Propiedad de Markov

En teoría de probabilidad y estadística , el término propiedad de Markov se refiere a la propiedad sin memoria de un proceso estocástico . Lleva el nombre del matemático ruso Andrey Markov . ^[1] El término propiedad fuerte de Markov es similar a la propiedad de Markov, excepto que el significado de "presente" se define en términos de una variable aleatoria conocida como tiempo de parada .

El término suposición de Markov se utiliza para describir un modelo en el que se supone que se cumple la propiedad de Markov, como un modelo oculto de Markov .

Un campo aleatorio de Markov extiende esta propiedad a dos o más dimensiones o a variables aleatorias definidas para una red de elementos interconectados. ^[2] Un ejemplo de un modelo para tal campo es el modelo de Ising .

Un proceso estocástico tiene la propiedad de Markov si la distribución de probabilidad condicional de los estados futuros del proceso (condicional a valores pasados ​​y presentes) depende únicamente del estado presente; es decir, dado el presente, el futuro no depende del pasado. Un proceso con esta propiedad se dice que es markoviano o un proceso de Markov . El proceso de Markov más famoso es una cadena de Markov . El movimiento browniano es otro proceso de Markov bien conocido.

Sea un espacio de probabilidad con una filtración , para algún conjunto de índices ( totalmente ordenado ) ; y sea ​​un espacio medible . Se dice que un proceso estocástico valuado adaptado a la filtración posee la propiedad de Markov si, para todos y cada uno con ,${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{s},\s\in I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle X=\{X_{t}:\Omega \to S\}_{t\in I}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle s,t\in I}$${\displaystyle s<t}$

En el caso donde es un conjunto discreto con el álgebra sigma discreta y , esto se puede reformular de la siguiente manera:${\displaystyle S}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Una sola realización del movimiento browniano tridimensional para tiempos 0 ≤ t ≤ 2. El movimiento browniano tiene la propiedad de Markov, ya que el desplazamiento de la partícula no depende de sus desplazamientos pasados.