Un número estrictamente no palindrómico es un número entero n que no es palindrómico en ningún sistema numérico posicional con una base b en el rango 2 ≤ b ≤ n - 2. Por ejemplo, el número 6 se escribe como "110" en base 2 , "20" en la base 3 y "12" en la base 4 , ninguno de los cuales es un palíndromo, por lo que 6 es estrictamente no palindrómico.
Definición
Una representación de un número n en base b , donde b > 1 yn > 0, es una secuencia de k +1 dígitos a i (0 ≤ i ≤ k ) tal que
y 0 ≤ a i < b para todo i y a k ≠ 0.
Tal representación se define como palindrómica si a i = a k - i para todo i .
Un número n se define como estrictamente no palindrómico si la representación de n no es palindrómica en ninguna base b donde 2 ≤ b ≤ n -2.
La secuencia de números estrictamente no palindrómicos (secuencia A016038 en la OEIS ) comienza:
- 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 11 , 19 , 47 , 53 , 79 , 103 , 137 , 139 , 149 , 163 , 167 , 179 , 223 , 263 , 269 , 283 , 293 , 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...
Por ejemplo, el número 19 escrito en base 2 a 17 es:
B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 dieciséis 17 19 en base b 10011 201 103 34 31 25 23 21 19 18 17 dieciséis 15 14 13 12
Ninguno de estos es un palíndromo, por lo que 19 es un número estrictamente no palindrómico.
La razón del límite superior de n - 2 en la base es que todos los números son trivialmente palindrómicos en bases grandes:
- En base b = n - 1, n ≥ 3 se escribe "11".
- En cualquier base b > n , n es un solo dígito, por lo que es palindrómico en todas esas bases.
Por tanto, se puede ver que el límite superior de n - 2 es necesario para obtener una definición matemáticamente "interesante".
Para n <4, el rango de bases está vacío, por lo que estos números son estrictamente no palindrómicos de una manera trivial.
Propiedades
Todos los números estrictamente no palindrómicos mayores de 6 son primos . Se puede demostrar que un compuesto n > 6 no puede ser estrictamente no palindrómico como sigue. Para cada uno de tales n se muestra que existe una base en la que n es palindrómico.
- Si n es par y mayor que 6, entonces n se escribe "22" (un palíndromo) en base n / 2 - 1. (Tenga en cuenta que si n es menor o igual a 6, la base n / 2 - 1 sería menor que 3, por lo que el dígito "2" no podría aparecer en la representación de n .)
- Si n es impar y mayor que 1, escribe n = p · m , donde p es el factor primo más pequeño de n . Claramente p ≤ m (ya que n es compuesto).
- Si p = m (es decir, n = p 2 ), hay dos casos:
- Si p = 3, entonces n = 9 se escribe "1001" (un palíndromo) en base 2.
- Si p > 3, entonces n se escribe "121" (un palíndromo) en base p - 1.
- p no puede ser igual a m - 1 porque tanto p como m son impares, entonces p < m - 1. Entonces n se puede escribir como el número de dos dígitos pp en base m - 1.
- Si p = m (es decir, n = p 2 ), hay dos casos:
Referencias
- Secuencia A016038 de la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros