En matemáticas, una variedad supersingular es (normalmente) un suave variedad proyectiva en distinto de cero característica tal que para todo n las laderas de la polígono de Newton de la n º cohomology cristalino son todos n / 2 ( de Jong 2014 ). Para clases especiales de variedades, como las curvas elípticas, es común utilizar varias definiciones ad hoc de "supersingular", que son (normalmente) equivalentes a la que se dio anteriormente.
El término "curva elíptica singular" (o " invariante j singular ") se usó en una ocasión para referirse a curvas elípticas complejas cuyo anillo de endomorfismos tiene rango 2, el máximo posible. Helmut Hasse descubrió que, en característica finita, las curvas elípticas pueden tener anillos más grandes de endomorfismos de rango 4, y estos fueron llamados "curvas elípticas supersingulares". Las curvas elípticas supersingulares también se pueden caracterizar por las pendientes de su cohomología cristalina, y el término "supersingular" se extendió posteriormente a otras variedades cuya cohomología tiene propiedades similares. Los términos "supersingular" o "singular" no significan que la variedad tenga singularidades.
Ejemplos incluyen:
- Curva elíptica supersingular . Curvas elípticas en característica distinta de cero con un anillo inusualmente grande de endomorfismos de rango 4.
- Variedad abeliana supersingular A veces definida como una variedad abeliana isógena a un producto de curvas elípticas supersingulares, y a veces definida como una variedad abeliana de algún rango g cuyo anillo de endomorfismo tiene rango (2 g ) 2 .
- Superficie K3 supersingular . Ciertas superficies K3 en característica distinta de cero.
- Superficie de Enriques supersingular . Ciertos Enriques afloran en la característica 2.
- Una superficie se llama Shioda supersingular si el rango de su grupo Néron-Severi es igual a su segundo número Betti.
- Una superficie se llama Artin supersingular si su grupo Brauer formal tiene una altura infinita.
Referencias
- de Jong (2014), la conjetura de Shioda
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