Superficie supersingular K3

En geometría algebraica , una superficie K3 supersingular es una superficie K3 sobre un campo k de característica p > 0 tal que las pendientes de Frobenius en la cohomología cristalina H ² ( X , W ( k )) son todas iguales a 1. ^[1] También se han denominado superficies K3 supersingulares Artin . Las superficies supersingulares K3 pueden considerarse las más especiales e interesantes de todas las superficies K3.

Definiciones y principales resultados

De manera más general, una variedad proyectiva suave X sobre un campo de característica p > 0 se llama supersingular si todas las pendientes de Frobenius en la cohomología cristalina H ^a ( X , W ( k )) son iguales a a / 2, para todo a . En particular, esto da la noción estándar de una variedad abeliana supersingular . Para una variedad X sobre un campo finito F _q , es equivalente a decir que los valores propios de Frobenius en la cohomología l-ádica H ^a ( X , Q_l ) son iguales q ^{a / 2} veces las raíces de la unidad. De ello se deduce que cualquier variedad en característica positiva cuyacohomología l -ádica sea generada por ciclos algebraicos es supersingular.

Una superficie K3 cuya cohomología l -ádica se genera mediante ciclos algebraicos a veces se denomina superficie K3 supersingular de Shioda . Dado que el segundo número Betti de una superficie K3 es siempre 22, esta propiedad significa que la superficie tiene 22 elementos independientes en su grupo Picard (ρ = 22). Por lo que hemos dicho, una superficie K3 con Picard número 22 debe ser supersingular.

A la inversa, la conjetura de Tate implicaría que cada superficie K3 supersingular sobre un campo algebraicamente cerrado tiene Picard número 22. Esto se conoce ahora en cada característica p excepto 2, ya que la conjetura de Tate se probó para todos K3 superficies en característica p de al menos 3 por Nygaard-Ogus (1985) , Maulik (2014) , Charles (2013) y Madapusi Pera (2013) .

Para ver que las superficies K3 con el número Picard 22 existen solo en característica positiva, se puede usar la teoría de Hodge para probar que el número Picard de una superficie K3 en característica cero es como máximo 20. De hecho, el diamante de Hodge para cualquier superficie compleja K3 es el mismo (ver clasificación ), y la fila del medio dice 1, 20, 1. En otras palabras, h ^2,0 y h ^0,2 toman el valor 1, con h ^1,1 = 20. Por lo tanto, la dimensión del el espacio atravesado por los ciclos algebraicos es como máximo 20 en cero característico; las superficies con este valor máximo a veces se denominan superficies K3 singulares .

Otro fenómeno que solo puede ocurrir en características positivas es que una superficie K3 puede ser uniracional . Michael Artin observó que toda superficie K3 uniracional sobre un campo algebraicamente cerrado debe tener el número 22 de Picard (en particular, una superficie K3 uniracional debe ser supersingular). Por el contrario, Artin conjetura que toda superficie K3 con el número 22 de Picard debe ser uniracional. ^[2] La conjetura de Artin fue probada en la característica 2 por Rudakov y Shafarevich (1978) . Liedtke (2013) y Lieblich (2014) afirmaron pruebas en cada característica p al menos 5 , pero luego fueron refutadas por Bragg y Lieblich (2019) .

Historia

El primer ejemplo de una superficie K3 con Picard número 22 lo dio Tate (1965) , quien observó que el cuartico de Fermat

w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ = 0

tiene el número Picard 22 sobre campos algebraicamente cerrados de la característica 3 mod 4. Luego, Shioda mostró que la superficie modular elíptica del nivel 4 (la curva elíptica generalizada universal E (4) → X (4)) en la característica 3 mod 4 es una superficie K3 con Picard número 22, como es la superficie de Kummer del producto de dos curvas elípticas supersingulares en característica impar. Shimada ( 2004 , 2004b ) mostró que todas las superficies K3 con Picard número 22 son cubiertas dobles del plano proyectivo . En el caso de la característica 2, la doble cubierta puede necesitar ser una cubierta inseparable..

