En matemáticas , el sistema numérico surrealista es una clase propia totalmente ordenada que contiene los números reales así como los números infinitesimales e infinitesimales , respectivamente mayores o menores en valor absoluto que cualquier número real positivo. Los surrealistas comparten muchas propiedades con los reales, incluidas las operaciones aritméticas habituales (suma, resta, multiplicación y división); como tales, forman un campo ordenado . [a] Si se formula en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel, los números surrealistas son un campo ordenado universal en el sentido de que todos los demás campos ordenados, como los racionales, los reales, las funciones racionales , el campo Levi-Civita , los números superreales y los números hiperrealistas , pueden realizarse como subcampos. de los surrealistas. [1] Los surrealistas también contienen todos los números ordinales transfinitos ; la aritmética sobre ellos viene dada por las operaciones naturales . También se ha demostrado (en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel) que el campo hiperreal de clase máxima es isomorfo al campo surrealista de clase máxima.
La investigación sobre el final de Go de John Horton Conway condujo a la definición y construcción originales de los números surrealistas. [2] La construcción de Conway se introdujo en el libro de 1974 de Donald Knuth Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned to Pure Mathematics and Found Total Happiness . En su libro, que toma la forma de un diálogo, Knuth acuñó el término números surrealistas para lo que Conway había llamado simplemente números . [3] Conway adoptó más tarde el término de Knuth y utilizó surrealistas para analizar juegos en su libro de 1976 Sobre números y juegos .
Una ruta separada para definir los surrealistas comenzó en 1907, cuando Hans Hahn introdujo las series de Hahn como una generalización de las series formales de potencia , y Hausdorff introdujo ciertos conjuntos ordenados llamados η α -sets para ordinales α y preguntó si era posible encontrar un ordenado compatible. estructura de grupo o campo. En 1962, Alling usó una forma modificada de la serie de Hahn para construir tales campos ordenados asociados a ciertos ordinales α, y en 1987 demostró que tomar α como la clase de todos los ordinales en su construcción da una clase que es un campo ordenado isomorfo al números surrealistas. [4]
Si los surrealistas se consideran `` solo '' un campo cerrado real del tamaño de clase adecuado, el artículo de Alling de 1962 trata el caso de los cardenales fuertemente inaccesibles que, naturalmente, pueden considerarse como clases adecuadas al cortar la jerarquía acumulativa del universo una etapa por encima del cardinal, y Alling, en consecuencia, merece mucho crédito por el descubrimiento / invención de los surrealistas en este sentido. Sin embargo, hay una estructura de campo adicional importante en los surrealistas que no es visible a través de esta lente, a saber, la noción de un 'cumpleaños' y la correspondiente descripción natural de los surrealistas como resultado de un proceso de relleno de cortes a lo largo de sus cumpleaños dado por Conway. Esta estructura adicional se ha vuelto fundamental para una comprensión moderna de los números surrealistas,y, por lo tanto, se le da crédito a Conway por haber descubierto los surrealistas tal como los conocemos hoy. El propio Alling le da todo el crédito a Conway en un artículo de 1985 que precede a su libro sobre el tema.[5]
En la construcción Conway, [6] los números surrealistas se construyen en etapas, junto con un ordenamiento ≤ tal que para cualquier par de números surreales a y b , un ≤ b o b ≤ una . (Ambos pueden contener, en cuyo caso un y b son equivalentes y denotan el mismo número.) Cada número está formado de un par ordenado de subconjuntos de números ya construidos: dado subconjuntos L y R de números tales que todos los miembros de L son estrictamente menor que todos los miembros de R , entonces el par { L |R } representa un número intermedio de valor entre todos los miembros de L y todos los miembros de R .
Diferentes subconjuntos pueden terminar definiendo el mismo número: { L | R } y { L ′ | R ′ } puede definir el mismo número incluso si L ≠ L ′ y R ≠ R ′ . (Un fenómeno similar ocurre cuando los números racionales se definen como cocientes de enteros: 1/2 y 2/4 son representaciones diferentes del mismo número racional). Así que, estrictamente hablando, los números surrealistas son clases de equivalencia de representaciones de la forma { L | R } que designan el mismo número.
En la primera etapa de construcción, no hay números previamente existentes por lo que la única representación debe usar el conjunto vacío: {| } . Esta representación, donde L y R están vacíos, se llama 0. Las etapas posteriores producen formas como
y
Por tanto, los números enteros están contenidos dentro de los números surrealistas. (Las identidades anteriores son definiciones, en el sentido de que el lado derecho es un nombre para el lado izquierdo. Que los nombres son realmente apropiados será evidente cuando se definan las operaciones aritméticas con números surrealistas, como en la sección siguiente ). Del mismo modo, representaciones como
surgen, de modo que los racionales diádicos (números racionales cuyos denominadores son potencias de 2) están contenidos dentro de los números surrealistas.
Después de un número infinito de etapas, se encuentran disponibles infinitos subconjuntos, de modo que cualquier número real a puede ser representado por { L a | R un }, donde L una es el conjunto de todos los números racionales diádicas menos de una y R una es el conjunto de todos los números racionales diádicas mayores que una (una reminiscencia de un corte Dedekind ). Por lo tanto, los números reales también están incrustados dentro de los surrealistas.
También hay representaciones como
donde ω es un número transfinito mayor que todos los enteros y ε es un infinitesimal mayor que 0 pero menor que cualquier número real positivo. Además, las operaciones aritméticas estándar (suma, resta, multiplicación y división) se pueden extender a estos números no reales de una manera que convierta la colección de números surrealistas en un campo ordenado, de modo que se pueda hablar de 2ω o ω - 1 y así sucesivamente.
