En matemáticas, un cambio de variables es una técnica básica utilizada para simplificar problemas en los que las variables originales se reemplazan con funciones de otras variables. La intención es que cuando se expresa en nuevas variables, el problema puede volverse más simple o equivalente a un problema mejor entendido.
El cambio de variables es una operación relacionada con la sustitución . Sin embargo, se trata de operaciones diferentes, como puede verse al considerar la diferenciación ( regla de la cadena ) o la integración ( integración por sustitución ).
Un ejemplo muy simple de un cambio de variable útil se puede ver en el problema de encontrar las raíces del polinomio de sexto grado:
Las ecuaciones polinomiales de sexto grado son generalmente imposibles de resolver en términos de radicales (ver el teorema de Abel-Ruffini ). Esta ecuación particular, sin embargo, puede escribirse
(este es un caso simple de descomposición polinomial ). Por tanto, la ecuación puede simplificarse definiendo una nueva variable. Sustituyendo x por en el polinomio da
que es solo una ecuación cuadrática con las dos soluciones:
Las soluciones en términos de la variable original se obtienen sustituyendo x 3 por u , lo que da
Entonces, asumiendo que uno está interesado solo en soluciones reales , las soluciones de la ecuación original son
Ejemplo simple
Considere el sistema de ecuaciones
dónde y son enteros positivos con . (Fuente: 1991 AIME )
Normalmente, resolver esto no es muy difícil, pero puede resultar un poco tedioso. Sin embargo, podemos reescribir la segunda ecuación como. Haciendo las sustituciones y reduce el sistema a . Resolver esto da y . Sustituir hacia atrás el primer par ordenado nos da, que da la solución Sustituir hacia atrás el segundo par ordenado nos da , que no da soluciones. Por tanto, la solución que resuelve el sistema es.
Introducción formal
Dejar , ser colectores suaves y dejar ser un - difeomorfismo entre ellos, es decir: es un tiempos continuamente diferenciable, mapa biyectivo de a con tiempos continuamente diferenciables inversa de a . Aquí puede ser cualquier número natural (o cero), ( suave ) o( analítico ).
El mapa se llama transformación de coordenadas regular o sustitución de variable regular , donde regular se refiere a la-esencia de . Por lo general, uno escribirá para indicar el reemplazo de la variable por la variable sustituyendo el valor de en por cada ocurrencia de .
Otros ejemplos
Transformación de coordenadas
Algunos sistemas pueden resolverse más fácilmente al cambiar a coordenadas polares . Considere, por ejemplo, la ecuación
Esta puede ser una función energética potencial para algún problema físico. Si uno no ve una solución de inmediato, puede intentar la sustitución
- dada por
Tenga en cuenta que si corre fuera de un -intervalo de longitud, por ejemplo, , el mapa ya no es biyectiva. Por lo tanto, debe limitarse a, por ejemplo . Date cuenta cómo está excluido, por no es biyectiva en el origen (puede tomar cualquier valor, el punto se asignará a (0, 0)). Luego, reemplazando todas las apariciones de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por y usando la identidad , obtenemos
Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente: , entonces o . Aplicando la inversa de muestra que esto es equivalente a tiempo . De hecho, lo vemos por la función desaparece, excepto el origen.
Tenga en cuenta que, si hubiéramos permitido , el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la bijetividad deEs crucial. La función es siempre positiva (para), de ahí los valores absolutos.
Diferenciación
La regla de la cadena se utiliza para simplificar una diferenciación complicada. Por ejemplo, considere el problema de calcular la derivada
Escritura
obtenemos
Integración
Las integrales difíciles a menudo se pueden evaluar cambiando variables; esto está habilitado por la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena anterior. Las integrales difíciles también se pueden resolver simplificando la integral usando un cambio de variables dadas por la matriz jacobiana correspondiente y el determinante . [1] El uso del determinante jacobiano y el correspondiente cambio de variable que da es la base de los sistemas de coordenadas, como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos.
Ecuaciones diferenciales
Los cambios variables para la diferenciación y la integración se enseñan en cálculo elemental y los pasos rara vez se llevan a cabo en su totalidad.
El uso muy amplio de cambios de variable es evidente cuando se consideran ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes pueden cambiarse usando la regla de la cadena o las variables dependientes se cambian dando como resultado alguna diferenciación que se llevará a cabo. Los cambios exóticos, como la mezcla de variables dependientes e independientes en transformaciones de punto y contacto , pueden ser muy complicados pero permiten mucha libertad.
Muy a menudo, una forma general de cambio se sustituye por un problema y los parámetros se eligen a lo largo del camino para simplificar mejor el problema.
Escalando y cambiando
Probablemente el cambio más simple sea el escalado y desplazamiento de variables, es decir, reemplazarlas con nuevas variables que se "estiran" y "mueven" en cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para eliminar los parámetros físicos de los problemas. Para una derivada de n- ésimo orden, el cambio simplemente da como resultado
dónde
Esto se puede demostrar fácilmente mediante la regla de la cadena y la linealidad de la diferenciación. Este cambio es muy común en aplicaciones prácticas para eliminar los parámetros físicos de los problemas, por ejemplo, el problema del valor límite.
describe un flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; μ es la viscosidad yel gradiente de presión , ambas constantes. Al escalar las variables, el problema se vuelve
dónde
La escala es útil por muchas razones. Simplifica el análisis tanto al reducir el número de parámetros como al simplificar el problema. El escalado adecuado puede normalizar las variables, es decir, hacer que tengan un rango sensible sin unidades, como 0 a 1. Finalmente, si un problema exige una solución numérica, cuantos menos parámetros sean, menor será el número de cálculos.
Momento frente a velocidad
Considere un sistema de ecuaciones
para una función dada . La masa puede eliminarse mediante la sustitución (trivial). Claramente, este es un mapa biyectivo de a . Bajo la sustitución el sistema se convierte
Mecánica lagrangiana
Dado un campo de fuerza , Newton 's ecuaciones de movimiento son
Lagrange examinó cómo cambian estas ecuaciones de movimiento bajo una sustitución arbitraria de variables ,
Descubrió que las ecuaciones
son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función , donde T es la cinética y V la energía potencial.
De hecho, cuando se elige bien la sustitución (aprovechando, por ejemplo, las simetrías y las limitaciones del sistema), estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.
Ver también
Referencias
- ^ Kaplan, Wilfred (1973). "Cambio de Variables en Integrales". Cálculo avanzado (Segunda ed.). Lectura: Addison-Wesley. págs. 269-275.