En física teórica , hay muchas teorías con supersimetría (SUSY) que también tienen simetrías de calibre internas . La teoría del calibre supersimétrico generaliza esta noción.
Teoría del calibre
Una teoría de gauge es un marco matemático para analizar [ dudoso ] simetrías de gauge. Hay dos tipos de simetrías, a saber, global y local. Una simetría global es la simetría que permanece invariante en cada punto de una variedad (la variedad puede ser de coordenadas espaciotemporales o de números cuánticos internos ). Una simetría local es la simetría que depende del espacio sobre el que está definida y cambia con la variación de coordenadas. Por tanto, tal simetría es invariante sólo localmente (es decir, en una vecindad de la variedad).
Las ecuaciones de Maxwell y la electrodinámica cuántica son ejemplos famosos de teorías de gauge.
Supersimetría
En física de partículas , existen partículas con dos tipos de estadísticas de partículas , bosones y fermiones. Los bosones llevan valores de espín enteros y se caracterizan por la capacidad de tener cualquier número de bosones idénticos que ocupen un solo punto en el espacio. Por tanto, se identifican con fuerzas . Los fermiones llevan valores de espín medio enteros y, según el principio de exclusión de Pauli , los fermiones idénticos no pueden ocupar una sola posición en el espacio-tiempo. Se identifican con la materia. Por lo tanto, SUSY se considera un fuerte candidato para la unificación de la radiación (fuerzas mediadas por bosones) y la materia.
Este mecanismo [ ¿cuál? ] funciona a través de un operador, conocido como generador de supersimetría , que actúa de la siguiente manera:
Por ejemplo, el generador de supersimetría puede tomar un fotón como argumento y transformarlo en un fotino y viceversa. Esto sucede a través de la traducción en el espacio (parámetro). Este superespacio es un-espacio vectorial calificado , dónde es el espacio bosónico de Hilbert y es el espacio fermiónico de Hilbert.
Teoría del calibre SUSY
La motivación para una versión supersimétrica de la teoría de gauge puede ser el hecho de que la invariancia de gauge es consistente con la supersimetría. Los primeros ejemplos fueron descubiertos por Bruno Zumino y Sergio Ferrara , e independientemente por Abdus Salam y James Strathdee en 1974.
Porque tanto los fermiones de espín de medio entero como los bosones de espín enteros pueden convertirse en partículas de calibre. Además, los campos vectoriales y los campos de espino residen en la misma representación del grupo de simetría interna.
Supongamos que tenemos una transformación de calibre , dónde es un campo vectorial y es la función de calibre. El principal problema en la construcción de la teoría del calibre SUSY es extender la transformación anterior de una manera que sea consistente con las transformaciones SUSY.
El medidor Wess-Zumino proporciona una solución exitosa a este problema. Una vez que se obtiene dicho calibre adecuado, la dinámica de la teoría del calibre de SUSY funciona de la siguiente manera: buscamos un lagrangiano que sea invariante bajo las transformaciones del Super calibre (estas transformaciones son una herramienta importante necesaria para desarrollar una versión supersimétrica de una teoría calibre). Luego podemos integrar el lagrangiano usando las reglas de integración de Berezin y así obtener la acción. Lo que además conduce a las ecuaciones de movimiento y, por lo tanto, puede proporcionar un análisis completo de la dinámica de la teoría.
N = 1 SUSY en 4D (con 4 generadores reales)
En cuatro dimensiones, la supersimetría mínima N = 1 puede escribirse usando un superespacio . Este superespacio incluye cuatro coordenadas fermiónicas adicionales, transformándose en un espinor de dos componentes y su conjugado.
Cada supercampo, es decir, un campo que depende de todas las coordenadas del superespacio, puede expandirse con respecto a las nuevas coordenadas fermiónicas. Existe un tipo especial de supercampos, los llamados supercampos quirales , que solo dependen de las variables θ pero no de sus conjugados (más precisamente,). Sin embargo, un supercampo vectorial depende de todas las coordenadas. Describe un campo de calibre y su supercompañero , a saber, un fermión de Weyl que obedece a una ecuación de Dirac .