Los números surrealistas se construyen inductivamente como clases de equivalencia de pares de conjuntos de números surrealistas, restringidos por la condición de que cada elemento del primer conjunto sea más pequeño que cada elemento del segundo conjunto. La construcción consta de tres partes interdependientes: la regla de construcción, la regla de comparación y la regla de equivalencia.
Una forma es un par de conjuntos de números surrealistas, llamados conjunto izquierdo y conjunto derecho . Una forma con el conjunto izquierdo L y el conjunto derecho R se escribe { L | R } . Cuando L y R se dan como listas de elementos, se omiten las llaves que las rodean.
Cualquiera de los conjuntos izquierdo y derecho de un formulario o ambos pueden ser el conjunto vacío. La forma {{} | {}} con los conjuntos izquierdo y derecho vacíos también se escribe {| } .
Regla de construcción
Las formas numéricas se colocan en clases de equivalencia; cada clase de equivalencia es un número surrealista . Los elementos del conjunto izquierdo y derecho de una forma se extraen del universo de los números surrealistas (no de formas , sino de sus clases de equivalencia ).
Regla de equivalencia
Una relación de pedido debe ser antisimétrica , es decir, debe tener la propiedad de que x = Y (es decir, x ≤ Y y Y ≤ x son ambos true) sólo cuando x y y son el mismo objeto. Este no es el caso de las formas numéricas surrealistas , pero es cierto por construcción de números surrealistas (clases de equivalencia).
La clase de equivalencia que contiene {| } está etiquetado como 0; en otras palabras, {| } es una forma del número surrealista 0.
La definición recursiva de números surrealistas se completa definiendo la comparación:
Dadas las formas numéricas x = { X L | X R } e y = { Y L | Y R }, x ≤ y si y solo si:
Se realiza una comparación y ≤ c entre una forma y y un número surrealista c eligiendo una forma z de la clase de equivalencia cy evaluando y ≤ z ; e igualmente para c ≤ x y para la comparación b ≤ c entre dos números surrealistas.
Este grupo de definiciones es recursivo y requiere alguna forma de inducción matemática para definir el universo de objetos (formas y números) que ocurren en ellos. Los únicos números surrealistas que se pueden alcanzar mediante inducción finita son las fracciones diádicas ; se puede alcanzar un universo más amplio dada alguna forma de inducción transfinita .
El caso base es en realidad un caso especial de la regla de inducción, con 0 como etiqueta para el "ordinal mínimo". Dado que no existe S i con i <0, la expresión es el conjunto vacío; el único subconjunto del conjunto vacío es el conjunto vacío y, por lo tanto, S 0 consiste en una única forma surrealista {| } que se encuentra en una sola clase de equivalencia 0.
Para cada número ordinal finito n , S n está bien ordenado por el orden inducido por la regla de comparación de los números surrealistas.
La primera iteración de la regla de inducción produce las tres formas numéricas {| 0} <{| } <{0 | } (la forma {0 | 0} no es numérica porque 0≤0). La clase de equivalencia que contiene {0 | } está etiquetado como 1 y la clase de equivalencia que contiene {| 0} tiene la etiqueta −1. Estas tres etiquetas tienen un significado especial en los axiomas que definen un anillo ; son la identidad aditiva (0), la identidad multiplicativa (1) y el inverso aditivo de 1 (−1). Las operaciones aritméticas definidas a continuación son consistentes con estas etiquetas.
Para cada i < n , dado que cada forma válida en S i es también una forma válida en S n , todos los números en S i también aparecen en S n (como superconjuntos de su representación en S i ). (La expresión de unión de conjuntos aparece en nuestra regla de construcción, en lugar de la forma más simple S n -1 , por lo que la definición también tiene sentido cuando n es un ordinal límite .) Números en S n que son un superconjunto de algún número en S i se dice que han sidoheredado de la generación i . El valor más pequeño de α para el que aparece un número surrealista dado en S α se llama su cumpleaños . Por ejemplo, el cumpleaños de 0 es 0 y el cumpleaños de -1 es 1.
Una segunda iteración de la regla de construcción produce el siguiente orden de clases de equivalencia:
La comparación de estas clases de equivalencia es coherente, independientemente de la forma elegida. Siguen tres observaciones:
Las interpretaciones informales de {1 | } y {| −1} son "el número justo después de 1" y "el número justo antes de -1" respectivamente; sus clases de equivalencia se denominan 2 y -2. Las interpretaciones informales de {0 | 1} y {−1 | 0} son "el número a medio camino entre 0 y 1" y "el número a medio camino entre -1 y 0" respectivamente; sus clases de equivalencia se etiquetan 1 / 2 y - 1 / 2 . Estas etiquetas también estarán justificadas por las reglas para la suma y la multiplicación surrealistas a continuación.
Las clases de equivalencia en cada etapa n de inducción pueden caracterizarse por sus n - formas completas (cada una de las cuales contiene tantos elementos como sea posible de generaciones anteriores en sus conjuntos izquierdo y derecho). O esta forma completa contiene todos los números de generaciones anteriores en su conjunto izquierdo o derecho, en cuyo caso esta es la primera generación en la que aparece este número; o contiene todos los números de generaciones anteriores menos uno, en cuyo caso es una nueva forma de este número. Conservamos las etiquetas de la generación anterior para estos números "antiguos" y escribimos el orden anterior utilizando las etiquetas antiguas y nuevas:
La tercera observación se extiende a todos los números surrealistas con conjuntos finitos de izquierda y derecha. (Para conjuntos infinitos de izquierda o derecha, esto es válido en una forma alterada, ya que es posible que los conjuntos infinitos no contengan un elemento máximo o mínimo). El número {1, 2 | 5, 8} es por tanto equivalente a {2 | 5}; se puede establecer que se trata de formas de 3 mediante el uso de la propiedad de cumpleaños , que es una consecuencia de las reglas anteriores.
