde es el símbolo de permutación . Para, es un campo tensorial simétrico de rango 2. La desaparición de es equivalente a la desaparición de y esto también muestra que hay seis componentes independientes para el caso importante de las tres dimensiones. Si bien esto todavía involucra dos derivadas en lugar de la del lema de Poincaré, es posible reducir a un problema que involucra primeras derivadas introduciendo más variables y se ha demostrado que el 'complejo de elasticidad' resultante es equivalente al complejo de Rham . [7]
En geometría diferencial, la derivada simetrizada de un campo vectorial aparece también como la derivada de Lie del tensor métrico g con respecto al campo vectorial.
donde los índices que siguen a un punto y coma indican diferenciación covariante. La desaparición de es, pues, la condición de integrabilidad para la existencia local de en el caso euclidiano. Como se señaló anteriormente, esto coincide con la desaparición de la linealización del tensor de curvatura de Riemann sobre la métrica euclidiana.
Generalización a tensores de rango superior
La condición de compatibilidad de Saint-Venant se puede considerar como un análogo, para campos tensoriales simétricos, del lema de Poincaré para campos tensoriales simétricos sesgados ( formas diferenciales ). El resultado se puede generalizar a campos de tensores simétricos de rango superior . [8] Sea F un campo tensorial de rango k simétrico en un conjunto abierto en un espacio euclidiano n-dimensional , entonces la derivada simétrica es el campo tensorial de rango k + 1 definido por
donde usamos la notación clásica de que los índices que siguen a una coma indican diferenciación y los grupos de índices encerrados entre corchetes indican simetrización sobre esos índices. El tensor de Saint-Venant de un campo tensorial de rango k simétrico es definido por
con
En un dominio simplemente conectado en el espacio euclidiano implica que para algún campo tensor simétrico de rango k-1 .
Referencias
- ^ NI Muskhelishvili, Algunos problemas básicos de la teoría matemática de la elasticidad. Leyden: Pasante de Noordhoff. Publ., 1975.
- ^ a b C Amrouche, PG Ciarlet , L Gratie, S Kesavan, Sobre las condiciones de compatibilidad de Saint Venant y el lema de Poincaré, CR Acad. Sci. París, Ser. Yo, 342 (2006), 887-891. doi : 10.1016 / j.crma.2006.03.026
- ^ Giuseppe Geymonat, Francoise Krasucki, Descomposición de Hodge para campos matriciales simétricos y el complejo de elasticidad en dominios de Lipschitz, COMUNICACIONES SOBRE ANÁLISIS PURO Y APLICADO, Volumen 8, Número 1, enero de 2009, págs. 295-309 doi : 10.3934 / cpaa.2009.8. 295
- ^ Philippe G. Ciarlet, Cristinel Mardare, Ming Shen, Recuperación de un campo de desplazamiento de su campo de tensor de deformación linealizado en coordenadas curvilíneas, CR Acad. Sci. París, Ser. I 344 (2007) 535–540
- ^ a b DV Georgiyecskii y B. Ye. Pobedrya, El número de ecuaciones de compatibilidad independientes en la mecánica de sólidos deformables, Journal of Applied Mathematicsand Mechanics, 68 (2004) 941-946
- ^ Weisstein, Eric W. Riemann Tensor. De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html
- ^ M Eastwood, Un complejo de elasticidad lineal, Rendiconti del circolo Mathico di Palermo, Ser II Suppl 63 (2000), pp23-29
- ^ VA Sharafutdinov, Geometría integral de campos tensores, VSP 1994, ISBN 90-6764-165-0 . Capítulo 2. versión en línea