En matemáticas , un grupo kleiniano es un subgrupo discreto de PSL (2, C ) . El grupo PSL (2, C ) de matrices complejas de 2 por 2 del determinante 1 módulo su centro tiene varias representaciones naturales: como transformaciones conformes de la esfera de Riemann , y como isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico tridimensional H 3 , y como mapas conformes que preservan la orientación de lo abierto unidad bola B 3 en R 3 a sí misma. Por tanto, un grupo kleiniano puede considerarse como un subgrupo discreto que actúa sobre uno de estos espacios.
Historia
La teoría de los grupos kleinianos generales fue fundada por Felix Klein ( 1883 ) y Henri Poincaré ( 1883 ), quienes los nombraron en honor a Felix Klein . El caso especial de los grupos de Schottky había sido estudiado unos años antes, en 1877, por Schottky.
Definiciones
Al considerar la pelota [ ¿cuál? ] límite, un grupo kleiniano también se puede definir como un subgrupo Γ de PGL (2, C ), el grupo lineal proyectivo complejo , que actúa mediante transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann . Clásicamente, se requería que un grupo kleiniano actuara correctamente de manera discontinua en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann, pero el uso moderno permite cualquier subgrupo discreto.
Cuando Γ es isomorfo al grupo fundamental de una variedad 3 hiperbólica , entonces el espacio cociente H 3 / Γ se convierte en un modelo kleiniano de la variedad. Muchos autores usan los términos modelo kleiniano y grupo kleiniano indistintamente, dejando que uno represente al otro.
La discreción implica que los puntos en B 3 [ aclaración necesaria ] tienen estabilizadores finitos y órbitas discretas bajo el grupo Γ. Pero la órbita Γ p de un punto p típicamente se acumulará en el límite de la bola cerrada .
El límite de la bola cerrada se llama esfera en el infinito y se denota. El conjunto de puntos de acumulación de Γ p ense llama el conjunto límite de Γ, y generalmente se denota. El complementoSe llama dominio de discontinuidad o conjunto ordinario o conjunto regular . El teorema de finitud de Ahlfors implica que si el grupo se genera finitamente, entonces es una superficie orbifold de Riemann de tipo finito.
La bola unitaria B 3 con su estructura conforme es el modelo de Poincaré de 3 espacios hiperbólicos . Cuando lo pensamos de forma métrica, con métrica
es un modelo del espacio hiperbólico tridimensional H 3 . El conjunto de automapas conformes de B 3 se convierte en el conjunto de isometrías (es decir, mapas que preservan la distancia) de H 3 bajo esta identificación. Tales mapas se restringen a automapas conformes de, que son transformaciones de Möbius . Hay isomorfismos
Los subgrupos de estos grupos que consisten en transformaciones que conservan la orientación son todos isomorfos al grupo de matriz proyectiva: PSL (2, C ) a través de la identificación habitual de la esfera unitaria con la línea proyectiva compleja P 1 ( C ).
Variaciones
Hay algunas variaciones de la definición de un grupo kleiniano: a veces se permite que los grupos kleinianos sean subgrupos de PSL (2, C ) .2 (es decir, de PSL (2, C ) extendido por conjugaciones complejas), en otras palabras para tienen elementos de inversión de orientación y, a veces, se supone que se generan de forma finita y, a veces, se requiere que actúen de manera discontinua de manera adecuada en un subconjunto abierto no vacío de la esfera de Riemann.
Tipos
- Se dice que un grupo kleiniano es de tipo finito si su región de discontinuidad tiene un número finito de órbitas de componentes bajo la acción de grupo, y el cociente de cada componente por su estabilizador es una superficie de Riemann compacta con un número finito de puntos eliminados, y el la cobertura se ramifica en un número finito de puntos.
- Un grupo kleiniano se llama generado finitamente si tiene un número finito de generadores. El teorema de finitud de Ahlfors dice que tal grupo es de tipo finito.
- Un grupo kleiniano Γ tiene un covolumen finito si H 3 / Γ tiene un volumen finito. Cualquier grupo kleiniano de covolumen finito se genera de forma finita.
- Un grupo kleiniano se llama geométricamente finito si tiene un poliedro fundamental (en el espacio tridimensional hiperbólico) con un número finito de lados. Ahlfors demostró que si el límite establecido no es la esfera de Riemann completa, entonces tiene medida 0.