La suma, negación (inverso aditivo) y multiplicación de formas numéricas surrealistas x = { X L | X R } e y = { Y L | Y R } se definen mediante tres fórmulas recursivas.
Negación de un número dado x = { X L | X R } está definido por
donde la negación de un conjunto S de números viene dada por el conjunto de los elementos negados de S :
Esta fórmula implica la negación de los números surrealistas que aparecen en los conjuntos izquierdo y derecho de x , lo que debe entenderse como el resultado de elegir una forma del número, evaluar la negación de esta forma y tomar la clase de equivalencia de la forma resultante. formulario. Esto solo tiene sentido si el resultado es el mismo, independientemente de la forma elegida del operando. Esto se puede probar inductivamente utilizando el hecho de que los números que ocurren en X L y X R se extraen de generaciones anteriores a aquella en la que aparece la forma x por primera vez, y observando el caso especial:
La definición de suma también es una fórmula recursiva:
donde
Esta fórmula implica sumas de uno de los operandos originales y un número surrealista extraído del conjunto izquierdo o derecho del otro. Estos deben entenderse como el resultado de elegir una forma del operando numérico, realizar la suma de las dos formas y tomar la clase de equivalencia de la forma resultante. [se necesita aclaración ] [se necesita ejemplo ] Esto solo tiene sentido si el resultado es el mismo, independientemente de la elección de la forma del operando numérico. Esto también se puede probar de forma inductiva con los casos especiales:
Los dos últimos casos se prueban ellos mismos inductivamente.
La fórmula recursiva para la multiplicación contiene expresiones aritméticas que involucran a los operandos y sus conjuntos izquierdo y derecho, como la expresión que aparece en el conjunto izquierdo del producto de x e y . Debe entenderse como el conjunto de números surrealistas que resultan de elegir un número de cada conjunto que aparece en la expresión y evaluar la expresión sobre estos números. (En cada evaluación individual de la expresión, solo se elige un número de cada conjunto y se sustituye en cada lugar donde ese conjunto aparece en la expresión).
Esto depende, a su vez, de la capacidad para (a) pares multiplican de surrealistas números extraídos de los conjuntos izquierdo y derecho de x y y para obtener un número surrealista, y negar el resultado; (b) multiplicar el número surreal forma x o y y una surrealista número trazada desde el conjunto izquierdo o derecho del otro operando para obtener un número surreal; y (c) sumar los números surrealistas resultantes. Esto nuevamente involucra casos especiales, esta vez conteniendo 0 = {| }, la identidad multiplicativa 1 = {0 | }, y su inverso aditivo -1 = {| 0}.
La definición de división se realiza en términos del recíproco y la multiplicación:
donde
[6] : 21
por positivo . Solo se permiten positivos en la fórmula, y se ignoran los términos no positivos (y siempre son positivos). Esta fórmula implica no solo la recursividad en términos de poder dividir por números de los conjuntos izquierdo y derecho de , sino también la recursividad en cuanto a los miembros de los conjuntos izquierdo y derecho de sí mismo. es siempre un miembro del conjunto izquierdo de y se puede usar para encontrar más términos de forma recursiva. Por ejemplo, si , entonces sabemos que el término de la izquierda será . Esto a su vez significa que es un término correcto. Este medio es un término de la izquierda. Este medio será un término correcto. Continuando, esto da .
Para negativo , está dado por . Si , entonces no está definido.
Se puede demostrar que las definiciones de negación, suma y multiplicación son consistentes, en el sentido de que:
Con estas reglas, ahora se puede verificar que los números encontrados en las primeras generaciones fueron etiquetados correctamente. La regla de construcción se repite para obtener más generaciones de surrealistas:
Para cada número natural (finito ordinal) n , todos los números generados en S n son fracciones diádicas , es decir, puede ser escrito como una fracción irreducible donde un y b son números enteros y 0 ≤ b < n .
El conjunto de todos los números surrealistas que se generan en algún S n para n finito puede denotarse como S * = . Se pueden formar las tres clases S 0 = {0}, S + = y S - = , de las cuales S * es la unión. Ningún individuo S n está cerrado bajo suma y multiplicación (excepto S 0 ), pero S * sí lo es; es el subanillo de los racionales que consta de todas las fracciones diádicas.
Hay infinitos números ordinales β para los cuales el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β se cierra bajo las diferentes operaciones aritméticas. [7] Para cualquier α ordinal, el conjunto de números surrealistas con cumpleaños menor que β = ω α (usando potencias de ω ) se cierra bajo suma y forma un grupo; para cumpleaños menor que ω ω α se cierra bajo multiplicación y forma un anillo; [b] y para cumpleaños menor que un número épsilon (ordinal) ε α se cierra en inverso multiplicativo y forma un campo. Los últimos conjuntos también se cierran bajo la función exponencial definida por Kruskal y Gonshor. [7] [8] (ch. 10 ) [7]
Sin embargo, siempre es posible construir un número surrealista que sea mayor que cualquier miembro de un conjunto de surrealistas (al incluir el conjunto en el lado izquierdo del constructor) y, por lo tanto, la colección de números surrealistas es una clase adecuada . Con sus operaciones algebraicas y de ordenamiento constituyen un campo ordenado , con la salvedad de que no forman un conjunto . De hecho, es un campo ordenado muy especial: el más grande. Todos los demás campos ordenados se pueden incrustar en los surrealistas. La clase de todos los números surrealistas se denota con el símbolo .
