En la matemática campo de análisis funcional que hay varios estándar topologías que se dan a la álgebra B ( X ) de los operadores lineales acotadas en un espacio de Banach X .
Introducción
Dejar ser una secuencia de operadores lineales en el espacio de Banach X . Considere la afirmación de queconverge a algún operador T en X . Esto podría tener varios significados diferentes:
- Si , es decir, la norma del operador de (el supremo de , donde x se extiende sobre la bola unitaria en X ) converge a 0, decimos queen la topología de operador uniforme .
- Si para todos , entonces decimos en la topología de operador fuerte .
- Finalmente, suponga que para todo x ∈ X tenemosen la topología débil de X . Esto significa quepara todos los funcionales lineales F en X . En este caso decimos queen la topología de operador débil .
Lista de topologías en B ( H )
Hay muchas topologías que se pueden definir en B ( X ) además de las utilizadas anteriormente; la mayoría se definen al principio solo cuando X = H es un espacio de Hilbert, aunque en muchos casos hay generalizaciones apropiadas. Las topologías enumeradas a continuación son todas localmente convexas, lo que implica que están definidas por una familia de seminormas .
En el análisis, una topología se llama fuerte si tiene muchos conjuntos abiertos y débil si tiene pocos conjuntos abiertos, de modo que los modos de convergencia correspondientes son, respectivamente, fuerte y débil. (En la topología propiamente dicha, estos términos pueden sugerir el significado opuesto, por lo que fuerte y débil se reemplazan por, respectivamente, fino y grueso). El diagrama de la derecha es un resumen de las relaciones, con las flechas apuntando de fuerte a débil.
Si H es un espacio de Hilbert, el espacio de Hilbert B ( X ) tiene un predual (único) , que consta de los operadores de clase de rastreo, cuyo dual es B ( X ) . La seminorm p w ( x ) para w positivo en el predual se define como B ( w , x * x ) 1/2 .
Si B es un espacio vectorial de mapas lineales en el espacio vectorial A , entonces σ ( A , B ) se define como la topología más débil en A tal que todos los elementos de B son continuos.
- La topología de la norma o topología uniforme o topología operador uniforme se define por la norma usual || x || en B ( H ) . Es más fuerte que todas las demás topologías a continuación.
- La topología débil (espacio de Banach) es σ (B ( H ), B ( H ) * ) , en otras palabras, la topología más débil, de modo que todos los elementos del doble B ( H ) * son continuos. Es la topología débil en el espacio de Banach B ( H ) . Es más fuerte que las topologías de operador débiles y ultra débiles. (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil y la topología de operador débil y la topología ultradebil se denominan a veces topología débil, pero son diferentes).
- La topología de Mackey o la topología de Arens-Mackey es la topología convexa local más fuerte en B ( H ), de modo que el dual es B ( H ) * , y también es la topología de convergencia uniforme en Bσ (B ( H ) * , B ( H ) -subconjuntos convexos compactos de B ( H ) * . Es más fuerte que todas las topologías siguientes.
- La σ-fuerte * topología o ultrafuerte * topología es la topología más débil más fuerte que la topología ultrafuerte de tal manera que el mapa adjunto es continua. Se define por la familia de seminormas p w ( x ) y p w ( x * ) para los elementos positivos w de B ( H ) * . Es más fuerte que todas las topologías siguientes.
- La topología σ-fuerte o topología ultrafuerte o topología más fuerte o topología operador más fuerte se define por la familia de seminormas p w ( x ) para elementos positivos w de B ( H ) * . Es más fuerte que todas las topologías a continuación, excepto la topología fuerte * . Advertencia: a pesar del nombre "topología más fuerte", es más débil que la topología normal.)
- La topología σ-débil o topología ultradébil o débil * topología operador o débil * topología o topología débil o σ (B ( H ), B ( H ) * ) topología se define por la familia de seminormas | ( w , x ) | para elementos w de B ( H ) * . Es más fuerte que la topología de operador débil. (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil y la topología de operador débil y la topología ultradebil se denominan a veces topología débil, pero son diferentes).
- El fuerte * topología del operador o fuerte * topología se define por las seminormas || x ( h ) || y || x * ( h ) || para h ∈ H . Es más fuerte que las topologías de operador fuerte y débil.
