En matemáticas , un haz de superficie sobre el círculo es un haz de fibras con el espacio de la base como un círculo , y con el espacio de las fibras como una superficie . Por lo tanto, el espacio total tiene una dimensión de 2 + 1 = 3. En general, los haces de fibras sobre el círculo son un caso especial de mapeo de toros .
Aquí está la construcción: tome el producto cartesiano de una superficie con el intervalo unitario . Pegue las dos copias de la superficie, en el límite, por algún homeomorfismo. Este homeomorfismo se denomina monodromía del haz superficial. Es posible mostrar que el tipo de homeomorfismo del paquete obtenido depende únicamente de la clase de conjugación , en el grupo de clase de mapeo , del homeomorfismo de pegado elegido.
Esta construcción es una fuente importante de ejemplos tanto en el campo de la topología de baja dimensión como en la teoría de grupos geométricos . En el primero encontramos que la geometría de la triple variedad está determinada por la dinámica del homeomorfismo. Esta es la parte fibrada del teorema de geometrización de William Thurston para variedades de Haken, cuya prueba requiere la clasificación de Nielsen-Thurston para homeomorfismos de superficie, así como resultados profundos en la teoría de grupos kleinianos . En la teoría de grupos geométricos, los grupos fundamentales de tales paquetes dan una clase importante de extensiones HNN : es decir, extensiones del grupo fundamental de la fibra (una superficie) por los números enteros.
Un caso especial simple de esta construcción (considerado en el artículo fundacional de Henri Poincaré ) es el de un haz toroide .