Defina S ω como el conjunto de todos los números surrealistas generados por la regla de construcción a partir de subconjuntos de S * . (Este es el mismo paso inductivo que antes, ya que el número ordinal ω es el ordinal más pequeño que es mayor que todos los números naturales; sin embargo, la unión de conjuntos que aparece en el paso inductivo es ahora una unión infinita de conjuntos finitos, por lo que este paso sólo se puede realizar en una teoría de conjuntos que permita tal unión.) Un número positivo infinitamente grande único ocurre en S ω :
S ω también contiene objetos que pueden identificarse como números racionales . Por ejemplo, la forma-ω completa de la fracción 1 / 3 está dada por:
El producto de esta forma de 1 / 3 con cualquier forma de 3 es una forma cuya izquierda conjunto contiene sólo números de menos de 1 y cuyo conjunto adecuado contiene sólo números mayores que 1; la propiedad de cumpleaños implica que este producto es una forma de 1.
No solo el resto de los números racionales aparecen en S ω ; los restantes números reales finitos también lo hacen. Por ejemplo,
Los únicos infinitos en S ω son ω y −ω; pero hay otros números no reales en S ω entre los reales. Considere el número positivo más pequeño en S ω :
Este número es mayor que cero pero menor que todas las fracciones diádicas positivas. Por tanto, es un número infinitesimal , a menudo denominado ε. La forma ω-completa de ε (respectivamente -ε) es la misma que la forma ω-completa de 0, excepto que 0 se incluye en el conjunto izquierdo (respectivamente derecho). Los únicos infinitesimales "puros" en S ω son ε y su inverso aditivo -ε; sumarlos a cualquier fracción diádica y produce los números y ± ε, que también se encuentran en S ω .
Se puede determinar la relación entre ω y ε multiplicando formas particulares de ellos para obtener:
Esta expresión solo está bien definida en una teoría de conjuntos que permite la inducción transfinita hasta . En tal sistema, se puede demostrar que todos los elementos del conjunto izquierdo de ω · ε son infinitesimales positivos y todos los elementos del conjunto derecho son infinitos positivos, y por lo tanto ω · ε es el número finito positivo más antiguo, es decir, 1 . Como consecuencia,
Algunos autores utilizan sistemáticamente ω −1 en lugar del símbolo ε.
Dado cualquier x = { L | R } en S ω , se cumple exactamente una de las siguientes condiciones:
S ω no es un campo algebraico, porque no está cerrado bajo operaciones aritméticas; considere ω + 1, cuya forma no se encuentra en ningún número en S ω . El subconjunto máximo de S ω que se cierra bajo (serie finita de) operaciones aritméticas es el campo de números reales, obtenido al omitir los infinitos ± ω, los infinitesimales ± ε y los infinitesimales vecinos y ± ε de cada fracción diádica distinta de cero. y .
Esta construcción de los números reales difiere de los cortes de Dedekind del análisis estándar en que parte de fracciones diádicas en lugar de racionales generales y, naturalmente, identifica cada fracción diádica en S ω con sus formas en generaciones anteriores. (Las formas ω-completas de los elementos reales de S ω están en correspondencia uno a uno con los reales obtenidos por cortes de Dedekind, con la condición de que los reales de Dedekind correspondientes a números racionales estén representados por la forma en la que se omite el punto de corte tanto de izquierda como de derecha.) Los racionales no son una etapa identificable en la construcción surrealista; son simplemente el subconjunto Q de S ωque contiene todos los elementos x tales que x b = a para algunos a y algunos b distintos de cero , ambos extraídos de S * . Al demostrar que Q está cerrado bajo repeticiones individuales de las operaciones aritméticas surrealistas, se puede demostrar que es un campo; y al mostrar que cada elemento de Q es accesible desde S * mediante una serie finita (no más de dos, en realidad) de operaciones aritméticas, incluida la inversión multiplicativa , se puede demostrar que Q es estrictamente más pequeño que el subconjunto de S ω identificado con los reales.
El conjunto S ω tiene la misma cardinalidad como los números reales R . Esto se puede demostrar al exhibir mapeos sobreyectivos de S ω al intervalo unitario cerrado I de R y viceversa. Mapear S ω en I es una rutina; mapear números menores o iguales a ε (incluyendo -ω) a 0, números mayores o iguales a 1-ε (incluyendo ω) a 1, y números entre ε y 1-ε a su equivalente en I (mapeando los vecinos infinitesimales y ± ε de cada fracción diádica y , junto con y misma, ay). Para mapear I en S ω , mapee el tercio central (abierto) (1/3, 2/3) de I en {| } = 0; el tercio central (7/9, 8/9) del tercio superior a {0 | } = 1; Etcétera. Esto mapea un intervalo abierto no vacío de I sobre cada elemento de S * , de manera monótona. El residuo de I consta del conjunto de Cantor 2 ω , cada punto del cual se identifica unívocamente mediante una partición de los intervalos del tercio central en conjuntos izquierdo y derecho, que corresponden precisamente a una forma { L | R } en S ω. Esto coloca al conjunto de Cantor en correspondencia uno a uno con el conjunto de números surrealistas con cumpleaños ω.
