En matemáticas , un espacio estrictamente convexo es un espacio vectorial normalizado ( X , || ||) para el cual la bola unitaria cerrada es un conjunto estrictamente convexo . Dicho de otra manera, un espacio estrictamente convexa es uno para el que, dado cualquier dos puntos distintos x y y en la unidad de esfera ∂ B (es decir, el límite de la bola unidad B de X ), el segmento de unión x y y cumple ∂ B solamente en x y y. La convexidad estricta se encuentra en algún lugar entre un espacio de producto interno (todos los espacios de producto interno son estrictamente convexos) y un espacio normado general en términos de estructura. También garantiza la unicidad de una mejor aproximación a un elemento en X (estrictamente convexo) fuera de un subespacio convexo Y , siempre que exista tal aproximación.
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Si el espacio normado X es completo y satisface la propiedad ligeramente más fuerte de ser uniformemente convexo (lo que implica convexidad estricta), entonces también es reflexivo según el teorema de Milman-Pettis .
Propiedades
Las siguientes propiedades son equivalentes a la convexidad estricta.
- Un espacio vectorial normalizado ( X , || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y || x || = || y || = 1 juntos implican que || x + y || <2.
- Un espacio vectorial normalizado ( X , || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ y y || x || = || y || = 1 juntos implican que || αx + (1 - α ) y || <1 para todo 0 < α <1.
- Un espacio vectorial normalizado ( X , || ||) es estrictamente convexo si y solo si x ≠ 0 y y ≠ 0 y || x + y || = || x || + || y || juntos implican que x = cy para alguna constante c> 0 ;
- Un espacio vectorial normalizado ( X , || ||) es estrictamente convexo si y solo si el módulo de convexidad δ para ( X , || ||) satisface δ (2) = 1.
Ver también
Referencias
- Goebel, Kazimierz (1970). "Convexidad de bolas y teoremas de coma fija para mapeos con cuadrado no expansivo". Compositio Mathematica . 22 (3): 269-274.