En física teórica , el superpotencial es una función en la mecánica cuántica supersimétrica . Dado un superpotencial, se derivan dos "potenciales socios" que pueden servir cada uno como potencial en la ecuación de Schrödinger . Los potenciales socios tienen el mismo espectro , aparte de un posible valor propio de cero, lo que significa que los sistemas físicos representados por los dos potenciales tienen las mismas energías características, además de un posible estado fundamental de energía cero.
Ejemplo unidimensional
Considere una partícula unidimensional , no relativista, con un grado de libertad interno de dos estados llamado " espín ". (Esta no es la noción habitual de espín que se encuentra en la mecánica cuántica no relativista, porque el espín "real" se aplica sólo a las partículas en el espacio tridimensional ). Sean by su adjunto hermitiano b † significan operadores que transforman una partícula "girando hacia arriba". en una partícula de "centrifugado" y viceversa, respectivamente. Además, tome b y b † como normalizados de manera que el anticonmutador { b , b † } sea igual a 1, y considere que b 2 es igual a 0. Sea p el momento de la partícula yx su posición con [ x , p ] = i, donde usamos unidades naturales para que. Sea W (el superpotencial) una función diferenciable arbitraria de x y defina los operadores supersimétricos Q 1 y Q 2 como
Los operadores Q 1 y Q 2 son autoadjuntos. Deja que el hamiltoniano sea
donde W' significa la derivada de W . También tenga en cuenta que { Q 1 , Q 2 } = 0. En estas circunstancias, el sistema anterior es un modelo de juguete de supersimetría N = 2. Los estados de giro hacia abajo y hacia arriba a menudo se denominan estados " bosónico " y " fermiónico ", respectivamente, en una analogía con la teoría cuántica de campos . Con estas definiciones, Q 1 y Q 2 mapean estados "bosónicos" en estados "fermiónicos" y viceversa. Restringir a los sectores bosónico o fermiónico da dos potenciales socios determinados por
En cuatro dimensiones del espacio-tiempo
En las teorías de campos cuánticos supersimétricos con cuatro dimensiones espaciotemporales , que podrían tener alguna conexión con la naturaleza, resulta que los campos escalares surgen como el componente más bajo de un supercampo quiral , que tiende a tener automáticamente un valor complejo. Podemos identificar el complejo conjugado de un supercampo quiral como un supercampo anti-quiral. Hay dos formas posibles de obtener una acción de un conjunto de supercampos:
- Integrar un supercampo en todo el superespacio abarcado por y ,
o
- Integre un supercampo quiral en la mitad quiral de un superespacio, abarcado por y , no en .
La segunda opción nos dice que una función holomórfica arbitraria de un conjunto de supercampos quirales puede aparecer como un término en un lagrangiano que es invariante bajo supersimetría. En este contexto, holomorfo significa que la función solo puede depender de los supercampos quirales, no de sus conjugados complejos. Podemos llamar a esta función W , el superpotencial. El hecho de que W sea holomórfico en los supercampos quirales ayuda a explicar por qué las teorías supersimétricas son relativamente manejables, ya que permite utilizar poderosas herramientas matemáticas de análisis complejo . De hecho, se sabe que W no recibe correcciones perturbativas, resultado que se conoce como teorema de no renormalización perturbativa . Tenga en cuenta que los procesos no perturbativos pueden corregir esto, por ejemplo, a través de contribuciones a las funciones beta debido a instantons .
Referencias
- Stephen P. Martin, Un manual de supersimetría . arXiv : hep-ph / 9709356 .
- B. Mielnik y O. Rosas-Ortiz, "Factorización: ¿pequeño o gran algoritmo?", J. Phys. A: Matemáticas. 37: 10007-10035, 2004
- Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday (1995). "Mecánica cuántica supersimétrica". Informes de física . 251 : 267–385. arXiv : hep-th / 9405029 . Código Bibliográfico : 1995PhR ... 251..267C . doi : 10.1016 / 0370-1573 (94) 00080-M .