El discriminante de la forma de intersección en el grupo Picard de una superficie K3 con el número Picard 22 es una potencia par

p ^{2 e}

de la característica p , como lo demostraron Artin y Milne . Aquí e se denomina invariante de Artin de la superficie K3. Artin demostró que

1 ≤ e ≤ 10.

Existe una estratificación de Artin correspondiente de los espacios de módulos de superficies K3 supersingulares, que tienen dimensión 9. El subespacio de superficies K3 supersingulares con Artin invariante e tiene dimensión e - 1.

Ejemplos de

En la característica 2,

z ² = f ( x , y ),

para un polinomio suficientemente general f ( x , y ) de grado 6, define una superficie con 21 singularidades aisladas. El modelo mínimo proyectivo liso de tal superficie es una superficie K3 uniracional y, por lo tanto, una superficie K3 con el número 22 de Picard. El invariante de Artin más grande aquí es 10.

Del mismo modo, en la característica 3,

z ³ = g ( x , y ),

para un polinomio suficientemente general g ( x , y ) de grado 4, define una superficie con 9 singularidades aisladas. El modelo mínimo proyectivo liso de tal superficie es nuevamente una superficie K3 uniracional y, por lo tanto, una superficie K3 con el número 22 de Picard. El invariante de Artin más alto en esta familia es 6.

Dolgachev & Kondō (2003) describieron la superficie supersingular K3 en la característica 2 con Artin número 1 en detalle.

Superficies Kummer

Si la característica p es mayor que 2, Ogus (1979) mostró que cada superficie K3 S con número Picard 22 y Artin invariante como máximo 2 es una superficie Kummer, es decir, la resolución mínima del cociente de una superficie abeliana A por el mapeo x ↦ - x . Más precisamente, A es una superficie abeliana supersingular, isógena al producto de dos curvas elípticas supersingulares.

Ver también

• Superficie K3
• Conjetura de Tate

Notas

1. M. Artin y B. Mazur. Ana. Sci. École Normale Supérieure 10 (1977), 87-131. Pág. 90.
2. M. Artin. Ana. Sci. École Normale Supérieure 7 (1974), 543-567. Pág. 552.

Referencias

• Artin, Michael (1974), "Superficies supersingulares K3" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 543–567, MR  0371899
• Bragg, Daniel; Lieblich, Max (2019), Puntos perfectos en curvas del género uno y consecuencias para superficies K3 supersingulares , arXiv : 1904.04803
• Charles, F. (2013), "La conjetura de Tate para superficies K3 sobre campos finitos", Inventiones Mathematicae , 194 : 119-145, arXiv : 1206.4002 , Bibcode : 2013InMat.194..119C , doi : 10.1007 / s00222-012- 0443-Y , MR  3103257
• Dolgachev, I .; Kondō, S. (2003), "Una superficie K3 supersingular en la característica 2 y la celosía Leech", Int. Matemáticas. Res. No. (1): 1–23, arXiv : math / 0112283 , Bibcode : 2001math ..... 12283D , MR  1935564
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• Liedtke, C. (2013), "Supersingular K3 surface are unirational", Inventiones Mathematicae , 200 : 979–1014, arXiv : 1304.5623 , Bibcode : 2015InMat.200..979L , doi : 10.1007 / s00222-014-0547-7
• Liedtke, Christian (2016), "Lectures on Supersingular K3 Surfaces and the Crystalline Torelli Theorem", Superficies K3 y sus módulos , Progreso en matemáticas, 315 , Birkhauser, págs. 171-235, arXiv : 1403.2538 , Bibcode : 2014arXiv1403.2538L
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• Shimada, Ichiro (2004b), "Superficies supersingulares K3 en planos dobles sexticos y característicos impares", Mathematische Annalen , 328 (3): 451–468, arXiv : math / 0309451 , doi : 10.1007 / s00208-003-0494-x , Señor  2036331
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