Subconjunto

En matemáticas , el conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B . La relación de que un conjunto es un subconjunto de otro se llama inclusión (o, a veces, contención ). A es un subconjunto de Btambién puede expresarse como B incluye (o contiene) A o A está incluido (o contenido) en B.

La relación de subconjunto define un orden parcial en los conjuntos. De hecho, los subconjuntos de un conjunto dado forman un álgebra booleana bajo la relación de subconjunto, en la que la unión y el encuentro están dados por intersección y unión , y la relación de subconjunto en sí es la relación de inclusión booleana .

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir , existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:

Para cualquier conjunto S , la relación de inclusión es un orden parcial en el conjunto (el conjunto de potencias de S , el conjunto de todos los subconjuntos de S ^[1] ) definido por . También podemos ordenar parcialmente por inclusión de conjuntos inversos definiendo${\ Displaystyle \ subseteq}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ Displaystyle A \ leq B \ iff A \ subseteq B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (S)}$${\ displaystyle A \ leq B {\ text {si y solo si}} B \ subseteq A.}$

Cuando se cuantifica, se representa como ^[2]${\ Displaystyle A \ subseteq B}$${\ Displaystyle \ forall x \ left (x \ in A \ implica x \ in B \ right).}$

Podemos probar el enunciado aplicando una técnica de prueba conocida como argumento del elemento ^[3] :${\ Displaystyle A \ subseteq B}$

Diagrama de Euler que muestra
A es un subconjunto de B ,   A ⊆ B , y por el contrario B es un superconjunto de A .

Los polígonos regulares forman un subconjunto de los polígonos

${\ Displaystyle A \ subseteq B}$e implica${\ Displaystyle B \ subseteq C}$${\ Displaystyle A \ subseteq C.}$