Continuar realizando inducción transfinita más allá de S ω produce más números ordinales α, cada uno representado como el número surrealista más grande que tiene cumpleaños α. (Ésta es esencialmente una definición de los números ordinales que resultan de la inducción transfinita.) El primero de estos ordinales es ω + 1 = {ω | }. Hay otro número infinito positivo en la generación ω + 1:
El número surrealista ω − 1 no es un ordinal; el ordinal ω no es el sucesor de ningún ordinal. Este es un número surrealista con cumpleaños ω + 1, que se etiqueta ω − 1 sobre la base de que coincide con la suma de ω = {1, 2, 3, 4, ... | } y −1 = {| 0}. De manera similar, hay dos nuevos números infinitesimales en la generación ω + 1:
En una etapa posterior de la inducción transfinita, hay un número mayor que ω + k para todos los números naturales k :
Este número puede etiquetarse como ω + ω tanto porque su fecha de nacimiento es ω + ω (el primer número ordinal no accesible desde ω por la operación sucesora) como porque coincide con la suma surrealista de ω y ω; también se puede etiquetar como 2ω porque coincide con el producto de ω = {1, 2, 3, 4, ... | } y 2 = {1 | }. Es el segundo límite ordinal; alcanzarlo desde ω a través del paso de construcción requiere una inducción transfinita en . Esto implica una unión infinita de conjuntos infinitos, que es una operación teórica de conjuntos "más fuerte" que la inducción transfinita previa requerida.
Tenga en cuenta que la suma y multiplicación convencionales de ordinales no siempre coincide con estas operaciones en sus representaciones surrealistas. La suma de los ordinales 1 + ω es igual a ω, pero la suma surrealista es conmutativa y produce 1 + ω = ω + 1> ω. La suma y multiplicación de los números surrealistas asociados con los ordinales coincide con la suma natural y el producto natural de los ordinales.
Así como 2ω es mayor que ω + n para cualquier número natural n , existe un número surrealista ω / 2 que es infinito pero más pequeño que ω - n para cualquier número natural n . Es decir, ω / 2 está definido por
donde en el lado derecho la notación x - Y se usa para significar { x - y : y en Y }. Puede identificarse como el producto de ω y la forma {0 | 1} de 1 / 2 . El cumpleaños de ω / 2 es el ordinal límite ω2.
Para clasificar los "órdenes" de números surrealistas infinitesimales e infinitesimales, también conocidos como clases arquimedianas , Conway asoció a cada número surrealista x el número surrealista
donde r y s se extienden a través de los números reales positivos. Si x < y entonces ω y es "infinitamente mayor" que ω x , en el sentido de que es mayor que r ω x para todos los números reales r . Las potencias de ω también satisfacen las condiciones
por lo que se comportan de la manera que uno esperaría que se comportaran los poderes.
Cada poder de ω también tiene la característica redentora de ser el número surrealista más simple en su clase arquimediana; a la inversa, cada clase de Arquímedes dentro de los números surrealistas contiene un miembro único más simple. Por lo tanto, para cada número surrealista positivo x siempre existirá algún número real positivo r y algún número surrealista y, de modo que x - r ω y es "infinitamente más pequeño" que x . El exponente y es el "logaritmo base ω" de x , definido en los surrealistas positivos; se puede demostrar que log ω mapea los surrealistas positivos en los surrealistas y que logω ( xy ) = log ω ( x ) + log ω ( y ).
Esto se amplía por inducción transfinita de modo que cada número surrealista x tiene una "forma normal" análoga a la forma normal de Cantor para los números ordinales. Cada número surrealista puede escribirse de forma única como
donde cada r α es un número real distinto de cero y las y α s forman una secuencia estrictamente decreciente de números surrealistas. Esta "suma", sin embargo, puede tener un número infinito de términos y, en general, tiene la longitud de un número ordinal arbitrario. (El cero corresponde, por supuesto, al caso de una secuencia vacía, y es el único número surrealista sin exponente principal).
Vistos de esta manera, los números surrealistas se asemejan a un campo de series de potencias , excepto que las secuencias decrecientes de exponentes deben estar limitadas en longitud por un ordinal y no se permite que sean tan largas como la clase de ordinales. Esta es la base para la formulación de los números surrealistas como una serie de Hahn .
En contraste con los números reales, un subconjunto (apropiado) de los números surrealistas no tiene un límite mínimo superior (o inferior) a menos que tenga un elemento máximo (mínimo). Conway define [6] un espacio como { L | R }, L < R , L ∪ R = 𝐍𝐨; este no es un número porque al menos uno de los lados es una clase adecuada. Aunque similares, los espacios no son exactamente los mismos que las secciones de Dedekind , [c] pero aún podemos hablar de completar 𝐍𝐨 𝕯 los números surrealistas con el orden natural, que es un continuo lineal (del tamaño adecuado de la clase) . [9]
Por ejemplo, no hay surrealismo infinito menos positivo, pero la brecha ∞ = { x : ∃ n ∈ ℕ: x < n | x : ∀ n ∈ ℕ: x > n } es mayor que todos los números reales y menor que todos los surrealistas infinitos positivos, y por lo tanto es el límite superior mínimo de los reales en 𝐍𝐨 𝕯 . De manera similar, la brecha 𝐎𝐧 = {𝐍𝐨 | } es más grande que todos los números surrealistas. (Este es un juego de palabras esotérico : en la construcción general de ordinales, α "es" el conjunto de ordinales más pequeño que α y podemos usar esta equivalencia para escribir α = {α |} en los surrealistas; 𝐎𝐧 denota la clase de números ordinales , y porque 𝐎𝐧 escofinal en 𝐍𝐨 tenemos {𝐍𝐨 | } = {𝐎𝐧 | } = 𝐎𝐧 por extensión).