V es el supercampo vectorial ( prepotencial ) y es real ( V = V ). Los campos del lado derecho son campos de componentes.
Las transformaciones de calibre actúan como
donde Λ es cualquier supercampo quiral.
Es fácil comprobar que el supercampo quiral
es invariante de calibre. Así es su complejo conjugado.
Un calibre covariante no supersimétrico que se utiliza a menudo es el calibre Wess-Zumino . Aquí, C, χ, M y N se establecen en cero. Las simetrías de gauge residuales son transformaciones de gauge del tipo bosónico tradicional.
Un supercampo quiral X con una carga de q se transforma como
Por lo tanto, X e - qV X es invariante de calibre. Aquí e - qV se denomina puente ya que " une " un campo que se transforma en trans solo con un campo que se transforma solo en Λ .
De manera más general, si tenemos un grupo de gauge real G que deseamos supersimetrizar, primero tenemos que complejizarlo a G c ⋅ e - qV luego actúa como un compensador de las transformaciones de gauge complejas absorbiéndolas de hecho dejando solo las partes reales. Esto es lo que se está haciendo en el medidor Wess-Zumino.
Superformas diferenciales
Reformulemos todo para que se parezca más a una teoría de calibre convencional de Yang-Mills . Tenemos una simetría de calibre U (1) que actúa sobre el superespacio completo con una conexión de calibre 1-superforma A. En la base analítica del espacio tangente, la derivada covariante está dada por. Condiciones de integrabilidad para supercampos quirales con la restricción quiral
déjanos con
Una restricción similar para los supercampos antiquirales nos deja con F αβ = 0 . Esto significa que podemos corregir el calibreo A α = 0 pero no ambos simultáneamente. Llame a los dos esquemas de fijación de calibre diferentes I y II respectivamente. En calibre I,y en el calibre II, d α X = 0 . Ahora, el truco consiste en utilizar dos calibres diferentes simultáneamente; calibre I para supercampos quirales y calibre II para supercampos antiquirales. Para hacer un puente entre los dos calibres diferentes, necesitamos una transformación de calibre. Llámelo e - V (por convención). Si estuviéramos usando un indicador para todos los campos, X X sería invariante en el indicador. Sin embargo, necesitamos calibre convertida yo para medir II, la transformación de X a ( e - V ) q X . Por lo tanto, la cantidad de calibre invariante es X e - qV X .
En el calibre I, todavía tenemos el calibre residual e Λ dondey en el calibre II, tenemos el calibre residual e Λ satisfaciendo d α Λ = 0 . Bajo los medidores residuales, el puente se transforma como
Sin restricciones adicionales, el puente e - V no daría toda la información sobre el campo de calibre. Sin embargo, con la restricción adicional, solo hay un campo de calibre único que es compatible con las transformaciones de calibre módulo del puente. Ahora, el puente proporciona exactamente el mismo contenido de información que el campo de calibre.
Teorías con 8 o más generadores SUSY ( N > 1 )
En las teorías con mayor supersimetría (y quizás mayor dimensión), un supercampo vectorial normalmente describe no solo un campo de calibre y un fermión de Weyl, sino también al menos un campo escalar complejo .
Ver también
Referencias
- Stephen P. Martin. Una cartilla de supersimetría , arXiv : hep-ph / 9709356 .
- Prakash, Nirmala. Perspectiva matemática de la física teórica: un viaje de los agujeros negros a las supercuerdas , World Scientific (2003).
- Kulshreshtha, DS; Mueller-Kirsten, HJW (1991). "Cuantización de sistemas con restricciones: el método de Faddeev-Jackiw versus el método de Dirac aplicado a supercampos". Phys. Rev. D43, 3376-3383. Código Bibliográfico : 1991PhRvD..43.3376K . doi : 10.1103 / PhysRevD.43.3376 . Cite journal requiere
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