En geometría algebraica , las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un campo de característica p > 0 con anillos de endomorfismo inusualmente grandes . Las curvas elípticas sobre tales campos que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. Hasse (1936) descubrió curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para curvas elípticas al observar que las curvas elípticas características positivas podrían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grande, y Deuring (1941) desarrolló su teoría básica.
El término "supersingular" no tiene nada que ver con puntos singulares de curvas , y todas las curvas elípticas supersingulares son no singulares. Proviene de la frase " valores singulares del invariante j" que se utiliza para los valores del invariante j para los que una curva elíptica compleja tiene una multiplicación compleja . Las curvas elípticas complejas con multiplicación compleja son aquellas para las que el anillo de endomorfismo tiene el rango máximo posible 2. En característica positiva es posible que el anillo de endomorfismo sea aún mayor: puede ser un orden en un álgebra de cuaternión de dimensión 4, en cuyo caso la curva elíptica es supersingular. Los números primos p tales que cada curva elíptica supersingular en la característica p se puede definir sobre el subcampo principal en vez de se llaman primos supersingulares .
Definición
Hay muchas formas diferentes pero equivalentes de definir curvas elípticas supersingulares que se han utilizado. Algunas de las formas de definirlos se detallan a continuación. Dejarser un campo con cierre algebraico y E una curva elíptica sobre K .
- La -puntos valorados tienen la estructura de un grupo abeliano . Para cada n, tenemos un mapa de multiplicación. Su núcleo se denota por. Ahora suponga que la característica de K es p > 0. Entonces se puede demostrar que
- para r = 1, 2, 3, ... En el primer caso, E se llama supersingular . De lo contrario, se llama ordinario . En otras palabras, una curva elíptica es supersingular si y solo si el grupo de puntos geométricos de orden p es trivial.
- Las curvas elípticas supersingulares tienen muchos endomorfismos sobre el cierre algebraico en el sentido de que una curva elíptica es supersingular si y sólo si su álgebra de endomorfismo (sobre ) es un orden en un álgebra de cuaterniones. Por lo tanto, su álgebra de endomorfismo (más) tiene rango 4, mientras que el grupo de endomorfismo de cualquier otra curva elíptica solo tiene rango 1 o 2. El anillo de endomorfismo de una curva elíptica supersingular puede tener rango menor que 4, y puede ser necesario tomar una extensión finita del campo base K para hacer el rango del anillo de endomorfismo 4. En particular, el anillo de endomorfismo de una curva elíptica sobre un campo de orden primario nunca es de rango 4, incluso si la curva elíptica es supersingular.
- Let G ser el grupo formal asociado a E . Dado que K es de característica positiva, podemos definir su altura ht ( G ), que es 2 si y solo si E es supersingular y si no es 1.
- Tenemos un morfismo de Frobenius , que induce un mapa en cohomología
- .
- La curva elíptica E es supersingular si y solo si es igual a 0.
- Tenemos un operador Verschiebung , que induce un mapa en las formas 1 globales
- .
- La curva elíptica E es supersingular si y solo si es igual a 0.
- Una curva elíptica es supersingular si y solo si su invariante de Hasse es 0.
- Una curva elíptica es supersingular si y solo si el esquema de grupo de puntos de orden p está conectado.
- Una curva elíptica es supersingular si y solo si el dual del mapa de Frobenius es puramente inseparable.
- Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el mapa de "multiplicación por p " es puramente inseparable y la j -invariante de la curva se encuentra en una extensión cuadrática del campo primo de K , un campo finito de orden p 2 .
- Suponga que E está en forma de Legendre , definida por la ecuación, y p es impar. Entonces E es supersingular si y solo si la suma
- desaparece, donde . Usando esta fórmula, se puede demostrar que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares sobre K (hasta isomorfismo).
- Suponga que E se da como una curva cúbica en el plano proyectivo dada por un polinomio cúbico homogéneo f ( x , y , z ). Entonces E es supersingular si y solo si el coeficiente de ( xyz ) p –1 en f p –1 es cero.
- Si el campo K es un campo finito de orden q , entonces una curva elíptica sobre K es supersingular si y solo si la traza del endomorfismo de Frobenius de potencia q es congruente con cero módulo p .
- Cuando q = p es un primo mayor que 3, esto equivale a tener la traza de Frobenius igual a cero (por el límite de Hasse ); esto no es válido para p = 2 o 3.
Ejemplos de
- Si K es un campo de característica 2, toda curva definida por una ecuación de la forma
- con un 3 distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, cada curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (ver Washington 2003, p. 122).
- Sobre el campo con 2 elementos, cualquier curva elíptica supersingular es isomórfica a exactamente una de las curvas elípticas supersingulares
- con 1, 3 y 5 puntos. Esto da ejemplos de curvas elípticas supersingulares sobre un campo principal con diferentes números de puntos.
- Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 2 hay (hasta isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por
- ,
- con j -invariante 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de Hurwitz , generado por los dos automorfismos y dónde es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de los cuaterniones de Hurwitz, que tiene el orden 24, contiene un subgrupo normal de orden 8 isomorfo al grupo del cuaternión , y es el grupo tetraédrico binario.
- Si K es un campo de característica 3, toda curva definida por una ecuación de la forma
- con un 4 distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, cada curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (ver Washington 2003, p. 122).
- Sobre el campo con 3 elementos, cualquier curva elíptica supersingular es isomórfica a exactamente una de las curvas elípticas supersingulares
- Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 3 hay (hasta isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por
- ,
- con j -invariant 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de la forma de un + bj con un y b números enteros Eisenstein . , generado por los dos automorfismos y donde i es una cuarta raíz primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de estos cuaterniones, que tiene orden 12 y contiene un subgrupo normal de orden 3 con cociente un grupo cíclico de orden 4.
- Para con p> 3 la curva elíptica definida por con j -invariante 0 es supersingular si y solo si y la curva elíptica definida por con j -invariante 1728 es supersingular si y solo si (ver Washington 2003, 4.35).
- La curva elíptica dada por no es singular por . Es supersingular para p = 23 y ordinario para todos los demás (ver Hartshorne 1977, 4.23.6).
- La curva modular X 0 (11) tiene j -invariante −2 12 11 −5 31 3 , y es isomorfa a la curva y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20. Los primos p para los cuales es supersingulares son aquellos para los cuales el coeficiente de q p en η (τ) 2 η (11τ) 2 desaparece mod p , y están dados por la lista
- 2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929, ... OEIS : A006962
- Si una curva elíptica sobre los racionales tiene una multiplicación compleja, entonces el conjunto de primos para los que es supersingular tiene densidad 1/2. Si no tiene multiplicación compleja, Serre demostró que el conjunto de números primos para los que es supersingular tiene densidad cero. Elkies (1987) mostró que cualquier curva elíptica definida sobre los racionales es supersingular para un número infinito de primos.
Clasificación
Para cada característica positiva hay solo un número finito de posibles j -invariantes de curvas elípticas supersingulares. Sobre un campo K algebraicamente cerrado, una curva elíptica está determinada por su invariante j , por lo que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares. Si cada una de estas curvas está ponderada por 1 / | Aut ( E ) | entonces el peso total de las curvas supersingulares es ( p –1) / 24. Las curvas elípticas tienen grupos de automorfismos de orden 2 a menos que su j -invariante sea 0 o 1728, por lo que las curvas elípticas supersingulares se clasifican de la siguiente manera. Hay exactamente ⌊ p / 12⌋ curvas elípticas supersingulares con grupos de automorfismos de orden 2. Además, si p ≡3 mod 4 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 1728) cuyo grupo de automorfismos es cíclico o de orden 4 a menos que p = 3 en cuyo caso tiene orden 12, y si p ≡2 mod 3 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 0) cuyo grupo de automorfismos es cíclico de orden 6 a menos que p = 2 en cuyo caso tiene orden 24.
Birch y Kuyk (1975) dan una tabla de todas las j -invariantes de curvas supersingulares para primos hasta 307. Para los primeros primos, las curvas elípticas supersingulares se dan como sigue. El número de valores supersingulares de j distintos de 0 o 1728 es la parte entera de (p − 1) / 12.
principal | invariantes j supersingulares |
---|---|
2 | 0 |
3 | 1728 |
5 | 0 |
7 | 1728 |
11 | 0, 1728 |
13 | 5 |
17 | 0,8 |
19 | 7 de 1728 |
23 | 0,19, 1728 |
29 | 0,2, 25 |
31 | 2, 4, 1728 |
37 | 8, 3 ± √15 |
Ver también
Referencias
- Birch, BJ ; Kuyk, W., eds. (1975), "Tabla 6", Funciones modulares de una variable. IV , Lecture Notes in Mathematics, 476 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 142-144, doi : 10.1007 / BFb0097591 , ISBN 978-3-540-07392-5, MR 0376533 , Zbl 0.315,14014
- Deuring, Max (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 14 : 197–272, doi : 10.1007 / BF02940746 , MR 0005125
- Elkies, Noam D. (1987), "La existencia de un número infinito de primos supersingulares para cada curva elíptica sobre Q", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 561–567, doi : 10.1007 / BF01388985 , ISSN 0020-9910 , MR 0903384 , Zbl 0631.14024
- Robin Hartshorne (1977), Geometría algebraica , Springer. ISBN 1-4419-2807-3
- Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorismenmannsche Rings". , J. Reine Angew. Matemáticas. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208
- Joseph H. Silverman (2009), La aritmética de las curvas elípticas , Springer. ISBN 0-387-09493-8
- Lawrence C. Washington (2003), Curvas elípticas , Chapman & Hall. ISBN 1-58488-365-0