Con un poco de cuidado en la teoría de conjuntos, [9] [d] 𝐍𝐨 se puede equipar con una topología donde los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos (indexados por conjuntos adecuados) y se pueden definir funciones continuas. También se puede definir un equivalente de las secuencias de Cauchy, aunque deben estar indexadas por la clase de ordinales; estos siempre convergerán, pero el límite puede ser un número o una brecha que se puede expresar como ∑ α∈𝐍𝐨 r α ω a α con un α decreciente y sin límite inferior en 𝐍𝐨. (Todos estos huecos pueden entenderse como secuencias de Cauchy en sí mismas, pero existen otros tipos de huecos que no son límites, como ∞ y 𝐎𝐧).
Basado en un trabajo inédito de Kruskal , Gonshor llevó a cabo una construcción (por inducción transfinita) que extiende la función exponencial real exp ( x ) (con base e ) a los surrealistas. [8] ( cap. 10 )
La función potencias de ω también es una función exponencial, pero no tiene las propiedades deseadas para una extensión de la función en los reales. Sin embargo, será necesaria en el desarrollo de la base exponencial e , y es esta función la que se entiende siempre que se utilice la notación ω x en lo siguiente.
Cuando y es una fracción diádica, la función de potencia x ∈ No , x ↦ x y se puede componer a partir de la multiplicación, el inverso multiplicativo y la raíz cuadrada, todos los cuales se pueden definir inductivamente. Sus valores están completamente determinados por la relación básica x y + z = x y · x z , y donde se define necesariamente concuerda con cualquier otra exponenciación que pueda existir.
Los pasos de inducción para el exponencial surrealista se basan en la expansión de la serie para el exponencial real, exp x = ∑ n ≥0 x n / n !, más específicamente aquellas sumas parciales que pueden mostrarse mediante álgebra básica como positivas pero menores que todas. posteriores. Para x positivo, estos se denotan [ x ] n e incluyen todas las sumas parciales; para x negativo pero finito, [ x ] 2 n +1 denota los pasos impares en la serie comenzando desde el primero con una parte real positiva (que siempre existe). Para xinfinito negativo las sumas parciales impares son estrictamente decrecientes y la notación [ x ] 2 n +1 denota el conjunto vacío, pero resulta que los elementos correspondientes no son necesarios en la inducción.
Las relaciones que se cumplen para x < y real son entonces exp x · [ y – x ] n <exp y y exp y · [ x – y ] 2 n +1 <exp x , y esto puede extenderse a los surrealistas con el definición exp z = {0, exp z L · [ z – z L ] n , exp z R · [ z – z R ] 2 n +1 | exp zR / [ z R –z ] n , exp z L / [ z L –z ] 2 n +1 }. Esto está bien definido para todos los argumentos surrealistas (el valor existe y no depende de la elección dez L yz R ).
Utilizando esta definición, se cumple lo siguiente: [e]
El exponencial surrealista está dado esencialmente por su comportamiento en potencias positivas de ω, es decir, la función g (a) , combinada con un comportamiento bien conocido en números finitos. Solo se darán ejemplos de lo primero. Además, g (a) = a se cumple para una gran parte de su rango, por ejemplo, para cualquier número finito con parte real positiva y cualquier número infinito que sea menor que alguna potencia iterada de ω ( ω ω · · ω para algún número de niveles).
Una exponenciación general se puede definir como x y = exp ( y · log x ) , dando una interpretación a expresiones como 2 ω = exp (ω · log 2) = ω log 2 · ω . Nuevamente, es esencial distinguir esta definición de la función "potencias de ω", especialmente si ω puede aparecer como base.
Un número surcomplejo es un número de la forma a + b i , donde a y b son números surrealistas e i es la raíz cuadrada de -1 . [10] [11] Los números surcomplejos forman un campo algebraicamente cerrado (excepto por ser una clase propia), isomorfo al cierre algebraico del campo generado al extender los números racionales por una clase apropiada de elementos trascendentales algebraicamente independientes . Hasta isomorfismo de campo , este hecho caracteriza el campo de los números surcomplejos dentro de cualquier teoría de conjuntos fijos. [6] : Th.27
La definición de números surrealistas contenía una restricción: cada elemento de L debe ser estrictamente menor que cada elemento de R. Si se elimina esta restricción, podemos generar una clase más general conocida como juegos . Todos los juegos se construyen de acuerdo con esta regla:
La suma, la negación y la comparación se definen de la misma manera tanto para los números como para los juegos surrealistas.
Cada número surrealista es un juego, pero no todos los juegos son números surrealistas, por ejemplo, el juego { 0 | 0 } no es un número surrealista. La clase de juegos es más general que los surrealistas y tiene una definición más simple, pero carece de algunas de las mejores propiedades de los números surrealistas. La clase de números surrealistas forma un campo , pero la clase de juegos no. Los surrealistas tienen un orden total : dados dos surrealistas cualesquiera, son iguales o uno es mayor que el otro. Los juegos tienen solo un orden parcial : existen pares de juegos que no son ni iguales, mayores ni menores entre sí. Cada número surrealista es positivo, negativo o cero. Cada juego es positivo, negativo,cero o difuso (incomparable con cero, como {1 | −1}).
Un movimiento en un juego implica que el jugador cuyo movimiento es elegir un juego de los disponibles en L (para el jugador izquierdo) o R (para el jugador derecho) y luego pasar este juego elegido al otro jugador. Un jugador que no puede moverse porque la elección es del conjunto vacío ha perdido. Un juego positivo representa una victoria para el jugador izquierdo, un juego negativo para el jugador derecho, un juego cero para que el segundo jugador se mueva y un juego difuso para el primer jugador que se mueva.
Si x , y y z son surrealistas y x = y , entonces x z = y z . Sin embargo, si x , y , z son juegos y x = y , entonces no siempre es cierto que x z = y z . Tenga en cuenta que "=" aquí significa igualdad, no identidad.