- Un grupo kleiniano Γ se llama aritmética si es conmensurable con los elementos de la norma de grupo 1 de un orden de álgebra de cuaterniones A ramificado en todos los lugares reales sobre un campo numérico k con exactamente un lugar complejo. Los grupos aritméticos kleinianos tienen covolumen finito.
- Un grupo kleiniano Γ se llama cocompacto si H 3 / Γ es compacto, o equivalentemente SL (2, C ) / Γ es compacto. Los grupos kleinianos cocompactos tienen un covolumen finito.
- Un grupo kleiniano se llama topológicamente domesticado si se genera finitamente y su variedad hiperbólica es homeomórfica al interior de una variedad compacta con límite.
- Un grupo kleiniano se llama geométricamente dócil si sus extremos son geométricamente finitos o simplemente degenerados ( Thurston 1980 ).
- Se dice que un grupo kleiniano es de tipo 1 si el límite establecido es toda la esfera de Riemann y de tipo 2 en caso contrario.
Ejemplos de
Grupos de Bianchi
Un grupo Bianchi es un grupo kleiniano de la forma PSL (2, O d ), dondees el anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario para un entero positivo sin cuadrados .
Grupos kleinianos elementales y reducibles
Un grupo kleiniano se llama elemental si su conjunto de límites es finito, en cuyo caso el conjunto de límites tiene 0, 1 o 2 puntos. Ejemplos de grupos kleinianos elementales incluyen grupos kleinianos finitos (con límite vacío establecido) y grupos kleinianos cíclicos infinitos.
Un grupo kleiniano se llama reducible si todos los elementos tienen un punto fijo común en la esfera de Riemann. Los grupos kleinianos reducibles son elementales, pero algunos grupos kleinianos finitos elementales no son reducibles.
Grupos fucsias
Cualquier grupo fucsiano (un subgrupo discreto de PSL (2, R )) es un grupo kleiniano y, a la inversa, cualquier grupo kleiniano que conserva la línea real (en su acción sobre la esfera de Riemann) es un grupo fucsiano. De manera más general, todo grupo kleiniano que conserva un círculo o una línea recta en la esfera de Riemann está conjugado a un grupo fucsiano.
Grupos de Koebe
- Un factor de un grupo kleiniano G es un subgrupo H máximo sujeto a las siguientes propiedades:
- H tiene un componente invariante simplemente conectado D
- Un conjugado de un elemento h de H por una biyección conforme es parabólico o elíptico si y sólo si h lo es.
- Cualquier elemento parabólico de G que se fija un punto de límite D está en H .
- Un grupo kleiniano se llama grupo de Koebe si todos sus factores son elementales o fucsianos.
Grupos cuasi-fucsianos
Un grupo kleiniano que conserva una curva de Jordan se llama grupo cuasi-fucsiano . Cuando la curva de Jordan es un círculo o una línea recta, estos simplemente se conjugan con grupos fucsianos bajo transformaciones conformes. Los grupos cuasi-fucsianos finamente generados se conjugan con grupos fucsianos bajo transformaciones cuasi-conformes. El conjunto de límites está contenido en la curva de Jordan invariante, y si es igual a la curva de Jordan, se dice que el grupo es de tipo uno y, en caso contrario, se dice que es de tipo 2 .
Grupos de Schottky
Sea C i los círculos limítrofes de una colección finita de discos cerrados disjuntos. El grupo generado por inversión en cada círculo tiene un conjunto de límites, un conjunto de Cantor , y el cociente H 3 / G es un espejo orbifold con el espacio subyacente una bola. Está doblemente cubierto por un cuerpo de manija ; el subgrupo correspondiente del índice 2 es un grupo kleiniano llamado grupo Schottky .
Grupos cristalográficos
Sea T una teselación periódica de tres espacios hiperbólicos. El grupo de simetrías de la teselación es un grupo kleiniano.
Grupos fundamentales de 3 variedades hiperbólicas
El grupo fundamental de cualquier 3-variedad hiperbólica orientada es un grupo kleiniano. Hay muchos ejemplos de estos, como el complemento de un nudo en forma de 8 o el espacio Seifert-Weber . Por el contrario, si un grupo kleiniano no tiene elementos de torsión no triviales, entonces es el grupo fundamental de una triple variedad hiperbólica.
