Crecimiento de subgrupos

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En matemáticas , el crecimiento de subgrupos es una rama de la teoría de grupos , que se ocupa de cuestiones cuantitativas sobre subgrupos de un grupo determinado . ^[1]

Sea un grupo finitamente generado . Luego, para cada entero, defina el número de subgrupos de índice en . De manera similar, si es un grupo topológico , denota el número de subgrupos abiertos de índice en . Uno define de manera similar y para denotar el número de subgrupos máximo y normal de índice , respectivamente.${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}(G)}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s_{n}(G)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle m_{n}(G)}$${\displaystyle s_{n}^{\triangleleft }(G)}$${\displaystyle n}$

El crecimiento de subgrupos estudia estas funciones, su interacción y la caracterización de las propiedades teóricas del grupo en términos de estas funciones.

La teoría fue motivada por el deseo de enumerar grupos finitos de un orden dado, y la analogía con la noción de crecimiento de palabras de Mikhail Gromov .

Sea un grupo nilpotente libre de torsión finamente generado . Entonces existe una serie de composición con infinitos factores cíclicos , que induce una biyección (aunque no necesariamente un homomorfismo ).${\displaystyle G}$

de manera que la multiplicación de grupos se pueda expresar mediante funciones polinómicas en estas coordenadas; en particular, la multiplicación es definible . Usando métodos de la teoría del modelo de enteros p-ádicos , F. Grunewald, D. Segal y G. Smith demostraron que la función zeta local

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