Los números surrealistas fueron motivados originalmente por estudios del juego Go , [2] y existen numerosas conexiones entre los juegos populares y los surrealistas. En esta sección, utilizaremos un juego en mayúsculas para el objeto matemático {L | R} y el juego en minúsculas para juegos recreativos como Ajedrez o Go .
Consideramos juegos con estas propiedades:
Para la mayoría de los juegos, la posición inicial del tablero no ofrece una gran ventaja a ninguno de los jugadores. A medida que avanza el juego y un jugador comienza a ganar, se producirán posiciones en el tablero en las que ese jugador tiene una clara ventaja. Para analizar juegos, es útil asociar un Juego con cada posición del tablero. El valor de una posición dada será el Juego {L | R}, donde L es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por Izquierda. Del mismo modo, R es el conjunto de valores de todas las posiciones que se pueden alcanzar en un solo movimiento por Derecha.
El juego cero (llamado 0) es el juego en el que L y R están vacíos, por lo que el jugador que se mueve a continuación (L o R) pierde inmediatamente. La suma de dos juegos G = {L1 | R1} y H = {L2 | R2} se define como el Juego G + H = {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2} donde el jugador a mover elige en cuál de los Juegos jugar en cada etapa, y el perdedor sigue siendo el jugador que termina sin un movimiento legal. Uno puede imaginar dos tableros de ajedrez entre dos jugadores, con jugadores haciendo movimientos alternativamente, pero con total libertad en cuanto al tablero en el que jugar. Si G es el juego {L | R}, -G es el juego {-R | -L}, es decir, con el papel de los dos jugadores al revés. Es fácil mostrar G - G = 0 para todos los Juegos G (donde G - H se define como G + (-H)).
Esta forma sencilla de asociar juegos con juegos produce un resultado muy interesante. Suponga que dos jugadores perfectos juegan un juego comenzando con una posición dada cuyo Juego asociado es x . Podemos clasificar todos los juegos en cuatro clases de la siguiente manera:
De manera más general, podemos definir G> H como G - H> 0, y de manera similar para <, = y ||.
La notación G || H significa que G y H son incomparables. G || H es equivalente a G − H || 0, es decir, que G> H, G <H y G = H son todos falsos. A veces se dice que los juegos incomparables se confunden entre sí, porque un jugador puede preferir uno u otro dependiendo de lo que se le agregue. Un juego que se confunde con cero se dice que es difuso , en oposición a positivo, negativo o cero . Un ejemplo de juego difuso es estrella (*) .
A veces, cuando un juego se acerca al final, se descompondrá en varios juegos más pequeños que no interactúan, excepto en que el turno de cada jugador permite moverse en solo uno de ellos. Por ejemplo, en Go, el tablero se irá llenando lentamente de piezas hasta que solo queden unas pocas islas pequeñas de espacio vacío donde un jugador puede moverse. Cada isla es como un juego separado de Go, que se juega en un tablero muy pequeño. Sería útil analizar cada subjuego por separado y luego combinar los resultados para obtener un análisis de todo el juego. Esto no parece fácil de hacer. Por ejemplo, puede haber dos subjuegos en los que quien se mueva primero gana, pero cuando se combinan en un gran juego, ya no es el primer jugador el que gana. Afortunadamente, hay una forma de hacer este análisis. Se puede aplicar el siguiente teorema:
Un juego compuesto de juegos más pequeños se llama suma disyuntiva de esos juegos más pequeños, y el teorema establece que el método de adición que definimos es equivalente a tomar la suma disyuntiva de los sumandos.
Históricamente, Conway desarrolló la teoría de los números surrealistas en el orden inverso de cómo se ha presentado aquí. Estaba analizando los finales de Go y se dio cuenta de que sería útil tener alguna forma de combinar los análisis de los subjuegos que no interactúan en un análisis de su suma disyuntiva . A partir de esto, inventó el concepto de un juego y el operador de adición para él. De ahí pasó a desarrollar una definición de negación y comparación. Luego se dio cuenta de que cierta clase de juegos tenía propiedades interesantes; esta clase se convirtió en los números surrealistas. Finalmente, desarrolló el operador de multiplicación y demostró que los surrealistas son en realidad un campo, y que incluye tanto los reales como los ordinales.
Los enfoques alternativos a los números surrealistas complementan la exposición de Conway en términos de juegos.
En lo que ahora se llama expansión de signo o secuencia de signo de un número surrealista, un número surrealista es una función cuyo dominio es un ordinal y cuyo codominio es {−1, +1}. [8] ( cap. 2 ) Esto es equivalente a las secuencias LR de Conway. [6]
Defina el predicado binario "más simple que" en números por x es más simple que y si x es un subconjunto propio de y , es decir , si dom ( x ) <dom ( y ) y x (α) = y (α) para todo α < dom ( x ).
Para los números surrealistas, defina la relación binaria <como orden lexicográfico (con la convención de que los "valores indefinidos" son mayores que -1 y menores que 1). Entonces x < y si se cumple una de las siguientes:
De manera equivalente, sea δ ( x , y ) = min ({dom ( x ), dom ( y )} ∪ {α: α <dom ( x ) ∧ α <dom ( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }), de modo que x = y si y solo si δ ( x , y ) = dom ( x ) = dom ( y ). Entonces, para los números de x y y , x < y si y sólo si una de las siguientes bodegas:
Para los números de x y y , x ≤ y si y sólo si x < y ∨ x = y , y x > y si y sólo si y < x . También x ≥ y si y solo si y ≤ x .
La relación <es transitiva , y para todos los números x e y , exactamente uno de x < y , x = y , x > Y , sostiene (ley de tricotomía ). Esto significa que <es un orden lineal (excepto que <es una clase adecuada).
