En matemáticas, el campo Levi-Civita , que lleva el nombre de Tullio Levi-Civita , es un campo ordenado no arquimediano ; es decir, un sistema de números que contiene cantidades infinitas e infinitesimales . Cada miembro se puede construir como una serie formal de la forma
dónde son números reales, es el conjunto de números racionales , ydebe interpretarse como un infinitesimal positivo. El apoyo de, es decir, el conjunto de índices de los coeficientes que no desaparecen debe ser un conjunto finito a la izquierda: para cualquier miembro de , solo hay un número finito de miembros del conjunto menos que él; esta restricción es necesaria para que la multiplicación y la división estén bien definidas y sean únicas. El orden se define según el orden del diccionario de la lista de coeficientes, lo que equivale al supuesto de que es un infinitesimal.
Los números reales están incrustados en este campo como series en las que todos los coeficientes desaparecen excepto.
Ejemplos de
- es un infinitesimal que es mayor que , pero menos que todos los números reales positivos.
- es menos que , y también es menor que por cualquier real positivo .
- difiere infinitesimalmente de 1.
- es mayor que , pero aún menos que todos los números reales positivos.
- es mayor que cualquier número real.
- se interpreta como .
- es un miembro válido del campo, porque la serie debe interpretarse formalmente, sin ninguna consideración de convergencia .
Definición de las operaciones de campo y cono positivo
Si y son dos series Levi-Civita, entonces
- su suma es la suma puntual .
- su producto es el producto Cauchy .
(Se puede comprobar que el soporte de esta serie es finito a la izquierda y que para cada uno de sus elementos , el conjunto es finito, por lo que el producto está bien definido).
- la relación aguanta si (es decir tiene soporte no vacío) y el mínimo coeficiente distinto de cero de es estrictamente positivo.
Equipado con esas operaciones y orden, el campo Levi-Civita es de hecho una extensión de campo ordenada de donde la serie es un infinitesimal positivo.
Propiedades y aplicaciones
El campo Levi-Civita es real-cerrado , lo que significa que puede cerrarse algebraicamente al unir una unidad imaginaria ( i ), o al permitir que los coeficientes sean complejos . Es lo suficientemente rico como para permitir realizar una cantidad significativa de análisis, pero sus elementos aún se pueden representar en una computadora en el mismo sentido en que los números reales se pueden representar usando un punto flotante . Es la base de la diferenciación automática , una forma de realizar la diferenciación en casos que son intratables mediante la diferenciación simbólica o los métodos de diferencias finitas. [1]
El campo Levi-Civita también es Cauchy completo , lo que significa que relativizando eldefiniciones de secuencia de Cauchy y secuencia convergente a secuencias de la serie Levi-Civita, cada secuencia de Cauchy en el campo converge. De manera equivalente, no tiene una extensión de campo ordenada densa adecuada.
Como campo ordenado, tiene una valoración natural dada por el exponente racional correspondiente al primer coeficiente distinto de cero de una serie Levi-Civita. El anillo de valoración es el de la serie acotada por números reales, el campo de residuo es, y el grupo de valor es . El campo valorado resultante es henseliano (siendo real cerrado con un anillo de valoración convexo) pero no esférico completo . De hecho, el campo de la serie de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores es una extensión inmediata adecuada, que contiene series como que no están en el campo Levi-Civita.
Relaciones con otros campos ordenados
El campo Levi-Civita es la finalización Cauchy del campo. de la serie de Puiseux sobre el campo de los números reales, es decir, es una densa extensión desin la extensión densa adecuada. Aquí hay una lista de algunos de sus subcampos propios notables y sus extensiones de campo ordenadas correctamente:
Subcampos notables
- El campo de números reales.
- El campo de fracciones de polinomios reales con infinitesimal positivo indeterminado .
- El campo de la serie formal de Laurent sobre.
- El campo de la serie Puiseux sobre .
Extensiones notables
- El campo de la serie de Hahn con coeficientes reales y exponentes racionales.
- El campo de transseries logarítmico-exponenciales .
- El campo de números surrealistas con fecha de nacimiento debajo del primero-número .
- Campos de números hiperreales construidos como ultrapoderes de módulo un ultrafiltro libre en (aunque aquí las incrustaciones no son canónicas).
Referencias
- ^ Khodr Shamseddine, Martin Berz " Análisis en el campo de Levi-Civita: una breve descripción ", Matemáticas contemporáneas , 508 pp 215-237 (2010)