- La topología de operador fuerte (SOT) o topología fuerte está definida por las seminormas || x ( h ) || para h ∈ H . Es más fuerte que la topología de operador débil.
- La topología de operador débil (WOT) o topología débil está definida por las seminormas | ( x ( h 1 ), h 2 ) | para h 1 , h 2 ∈ H . (Advertencia: la topología de espacio de Banach débil, la topología de operador débil y la topología ultradebil a veces se denominan topología débil, pero son diferentes).
Relaciones entre las topologías
Los funcionales lineales continuos en B ( H ) para las topologías débil, fuerte y fuerte * (operador) son los mismos, y son las combinaciones lineales finitas de los funcionales lineales (x h 1 , h 2 ) para h 1 , h 2 ∈ H . Los funcionales lineales continuos en B ( H ) para las topologías ultradebil, ultrafuerte, ultrafuerte * y Arens-Mackey son los mismos, y son los elementos del predual B ( H ) * .
Por definición, los funcionales lineales continuos en la topología normal son los mismos que los de la topología espacial débil de Banach. Este dual es un espacio bastante grande con muchos elementos patológicos.
En conjuntos delimitados por normas de B ( H ) , las topologías débil (operador) y ultradebil coinciden. Esto se puede ver mediante, por ejemplo, el teorema de Banach-Alaoglu . Básicamente, por la misma razón, la topología ultrafuerte es la misma que la topología fuerte en cualquier subconjunto (norma) limitado de B ( H ) . Lo mismo ocurre con la topología de Arens-Mackey, la topología ultrafuerte * y fuerte * .
En espacios localmente convexos, el cierre de conjuntos convexos puede caracterizarse por los funcionales lineales continuos. Por lo tanto, para un subconjunto convexo K de B ( H ) , las condiciones de que K esté cerrado en las topologías ultrafuerte * , ultrafuerte y ultradebil son todas equivalentes y también equivalen a las condiciones de que para todo r > 0 , K tiene intersección cerrada con la bola cerrada de radio r en las topologías fuerte * , fuerte o débil (operador).
La topología de la norma es metrizable y las otras no; de hecho, no son los primeros en contarse . Sin embargo, cuando H es separable, todas las topologías anteriores son metrizables cuando se restringen a la bola unitaria (o a cualquier subconjunto delimitado por normas).
¿Qué topología debo utilizar?
Las topologías más utilizadas son las topologías de operador normal, fuerte y débil. La topología de operador débil es útil para los argumentos de compacidad, porque la bola unitaria es compacta según el teorema de Banach-Alaoglu . La topología de la norma es fundamental porque convierte a B ( H ) en un espacio de Banach, pero es demasiado fuerte para muchos propósitos; por ejemplo, B ( H ) no es separable en esta topología. La topología de operador fuerte podría ser la más utilizada.
Las topologías ultradebil y ultrafuerte se comportan mejor que las topologías de operador débil y fuerte, pero sus definiciones son más complicadas, por lo que normalmente no se utilizan a menos que realmente se necesiten sus mejores propiedades. Por ejemplo, el espacio dual de B ( H ) en la topología de operador débil o fuerte es demasiado pequeño para tener mucho contenido analítico.
El mapa adjunto no es continuo en las topologías de operador fuerte y ultrafuerte, mientras que las topologías fuerte * y ultrafuerte * son modificaciones para que el adjunto se vuelva continuo. No se utilizan con mucha frecuencia.
La topología de Arens-Mackey y la topología de espacio débil de Banach se utilizan con relativa poca frecuencia.
Para resumir, las tres topologías esenciales en B ( H ) son las topologías normal, ultrafuerte y ultradebil. Las topologías de operador débil y fuerte se utilizan ampliamente como aproximaciones convenientes a las topologías ultradebil y ultrafuerte. Las otras topologías son relativamente oscuras.
Ver también
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Operador acotado : un operador lineal que envía subconjuntos acotados a subconjuntos acotados
- Operador lineal continuo
- Espacio de Hilbert : generalización matemática del espacio euclidiano a dimensiones infinitas
- Norma (matemáticas) - Longitud en un espacio vectorial
- Espacio vectorial normado: espacio vectorial en el que se define una distancia
- Topologías en espacios de mapas lineales
- Topología - Rama de las matemáticas