Grupos kleinianos degenerados
Un grupo kleiniano se llama degenerado si no es elemental y su conjunto de límites está simplemente conectado. Estos grupos pueden construirse tomando un límite adecuado de grupos cuasi-fucsianos de modo que uno de los dos componentes de los puntos regulares se contraiga hasta el conjunto vacío; estos grupos se denominan degenerados individuales . Si ambos componentes del conjunto regular se contraen hasta el conjunto vacío, entonces el conjunto límite se convierte en una curva que llena el espacio y el grupo se denomina doblemente degenerado . La existencia de grupos kleinianos degenerados fue mostrada por primera vez indirectamente por Bers (1970) , y el primer ejemplo explícito lo encontró Jørgensen. Cannon y Thurston (2007) dieron ejemplos de grupos doblemente degenerados y curvas de relleno de espacio asociadas a mapas pseudo-Anosov .
Ver también
- Conjetura de la medida de Ahlfors
- Teorema de densidad para grupos kleinianos
- Teorema de laminación final
- Teorema de la mansedumbre (conjetura de Marden)
Referencias
- Bers, Lipman (1970), "Sobre los límites de los espacios de Teichmüller y sobre los grupos kleinianos. I", Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3): 570-600, doi : 10.2307 / 1970638 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970638 , MR 0297992
- Bers, Lipman ; Kra, Irwin , eds. (1974), Un curso intensivo sobre grupos kleinianos (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, 400 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0065671 , hdl : 10077/4140 , ISBN 978-3-540-06840-2, MR 0346152
- Cannon, James W .; Thurston, William P. (2007) [1982], "Group invariant Peano curves", Geometry & Topology , 11 (3): 1315-1355, doi : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN 1465-3060 , MR 2326947
- Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM 28.0334.01
- Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda de Zweiter: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM 32.0430.01
- Harvey, William James (1978), "Grupos kleinianos (una encuesta)", Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), Exp. No. 491 , Lecture Notes in Math., 677 , Springer, Berlín, págs. 30–45, doi : 10.1007 / BFb0070752 , ISBN 978-3-540-08937-7, MR 0521758
- Kapovich, Michael (2009) [2001], variedades hiperbólicas y grupos discretos , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, Señor 1792613
- Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, doi : 10.1007 / BF01442920 , ISSN 0025-5831 , JFM 15.0351.01 , S2CID 120465625
- Kra, Irwin (1972), Formas automórficas y grupos kleinianos , Serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR 0357775
- Krushkal, SL (2001) [1994], "Grupo kleiniano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de 3 variedades hiperbólicas , Textos de posgrado en matemáticas, 219 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , CiteSeerX 10.1.1.169.1318 , doi : 10.1007 / 978-1-4757- 6720-9 , ISBN 978-0-387-98386-8, Señor 1937957
- Maskit, Bernard (1988), grupos kleinianos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 287 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3, MR 0959135
- Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko (1998), variedades hiperbólicas y grupos kleinianos , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, MR 1638795
- Mumford, David ; Serie, Caroline ; Wright, David (2002), perlas de Indra , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9781107050051.024 , ISBN 978-0-521-35253-6, Señor 1913879
- Poincaré, Henri (1883), "Mémoire sur Les groupes kleinéens", Acta Mathematica , 3 : 49–92, doi : 10.1007 / BF02422441 , ISSN 0001-5962 , JFM 15.0348.02
- Serie, Caroline (2005), "Un curso intensivo sobre grupos kleinianos" , Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN 0049-4704 , MR 2227047 , archivado desde el original en 2011-07-22
- Thurston, William (1980), La geometría y topología de tres variedades , notas de la conferencia de Princeton
- Thurston, William P. (1982), "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 6 (3): 357–381, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982 -15,003-0 , ISSN desde 0002 hasta 9904 , MR 0648524
enlaces externos
- Una imagen del conjunto límite de un grupo cuasi-fucsiano de ( Fricke & Klein 1897 , p. 418).
- Una imagen del conjunto límite de un grupo kleiniano de ( Fricke & Klein 1897 , p. 440). Esta fue una de las primeras imágenes de un límite establecido. Un dibujo por computadora del mismo conjunto de límites.
- Animaciones de conjuntos de límites de grupos kleinianos
- Imágenes relacionadas con grupos kleinianos por McMullen
- Weisstein, Eric W. "Grupo kleiniano" . MathWorld .