Para conjuntos de números, L y R tales que ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), existe un número único z tal que
Además, z es construible a partir de L y R por inducción transfinita. z es el número más sencilla entre L y R . Sea σ ( L , R ) el número único z .
Para un número x , defina su conjunto izquierdo L ( x ) y su conjunto derecho R ( x ) por
entonces σ ( L ( x ), R ( x )) = x .
Una ventaja de esta realización alternativa es que la igualdad es identidad, no una relación definida inductivamente. Sin embargo, a diferencia de la realización de Conway de los números surrealistas, la expansión del signo requiere una construcción previa de los ordinales, mientras que en la realización de Conway, los ordinales se construyen como casos particulares de surrealistas.
Sin embargo, se pueden hacer definiciones similares que eliminen la necesidad de una construcción previa de los ordinales. Por ejemplo, podríamos dejar que las surrealistas sean la clase de funciones (definidas de forma recursiva) cuyo dominio es un subconjunto de las surrealistas que satisfacen la regla de transitividad ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) y cuyo el rango es {-, +}. "Más simple que" se define ahora de manera muy simple: x es más simple que y si x ∈ dom y . El orden total se define por considerando x y ycomo conjuntos de pares ordenados (como una función se define normalmente): O x = y , o el número surrealista z = x ∩ y está en el dominio de x o en el dominio de y (o ambos, pero en este caso los signos debe estar en desacuerdo). Entonces tenemos x < y si x ( z ) = - o y ( z ) = + (o ambos). Convertir estas funciones en secuencias de signos es una tarea sencilla; organice los elementos de dom f en orden de simplicidad (es decir, inclusión), y luego escriba los signos que fasigna a cada uno de estos elementos en orden. Entonces, los ordinales ocurren naturalmente como esos números surrealistas cuyo rango es {+}.
La suma x + y de dos números, x y y , se define por inducción en dom ( x ) y dom ( y ) por x + y = σ ( L , R ), donde
La identidad aditiva viene dada por el número 0 = {}, es decir , el número 0 es la función única cuyo dominio es el ordinal 0, y el inverso aditivo del número x es el número - x , dado por dom (- x ) = dom ( x ), y, para α <dom ( x ), (- x ) (α) = - 1 si x (α) = + 1, y (- x ) (α) = + 1 si x (α) = - 1.
De ello se deduce que un número x es positivo si y solo si 0 <dom ( x ) y x (0) = + 1, y x es negativo si y solo si 0 <dom ( x ) y x (0) = - 1.
El producto xy de dos números, x y y , se define por inducción en dom ( x ) y dom ( y ) por xy = σ ( L , R ), donde
La identidad multiplicativa viene dada por el número 1 = {(0, + 1)}, es decir , el número 1 tiene un dominio igual al ordinal 1, y 1 (0) = + 1.
El mapa de la realización de Conway para firmar expansiones está dado por f ({ L | R }) = σ ( M , S ), donde M = { f ( x ): x ∈ L } y S = { f ( x ): x ∈ R }.
El mapa inverso de la realización alternativa a la realización de Conway viene dado por g ( x ) = { L | R }, donde L = { g ( y ): y ∈ L ( x )} y R = { g ( y ): y ∈ R ( x )}.
En otro enfoque de lo surrealista, dado por Alling, [11] la construcción explícita se pasa por alto por completo. En cambio, se da un conjunto de axiomas que cualquier enfoque particular de lo surrealista debe satisfacer. Al igual que el enfoque axiomático de lo real, estos axiomas garantizan la unicidad hasta el isomorfismo.
Un triple es un sistema numérico surrealista si y solo si se cumple lo siguiente:
Tanto la construcción original de Conway como la construcción de la expansión de signos de surreal satisfacen estos axiomas.
Dados estos axiomas, Alling [11] deriva la definición original de Conway de ≤ y desarrolla una aritmética surrealista.
Una construcción de los números surrealistas como un pseudoárbol binario máximo con simplicidad (ancestro) y relaciones de ordenamiento se debe a Philip Ehrlich, [12] La diferencia con la definición habitual de un árbol es que el conjunto de ancestros de un vértice está bien -ordenado, pero puede que no tenga un elemento máximo (predecesor inmediato); en otras palabras, el tipo de orden de ese conjunto es un número ordinal general, no solo un número natural. Esta construcción también cumple los axiomas de Alling y se puede asignar fácilmente a la representación de la secuencia de signos.
Alling [11] ( th. 6.55, p. 246 ) también prueba que el campo de los números surrealistas es isomórfico (como un campo ordenado) al campo de las series de Hahn con coeficientes reales en el grupo de valores de los números surrealistas mismos (la representación de la serie correspondiente a la forma normal de un número surrealista, como se define arriba). Esto proporciona una conexión entre los números surrealistas y los enfoques matemáticos más convencionales de la teoría de campos ordenados.
Este isomorfismo convierte los números surrealistas en un campo valorado donde la valoración es el inverso aditivo del exponente del término principal en la forma normal de Conway, por ejemplo, ν (ω) = -1. El anillo de valoración consta entonces de números surrealistas finitos (números con una parte real y / o infinitesimal). La razón de la inversión de signo es que los exponentes en la forma normal de Conway constituyen un conjunto inverso bien ordenado, mientras que las series de Hahn se formulan en términos de subconjuntos (no revertidos) bien ordenados del grupo de valores.
Philip Ehrlich ha construido un isomorfismo entre el campo numérico surrealista máximo de Conway y los hiperrealistas máximos en la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel . [12]
Teorema 24.29. El sistema numérico surrealista es el campo ordenado más grande