En matemáticas , una forma Pfister es un tipo particular de forma cuadrática , introducida por Albrecht Pfister en 1965. En lo que sigue, las formas cuadráticas se consideran sobre un campo F de característica no 2. Para un número natural n , una forma Pfister de n veces sobre F es una forma cuadrática de dimensión 2 n que se puede escribir como un producto tensorial de formas cuadráticas
para algunos elementos no nulos de un 1 , ..., un n de F . [1] (Algunos autores omiten los signos en esta definición; la notación aquí simplifica la relación con la teoría K de Milnor , que se analiza a continuación.) Una forma Pfister de n pliegues también se puede construir inductivamente a partir de una Pfister de ( n –1) pliegues forma q y un elemento distinto de cero una de F , como se.
Entonces, las formas Pfister de 1 pliegue y 2 pliegues se ven así:
- .
Para n ≤ 3, las formas de Pfister n- pliegues son formas normativas de álgebras de composición . [2] En ese caso, dos formas de Pfister n- pliegues son isomorfas si y solo si las correspondientes álgebras de composición son isomorfas. En particular, esto da la clasificación de álgebras octonion .
El n -fold formas Pfister generar aditivamente la n potencia-ésimo I n del ideal fundamental del anillo Witt de F . [2]
Caracterizaciones
Una forma cuadrática q sobre un campo F es multiplicativo si, para los vectores de indeterminados x y y , podemos escribir q ( x ). q ( y ) = q ( z ) para algún vector z de funciones racionales en la x y y sobre F . Las formas cuadráticas isotrópicas son multiplicativas. [3] Para las formas cuadráticas anisotrópicas, las formas Pfister son multiplicativas y viceversa. [4]
Para las formas de Pfister n- pliegues con n ≤ 3, esto se conocía desde el siglo XIX; en ese caso z puede ser tomada a ser bilineal en x y y , por las propiedades del álgebra de la composición. Fue un descubrimiento notable de Pfister que las n- formas de Pfister para todo n son multiplicativas en el sentido más general aquí, involucrando funciones racionales. Por ejemplo, dedujo que para cualquier campo F y cualquier número natural n , el conjunto de sumas de 2 n cuadrados en F se cierra mediante la multiplicación, usando la forma cuadráticaes una forma Pfister n- veces (es decir,). [5]
Otra característica sorprendente de las formas de Pfister es que todas las formas de Pfister isotrópicas son de hecho hiperbólicas, es decir, isomórficas a una suma directa de copias del plano hiperbólico. . Esta propiedad también caracteriza las formas de Pfister, como sigue. Si q es una forma cuadrática anisotrópica sobre un campo F , y si q se vuelve hiperbólica sobre cada campo de extensión E tal que q se vuelve isotrópico sobre E , entonces q es isomorfo a a φ para alguna forma distinta de cero a en F y alguna forma Pfister φ sobre F . [6]
Conexión con la teoría K
Deje k n ( F ) Sea el n -ésimo Milnor K -Grupo de módulo 2. Hay un homomorfismo de k n ( F ) para el cociente I n / I n 1 en el anillo de Witt de F , dada por
donde la imagen es una forma Pfister n- pliegue. [7] El homomorfismo es sobreyectivo, ya que las formas de Pfister generan aditivamente I n . Una parte de la conjetura de Milnor , probada por Orlov, Vishik y Voevodsky , establece que este homomorfismo es de hecho un isomorfismo k n ( F ) ≅ I n / I n +1 . [8] Eso da una descripción explícita del grupo abeliano I n / I n +1 por generadores y relaciones. La otra parte de la conjetura de Milnor, probada por Voevodsky, dice que k n ( F ) (y por lo tanto I n / I n +1 ) se mapea isomórficamente al grupo de cohomología de Galois H n ( F , F 2 ).
Vecinos pfister
A Pfister vecino es una forma σ anisotrópica que es isomorfo a un subformulario de un φ para algunos distinto de cero una en F y alguna forma Pfister φ con dim φ <2 dim σ. [9] La forma asociada de Pfister φ se determina hasta el isomorfismo por σ. Toda forma anisotrópica de dimensión 3 es un vecino de Pfister; una forma anisotrópica de dimensión 4 es un vecino de Pfister si y solo si su discriminante en F * / ( F * ) 2 es trivial. [10] Un campo F tiene la propiedad de que cada forma anisotrópica de 5 dimensiones sobre F es un vecino de Pfister si y solo si es un campo vinculado . [11]
Notas
- ^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), sección 9.B.
- ↑ a b Lam (2005) p. 316
- ^ Lam (2005) p. 324
- ^ Lam (2005) p. 325
- ^ Lam (2005) p. 319
- ^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Corolario 23.4.
- ^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), sección 5.
- ^ Orlov, Vishik, Voevodsky (2007).
- ^ Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Definición 23.10.
- ^ Lam (2005) p. 341
- ^ Lam (2005) p. 342
Referencias
- Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, MR 2427530
- Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de posgrado en matemáticas , 67 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR 2104929 , Zbl 1068.11023, Ch. 10
- Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para K * M / 2 con aplicaciones a formas cuadráticas", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math / 0101023 , doi : 10.4007 / annals.2007.165.1 , Señor 2276765